人教版八年级第16讲分式方程及其应用.docx
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人教版八年级第16讲分式方程及其应用
人教版八年级第16讲分式方程及其应用
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、解答题
1．解方程：
（1）.
（2）.
2．解方程：
.
3．解方程：
.
4．若干人共同买一箱香烟，后来考虑到吸烟污染环境，有害身体，有15人戒烟，余下每人要多分担15元，到决定付款时，又有5人不买，最后余下的每人又多增加10元，问开始准备共同购买香烟的人数是多少？
5．杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价每件比第一批多了5元.
（1）第一批杨梅每件进价多少元？
（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出后，为了尽快售完，决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折（利润售价进价）？
6．已知，均为自然数，且满足，若对于某一给定的自然数，只有唯一的一个自然数使不等式成立，求所有符合要求的自然数中的最大值和最小值.
二、单选题
7．方程的解是（）.
A．B．C．D．
8．已知点关于原点的对称点在第一象限内，且为整数，则关于的分式方程的解是（）.
A．B．C．D．不能确定
9．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
10．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（）.
A．B．C．D．
11．关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
三、填空题
12．，，，四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对，则______.
13．若以x为未知数的方程无解，则______.
14．如果关于的方程有增根，则_______________.
参考答案
1．
（1）；
（2）原分式方程无解.
【解析】
【分析】
两分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【详解】
（1）方程两边同乘以，得
，
即，
化简得，.
经检验，是原方程的解.
（2）.
去分母得，
即，
所以.
检验：
当时，.
所以不是分式方程的解，故原分式方程无解.
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根.
2．
【解析】
【分析】
将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【详解】
去分母得，
去括号得，
解得，
经检验，是原分式方程的解.
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根.
3．.
【解析】
【分析】
原方程变形为，再去分母求解方程进行检验即可.
【详解】
原方程可化为，
即，
，
，
，
，
，
.
经检验，是原方程的根.
∴原方程的解是.
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根.
4．40人.
【解析】
【分析】
设开始人准备买香烟，一箱香烟的总价为元,根据题意即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
设开始人准备买香烟，一箱香烟的总价为元，依题意可得方程组
即
由，得，
解得.
经检验，是原方程的根.
答：
开始准备共同购买香烟的有40人.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据一箱香烟的钱数不变列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
5．
（1）120元
（2）至少打7折．
【分析】
（1）设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：
第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；
（2）设剩余的杨梅每件售价y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于320元，可列不等式求解．
【详解】
解：
（1）设第一批杨梅每件进价是x元，
则
解得
经检验，x=120是原方程的解且符合题意．
答：
第一批杨梅每件进价为120元．
（2）设剩余的杨梅每件售价打y折．
则
解得y≥7.
答：
剩余的杨梅每件售价至少打7折．
【点睛】
考查分式方程的应用,一元一次不等式的应用，读懂题目，从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.
6．的最大值为84，最小值为13.
【解析】
【分析】
由题意可得：
，整理得：
①，也可得 ②，根据对于某一给定的自然数n，k的值只有一个，可得出n的最大值，再由①可得n＞7，然后依次试验n=8、9、10…，即可得出n的最小值．
【详解】
，，
，即.
为自然数，且对于给定的来说，的值只有一个，
，
，.
当时，代人①得.
只能取唯一的一个，的最大值为84.
又由，得.
当时，，没有符合条件的整数，
当时，，也没有符合条件的整数.
当时，分别有：
，，均不符合条件.
当时，，存在符合条件的.
为符合条件的最小值.
综上所述，的最大值为84，最小值为13.
【点睛】
本题考查了函数的最值问题，解答此类竞赛类题目，关键是灵活变通，本题的灵活之处在与由得出，难度较大．
7．B
【分析】
直接解分式方程，注意要验根.
【详解】
解：
=0，
方程两边同时乘以最简公分母x（x+1），得：
3（x+1）-7x=0,
解这个一元一次方程，得：
x=，
经检验，x=是原方程的解.
故选B.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程不要忘记验根.
8．C
【详解】
因为点P（1-2a，a-2）关于原点的对称点在第一象限内，
所以点P（1-2a，a-2）在第三象限内，
所以，
所以，
又a为整数，所以a=1，
所以分式方程是，
解得x=3，经检验可知x=3是分式方程的解，
故选C.
考点：
1.点的坐标特点2.不等式组3.分式方程.
9．C
【解析】
试题解析：
分式方程去分母得：
m-3=x-1，
解得：
x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：
m≥2且m≠3．
故选C.
考点：
分式方程的解．
10．D
【解析】
试题分析：
分式方程去分母得：
2x－m＝3x＋3，
解得：
x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：
m＜－3，
故选D．
点睛：
此题考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不为0这个条件．
11．A
【解析】
解：
去分母得：
3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：
﹣5=﹣2+2+m，解得：
m=﹣5．故选A．
12．或
【解析】
【分析】
因为有意义，则y不等于0，则x+y与x-y的值一定不会相等，则分若x+y=xy=和x-y=xy=两种情况进行讨论，求得x，y的值．
【详解】
因为有意义，则y不等于0，则x+y与x-y的值一定不会相等．
（1）若x+y=xy=，由xy=，得x（y2-1）=0，则x=0或y=1或y=-1
若x=0，代入x+y=xy得y=0，不合题，舍去
若y=1，代入x+y=xy得x+1=x，不成立，舍去
过y=-1，代入x+y=xy得x-1=-x，得x=，即x=，y=-1；
（2）若x-y=xy=，由xy=，得x（y2-1）=0，则x=0或y=1或y=-1
若x=0，代入x-y=xy得y=0，不合题，舍去，
若y=1，代入x-y=xy得x-1=x，不成立，舍去，
过y=-1，代入x-y=xy得x+1=-x，得x=-，即x=-，y=-1．
则一共有两对，是x=，y=-1或x=-，y=-1．
所以，x的值为或
【点睛】
本题考查了有理数的运算，注意到由有意义的条件，得到x+y与x-y的值不同，分两种情况讨论是关键．
13．或或.
【解析】
【分析】
首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】
去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【点睛】
本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
14．-1
【解析】
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】
方程两边都乘x−1得mx＋1-x＋1＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x−1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝−1．
故答案为：
−1．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
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