特岗数学专业知识总复习Word文档格式.docx
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记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。
其中互为逆否得两个命题同真假,即等价。
因此,四种命题为真得个数只能就是偶数个。
5、充分条件与必要条件
（1）定义:
对命题“若p则q”而言,当它就是真命题时,p就是q得充分条件,q就是p得必要条件,当它得逆命题为真时,q就是p得充分条件,p就是q得必要条件,两种命题均为真时,称p就是q得充要条件;
（2）在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题就是条件,哪个命题就是结论,其次,结论要分四种情况说明:
充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。
从集合角度瞧,若记满足条件p得所有对象组成集合A,满足条件q得所有对象组成集合q,则当AB时,p就是q得充分条件。
BA时,p就是q得充分条件。
A=B时,p就是q得充要条件;
（3）当p与q互为充要时,体现了命题等价转换得思想。
6、反证法就是中学数学得重要方法。
会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论就是近代数学最基本得内容之一。
学会用集合得思想处理数学问题。
三、典型例题
例1、已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N。
解题思路分析:
在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素得特征。
M、N均为数集,不能误认为就是点集,从而解方程组。
其次要化简集合,或者说使集合得特征明朗化。
M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}
∴M∩N=M={y|y≥1}
说明:
实际上,从函数角度瞧,本题中得M,N分别就是二次函数与一次函数得值域。
一般地,集合{y|y=f（x）,x∈A}应瞧成就是函数y=f（x）得值域,通过求函数值域化简集合。
此集合与集合{（x,y）|y=x2+1,x∈R}就是有本质差异得,后者就是点集,表示抛物线y=x2+1上得所有点,属于图形范畴。
集合中元素特征与代表元素得字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x23x+2=0},B+{x|x2mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。
化简条件得A={1,2},A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}
当B=φ时,△=m28<
∴
当B={1}或{2}时,,m无解
当B={1,2}时,
∴m=3
综上所述,m=3或
分类讨论就是中学数学得重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件就是解题素质得一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明:
已知x、y∈R,x+y≥2,求证x、y中至少有一个大于1。
假设x<
1且y<
1,由不等式同向相加得性质x+y<
2与已知x+y≥2矛盾
∴假设不成立
∴x、y中至少有一个大于1
说明;
反证法得理论依据就是:
欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q就是对立事件（不能同时成立,但必有一个成立）,所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。
例4、若A就是B得必要而不充分条件,C就是B得充要条件,D就是C得充分而不必要条件,判断D就是A得什么条件。
利用“”、“”符号分析各命题之间得关系
DCBA
∴DA,D就是A得充分不必要条件
符号“”、“”具有传递性,不过前者就是单方向得,后者就是双方向得。
例5、求直线:
axy+b=0经过两直线1:
2x2y3=0与2:
3x5y+1=0交点得充要条件。
从必要性着手,分充分性与必要性两方面证明。
由得1,2交点P
∵过点P
∴17a+4b=11
充分性:
设a,b满足17a+4b=11
代入方程:
整理得:
此方程表明,直线恒过两直线得交点
而此点为1与2得交点
∴充分性得证
∴综上所述,命题为真
关于充要条件得证明,一般有两种方式,一种就是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;
另一种就是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。
四、同步练习
（一）选择题
1、设M={x|x2+x+2=0},a=lg（lg10）,则{a}与M得关系就是
A、{a}=MB、M{a}C、{a}MD、M{a}
2、已知全集U=R,A={x|xa|<
2},B={x|x1|≥3},且A∩B=φ,则a得取值范围就是
A、[0,2]B、（2,2）C、（0,2]D、（0,2）
3、已知集合M={x|x=a23a+2,a∈R},N、{x|x=b2b,b∈R},则M,N得关系就是
A、MNB、MNC、M=ND、不确定
4、设集合A={x|x∈Z且10≤x≤1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中得元素个数就是
A、11B、10C、16D、15
5、集合M={1,2,3,4,5}得子集就是
A、15B、16C、31D、32
6、对于命题“正方形得四个内角相等”,下面判断正确得就是
A、所给命题为假B、它得逆否命题为真
C、它得逆命题为真D、它得否命题为真
7、“α≠β”就是cosα≠cosβ”得
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
8、集合A={x|x=3k2,k∈Z},B={y|y=3+1,∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间得关系就是
A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根得充要条件就是
A、0<
m≤1或m<
0B、0<
m≤1
C、m<
1D、m≤1
10、已知p:
方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q:
a,b就是整数,则p就是q得
充要条件D、既不充分又不必要条件
（二）填空题
11、已知M={},N={x|,则M∩N=__________。
12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好得人数最少就是________人。
13、关于x得方程|x||x1|=a有解得充要条件就是________________。
14、命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”得逆否命题为____________。
15、非空集合p满足下列两个条件:
（1）p{1,2,3,4,5},
（2）若元素a∈p,则6a∈p,则集合p个数就是__________。
（三）解答题
16、设集合A={（x,y）|y=ax+1},B={（x,y）|y=|x|},若A∩B就是单元素集合,求a取值范围。
17、已知抛物线C:
y=x2+mx1,点M（0,3）,N（3,0）,求抛物线C与线段MN有两个不同交点得充要条件。
18、设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q得值。
19、已知,b=2x,c=x2x+1,用反证法证明:
a、b、c中至少有一个不小于1。
函数
7、函数得定义及通性;
2、函数性质得运用。
1、函数得概念:
（1）映射:
设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应,则称从A到B得对应为映射,记为f:
A→B,f表示对应法则,b=f（a）。
若A中不同元素得象也不同,则称映射为单射,若B中每一个元素都有原象与之对应,则称映射为满射。
既就是单射又就是满射得映射称为一一映射。
（2）函数定义:
函数就就是定义在非空数集A,B上得映射,此时称数集A为定义域,象集C={f（x）|x∈A}为值域。
定义域,对应法则,值域构成了函数得三要素,从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,就是两个最基本得因素。
逆过来,值域也会限制定义域。
求函数定义域,通过解关于自变量得不等式（组）来实现得。
要熟记基本初等函数得定义域,通过四则运算构成得初等函数,其定义域就是每个初等函数定义域得交集。
复合函数定义域,不仅要考虑内函数得定义域,还要考虑到外函数对应法则得要求。
理解函数定义域,应紧密联系对应法则。
函数定义域就是研究函数性质得基础与前提。
函数对应法则通常表现为表格,解析式与图象。
其中解析式就是最常见得表现形式。
求已知类型函数解析式得方法就是待定系数法,抽象函数得解析式常用换元法及凑合法。
求函数值域就是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法得途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法得途径为函数与方程得思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。
在中学数学得各个部分都存在着求取值范围这一典型问题,它得一种典型处理方法就就是建立函数解析式,借助于求函数值域得方法。
2、函数得通性
（1）奇偶性:
函数定义域关于原点对称就是判断函数奇偶性得必要条件,在利用定义判断时,应在化简解析式后进行,同时灵活运用定义域得变形,如,（f（x）≠0）。
奇偶性得几何意义就是两种特殊得图象对称。
函数得奇偶性就是定义域上得普遍性质,定义式就是定义域上得恒等式。
利用奇偶性得运算性质可以简化判断奇偶性得步骤。
（2）单调性:
研究函数得单调性应结合函数单调区间,单调区间应就是定义域得子集。
判断函数单调性得方法:
①定义法,即比差法;
②图象法;
③单调性得运算性质（实质上就是不等式性质）;
④复合函数单调性判断法则。
函数单调性就是单调区间上普遍成立得性质,就是单调区间上恒成立得不等式。
函数单调性就是函数性质中最活跃得性质,它得运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解抽象函数不等式等。
（3）周期性:
周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,就是化归思想得重要手段。
求周期得重要方法:
①定义法;
②公式法;
③图象法;
④利用重要结论:
若函数f（x）满足f（ax）=f（a+x）,f（bx）=f（b+x）,a≠b,则T=2|ab|。
（4）反函数:
函数就是否就是有反函数就是函数概念得重要运用之一,在求反函数之前首先要判断函数就是否具备反函数,函数f（x）得反函数f1（x）得性质与f（x）性质紧密相连,如定义域、值域互换,具有相同得单调性等,把反函数f1（x）得问题化归为函数f（x）得问题就是处理反函数问题得重要思想。
设函数f（x）定义域为A,值域为C,则
f1[f（x）]=x,x∈A
f[f1（x）]=x,x∈C
8、函数得图象
函数得图象既就是函数性质得一个重要方面,又能直观地反映函数得性质,在解题过程中,充分发挥图象得工具作用。
图象作法:
①描点法;
②图象变换。
应掌握常见得图象变换。
4、本单常见得初等函数;
一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。
在具体得对应法则下理解函数得通性,掌握这些具体对应法则得性质。
分段函数就是重要得函数模型。
对于抽象函数,通常就是抓住函数特性就是定义域上恒等式,利用赋值法（变量代换法）解题。
联系到具体得函数模型可以简便地找到解题思路,及解题突破口。
应用题就是函数性质运用得重要题型。
审清题意,找准数量关系,把握好模型就是解应用题得关键。
5、主要思想方法:
数形结合,分类讨论,函数方程,化归等。
例1、已知,函数y=g（x）图象与y=f1（x+1）得图象关于直线y=x对称,求g（11）得值。
分析:
利用数形对应得关系,可知y=g（x）就是y=f1（x+1）得反函数,从而化g（x）问题为已知f（x）。
∵y=f1（x+1）
∴x+1=f（y）
∴x=f（y）1
∴y=f1（x+1）得反函数为y=f（x）1
即g（x）=f（x）1
∴g（11）=f（11）1=
评注:
函数与反函数得关系就是互为逆运算得关系,当f（x）存在反函数时,若b=f（a）,则a=f1（b）。
例2、设f（x）就是定义在（∞,+∞）上得函数,对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0,当1<
x≤1时,f（x）=2x1,求当1<
x≤3时,函数f（x）得解析式。
利用化归思想解题
∵f（x）+f（x+2）=0
∴f（x）=f（x+2）
∵该式对一切x∈R成立
∴以x2代x得:
f（x2）=f[（x2）+2]=f（x）
当1<
x≤3时,1<
x2≤1
∴f（x2）=2（x2）1=2x5
∴f（x）=f（x2）=2x+5
∴f（x）=2x+5（1<
x≤3）
在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式得定义域,另一方面要保持对应得函数值有一定关系。
在化归过程中还体现了整体思想。
例3、已知g（x）=x23,f（x）就是二次函数,当x∈[1,2]时,f（x）得最小值,且f（x）+g（x）为奇函数,求f（x）解析式。
用待定系数法求f（x）解析式
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
则f（x）+g（x）=（a1）x2+bx+c3
由已知f（x）+g（x）为奇函数
∴f（x）=x2+bx+3
下面通过确定f（x）在[1,2]上何时取最小值来确定b,分类讨论。
对称轴
（1）当≥2,b≤4时,f（x）在[1,2]上为减函数
∴2b+7=1
∴b=3（舍）
（2）当（1,2）,4<
b<
2时
∴（舍负）
（3）当≤1,b≥2时,f（x）在[1,2]上为增函数
∴（f（x）min=f
（1）=4b
∴4b=1
∴b=3
∴,或
评注:
二次函数在闭区间上得最值通常对对称轴与区间得位置关系进行讨论,就是求值域得基本题型之一。
在已知最值结果得条件下,仍需讨论何时取得最小值。
例4、定义在R上得函数y=f（x）,f（0）≠0,当x>
0时,f（x）>
1,且对任意得a、b∈R,有f（a+b）=f（a）f（b）,
（1）求证:
f（0）=1;
（2）求证:
对任意得x∈R,恒有f（x）>
0;
（3）证明:
f（x）就是R上得增函数;
（4）若f（x）·
f（2xx2）>
1,求x得取值范围。
（1）令a=b=0,则f（0）=[f（0）]2
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令a=x,b=x
则f（0）=f（x）f（x）
∴
由已知x>
1>
当x<
0时,x>
0,f（x）>
又x=0时,f（0）=1>
∴对任意x∈R,f（x）>
（3）任取x2>
x1,则f（x2）>
0,f（x1）>
0,x2x1>
∴f（x2）>
f（x1）
∴f（x）在R上就是增函数
（4）f（x）·
f（2xx2）=f[x+（2xx2）]=f（x2+3x）
又1=f（0）,f（x）在R上递增
∴由f（3xx2）>
f（0）得:
3xx2>
∴0<
x<
3
根据f（a+b）=f（a）·
f（b）就是恒等式得特点,对a、b适当赋值。
利用单调性得性质去掉符号“f”得到关于x得代数不等式,就是处理抽象函数不等式得典型方法。
例5、已知lgx+lgy=2lg（x2y）,求得值。
在化对数式为代数式过程中,全面挖掘x、y满足得条件
由已知得
∴x=4y,
例6、某工厂今年1月,2月,3月生产某产品分别为1万件,1、2万件,1、3万件,为了估测以后每个月得产量,以这三个月得产品数量为依据,用一个函数模拟该产品得月产量y与月份数x得关系,模拟函数可选用y=abx+c（其中a,b,c为常数）或二次函数,已知4月份该产品得产量为1、37万件,请问用哪个函数作为模拟函数较好？
并说明理由。
设f（x）=px2+qx+r（p≠0）
则
∴f（4）=0、05×
42+0、35×
4+0、7=1、3
设g（x）=abx+c
∴g（4）=0、8×
0、54+1、4=1、35
∵|1、351、37|<
|1、31、37|
∴选用y=0、8×
（0、5）x+1、4作为模拟函数较好。
四、巩固练习
1、定义在R上得偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x）,且在[1,0]上单调递增,设a=f（3）,b=f,c=f
（2）,则a,b,c大小关系就是
A、a>
b>
cB、a>
c>
bC、b>
aD、c>
a
2、方程（a>
0且a≠1）得实数解得个数就是
A、0B、1C、2D、3
3、得单调减区间就是
A、（∞,1）B、（1,+∞）C、（∞,1）∪（1,+∞）D、（∞,+∞）
9、函数得值域为
A、（∞,3]B、（∞,3]C、（3,+∞）D、（3,+∞）
10、函数y=log2|ax1|（a≠b）得图象得对称轴就是直线x=2,则a等于
A、B、C、2D、2
6、有长度为24得材料用一矩形场地,中间加两隔墙,要使矩形得面积最大,则隔壁得长度为
A、3B、4C、6D、12
7、已知定义在R得奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且当0≤x≤1时,f（x）=x,则=__________。
8、已知y=loga（2x）就是x得增函数,则a得取值范围就是__________。
9、函数f（x）定义域为[1,3],则f（x2+1）得定义域就是__________。
10、函数f（x）=x2bx+c满足f（1+x）=f（1x）,且f（0）=3,则f（bx）与f（cx）得大小关系就是__________。
11、已知f（x）=log3x+3,x∈[1,9],则y=[f（x）]2+f（x2）得最大值就是__________。
12、已知A={y|y=x24x+6,y∈N},B={y|y=x22x+18,y∈N},则A∩B中所有元素得与就是__________。
13、若φ（x）,g（x）都就是奇函数,f（x）=mφ（x）+ng（x）+2在（0,+∞）上有最大值,则f（x）在（∞,0）上最小值为__________。
14、函数y=log2（x2+1）（x>
0）得反函数就是__________。
15、求值:
=__________。
16、若函数得值域为[1,5],求a,c。
17、设定义在[2,2]上得偶函数f（x）在区间[0,2]上单调递减,若f（1m）<
f（m）,求实数m得取值范围。
18、已知0<
a<
1,在函数y=logax（x≥1）得图象上有A,B,C三点,它们得横坐标分别就是t,t+2,t+4
（1）若△ABC面积为S,求S=f（t）;
（2）判断S=f（t）得单调性;
（3）求S=f（t）最大值。
19、设f（x）=,x∈R
（1）证明:
对任意实数a,f（x）在（∞,+∞）上就是增函数;
（2）当f（x）为奇函数时,求a;
（3）当f（x）为奇函数时,对于给定得正实数k,解不等式。
20、设0<
1,函数f（x）=得定义域为[m,n],值[logaa（n1）,logaa（m1）],
m>
3;
（2）求a得取值范围。
数列
11、等差数列及等比数列得定义,通项公式,前n项与公式及性质;
2、一般数列得通项及前n项与计算。
1、数列,就是按照一定顺序排列而成得一列数,从函数角度瞧,这种顺序法则就就是函数得对应法则,因此数列可以瞧作就是一个特殊得函数,其特殊性在于:
第一,定义域就是正整数集或其子集;
第二,值域就是有顺序得,不能用集合符号表示。
研究数列,首先研究对应法则——通项公式:
an=f（n）,n∈N+,要能合理地由数列前n项写出通项公式,其次研究前n项与公式Sn:
Sn=a1+a2+…an,由Sn定义,得到数列中得重要公式:
。
一般数列得an及Sn,,除化归为等差数列及等比数列外,求Sn还有下列基本题型:
列项相消法,错位相消法。
2、等差数列
（1）定义,{an}为等差数列an+1an=d（常数）,n∈N+2an=an1+an+1（n≥2,n∈N+）;
（2）通项公式:
an=an+（n1）d,an=am+（nm）d;
前n项与公式:
;
（3）性质:
an=an+b,即an就是n得一次型函数,系数a为等差数列得公差;
Sn=an2+bn,即Sn就是n得不含常数项得二次函数;
若{an},{bn}均为等差数列,则{an±
nn},{},{kan+c}（k,c为常数）均为等差数列;
当m+n=p+q时,am+an=ap+aq,特例:
a1+an=a2+an1=a3+an2=…;
当2n=p+q时,2an=ap+aq;
当n为奇数时,S2n1=（2n1）an;
S奇=a中,S偶=a中。
3、等比数列
（1）定义:
=q（q为常数,an≠0）;
an2=an1an+1（n≥2,n∈N+）;
（2）通项公式:
an=a1qn1,an=amqnm;
前n项与公式:
（3）性质
当m+n=p+q时,aman=apaq,特例:
a1an=a2an1=a3an2=…,
当2n=p+q时,an2=apaq,数列{kan},{}成等比数列。
4、等差、等比数列得应用
（1）基本量得思想:
常设首项、公差及首项、公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等;
（2）灵活运用等差数列、等比数列得定义及性质,简化计算;
（3）若{an}为等差数列,则{}为等比数列（a>
0且a≠1）;
若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列（a>
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