河北省衡中同卷届高三第五次调研考试文科数学试题含详解.docx

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河北省衡中同卷届高三第五次调研考试文科数学试题含详解

河北省衡中同卷2020届高三第五次调研考试

文科数学

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题

1,设全集为，集合，则（）

A.B.C.D.

2已知复数则在复平面内对应的点位于（）

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3在一项由“一带一路”沿线20国青年参与的评选中，“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称为中国“新四大发明”.曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念，某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查，于开学进行交流报告会，四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（）

AB.C.D.

4.已知数列满足且，则（）

A.2B.1C.-2D.-1

5.若是不同的直线，是不同的平面，则下列四个命题：

①若，则②若，则③若则④若，则正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

6.根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归直线方程是则下列说法正确的是（）

A.至少有一个样本点落在回归直线上

B.若所有的样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1

C.对所有的解释变量的值一定与有误差

D.若回归直线的斜率，则变量正相关.

7.若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）

A.B.C.D.

8.某程序框图如图所示，其中若输出的，则判断框内应填入的条件为（）

A.B.CD.

9.已知球的表面上的四点满足若四面体体积的最大值为，则球的表面积为（）

A.B.C.D.

10.已知函数如对任意不相等的实数都满足，若则的大小关系为（）

A.B.C.D.

11.若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

12.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数，现设

表示数列的前项和，则不等式成立的最小正整数的值是（提示）（）

A.11B.10C.9D.8

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题

13.若点满足不等式则的最大值是

14.如图，在平行四边形中，分别为和上的点，且，若，其中，则的值为

15.若函数满足，且的图象与的图象共有个不同的交点，则所有交点的横、纵坐标之和

16.已知实数，若不等式恒成立，则的最大值是

三解答题

17.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给本次活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在内，现将这些分数分成以下6组，并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，回答下列问题：

⑴算出第三组的频数，并补全频率分布直方图：

⑵请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）

18.在中，内角所对的边分别为，已知且

⑴求的值

⑵若，求的值

19.如图，在四棱锥的三视图中，俯视图为边长为1的正方形，正视图与侧视图均为直角边长等于1的等腰直角三角形，是的中点，交于点.

⑴求证：

⑵求的面积.

20.已知函数

⑴讨论函数的导函数的单调性；

⑵若函数处取得极大值，求的取值范围.

21.在平面直角坐标系中，已知为上的一动点，在轴，轴上的射影分别为点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，曲线与轴交于两点.

⑴求曲线的方程

⑵已知直线分别交直线于点，曲线在点处的切线与线段交于点，求的值的值.

22.在极坐标系下，方程的图形为如图所示的“幸运四叶草”又称为玫瑰线.

⑴当玫瑰线时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；

⑵求曲线上的点与玫瑰线上的点的距离的最小值及取得最小值时的点的极坐标（不必写详细过程）.

23.若关于的不等式的解集为

⑴求实数的值；

⑵若实数满足求证：

.

文数参考答案

一．选择题

1.C【解析】由得，由得或，所以

所以故选C.

2.B【解析】由题得，所以，它在复平面内所对应的点在第二象限，故选B.

3.D【解析】将支付宝小组，网购小组，高铁小组，共享单车小组分别记为则四个小组随机排序的所有情况有：

共24种，其中支付宝小组与网购小组不相邻的有12种，所以所求概率为故选D

4.A【解析】由题意可知，数列为等差数列，故设数列的公差为，则，，故选A

5.B【解析】命题①中还有可能平行或相交，命题②中还有可能相交，命题④中还有可能相交，又故命题③正确.故选B.

6.D【解析】回归直线必经过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误;

所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为故B错误;

若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误;

相关系数与的符号相同.若回归直线的斜率，则，样本点应该分布在从左到右是上升的，则变量与正相关，故D正确.故选D.

7.C【解析】∵抛物线的准线方程为，垂直于轴，而圆垂直于轴的一条切线为，则，即，故抛物线方程为，故选C

8.A【解析】由

，解得所以当的值2019时满足判断框内的条件，当的值为2020时，不满足判断框内的条件，推出循环，输出的值，故结合选项，判断框内应填入的条件为，故选A.

9.A【解析】当平面与平面垂直时，四面体的体积最大.由，所以，设点到平面的距离为则解得，设四面体外接球的半径为，则，解得，所以球的表面积为，故选A.

10.B【解析】由题得：

又由可知函数为单调递增函数，故故选B

11.B【解析】双曲线的渐近线方程为

由对称性，不妨取，即

又曲线化为则其圆心的坐标为，半径为，有题得：

圆心到直线的距离

又由点到直线的距离公式，可得解得

故选B

12.C【解析】把代入

故，则成立，代入计算可得

当不等式成立，的最小值为9，故选C

2．填空题

13.【解析】设，变形为

可知当直线与圆在第一象限相切时，直线在轴上的截距最大，

即最大，此时即，所以的最大值为

14.【解析】因为

所以

又

所以，故

15.0【解析】因为满足所以的图象关于点对称，从而

的图象也关于点对称，所以所有的交点也关于点对称，

从而所有的交点的横坐标之和等于，所有的交点的纵坐标之和等于，故所有的交点的横、纵坐标之和等于0.

16.4【解析】因为由不等式可得

而（当且仅当时，取等号）所以的最大值为4.

3．解答题：

17.解：

（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：

所以第三组的频率分布直方图如图

（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，

所以从图中可看出众数的估计值为75

又根据频率分布直方图，知样本的平均数的估计值为：

所以样本的众数为75分，平均数为73.5分.

18解：

⑴在中，由正弦定理及得

又因为得到

由余弦定理可得

⑵由⑴可得

从而，

故

19。

解：

⑴由四棱锥的三视图，可知底面是正方形，

又

又是的中点，

⑵∵是的中点，

的面积为

20.解：

（1）∵

①当时，∴函数在上单调递增.

②当时，则若则

∴函数在上单调递增.在上单调递减.

综上所述，当时，∴函数在上单调递增.

当时，函数在上单调递增.在上单调递减.

⑵

①由⑴知当时，∴函数在上单调递增.

若则若则

∴在上单调递增.在上单调递减.

∴在取得极小值，不合题意；

.②当时，函数在上单调递增.在上单调递减.

在单调递减，

无极值，不合题意.

③当时，由

（1）知，在上单调递增

∴若则若则

在处取得极小值，不合题意.

④当时，，由

（1）知，在上单调递减.

若，则若，

在上单调递增，在上单调递减.

在处取得极大值，

综上所述，的取值范围是.

21.解：

⑴设则

又在轴、轴上的射影分别为点，所以

由得代入

得

故曲线的方程为

⑵设则

不妨设直线的方程为，令，得点的纵坐标

直线的方程为令，得点的纵坐标

由得

由得

整理得

将代入上式并整理，得

解得

所以曲线在点处的切线方程为

令，得点的纵坐标为

设所以

所以

将代入上式，得

解得即

21.解：

⑴联立以极点为圆心的单位圆与得

所以因为，所以或

从而得到以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标为，

⑵曲线的直角坐标方程为，玫瑰线极径的最大值为2，则可于点

取得，连接与垂直，且交于点，

所以点与的距离的最小值

此时对应的点，的极坐标分别为

21.解：

⑴由，得即

则解得

⑵由⑴可知

又因为

所以