二次函数压轴题角的存在性.docx
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二次函数压轴题角的存在性
一．解答题（共5小题）
例1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？
请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
例2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．
（3）在
（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
例3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？
若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．
2．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求直线BC及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
2015年05月13日1873957725的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共5小题）
1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？
请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
考点：
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专题：
压轴题．
分析：
（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．
解答：
解：
（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴，
解得b=，c=2，
∴抛物线的解析式为：
y=﹣x2+x+2．
（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴PF=OC=2，
∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，
联立，
解得x1=1，x2=2，
∴m1=1，m2=2；
将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，
联立，
解得x3=，x4=（在y轴左侧，不合题意，舍去），
∴m3=．
∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．
（3）存在．
理由：
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．
如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，
∴FM=yF﹣EM=m，
∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：
CF=m．
过点P作PN⊥CD于点N，
则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，
∴PN=CN，
而PN=2FN，
∴FN=CF=m，PN=2FN=m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：
PF==m．
∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m=m，
整理得：
m2﹣m=0，
解得m=0（舍去）或m=，
∴P（，）；
同理求得，另一点为P（，）．
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
点评：
本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第
（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．
2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．
（3）在
（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
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分析：
（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入
（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）当∠PCB=∠CBD时，可知CP∥BD，根据三角形的全等关系确定P点坐标．
解答：
解：
（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，
得，
解得，
∴y=x2﹣2x﹣3；
（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得
m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，
解得m=2或﹣1，
∵点D（m，﹣m﹣1）在第四象限，
∴D（2，﹣3），
∵直线BC解析式为y=x﹣3，
∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，
∴点D关于直线BC对称的点D'（0，﹣1）；
（3）存在．
过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点（如图），
∵∠PCB=∠CBD，
∴CP∥BD，
又∵CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，
∴△OCP≌△EDB，
∴OP=BE=1，
设CP与BD相交于M点（m，3m﹣9），
易求BD解析式为：
y=3x﹣9，
由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=；
于是，M点坐标为：
M（，﹣）；
于是CM解析式为：
y=x﹣3，
令CM方程中，y=0，则x=9，
所以，P点坐标为：
P（9，0），
∴P（1，0），或（9，0）．
点评：
本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标．
3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？
若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
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专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得横坐标为±c，纵坐标为c．
解答：
解：
（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，
，
解得；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，
∴顶点D的坐标为（﹣2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴=，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：
OC=BC，AC=OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（﹣c，c），
∴顶点横坐标=c，b=c，
∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）2+c•c+c，
∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，
令c=2，
∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．
点评：
本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．
4．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．
考点：
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专题：
压轴题．
分析：
（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；
（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．
解答：
解：
（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：
1+2+c=0
∴c=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x
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