对应高数极坐标与极坐标中的积分计算.docx
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对应高数极坐标与极坐标中的积分计算
极坐标与极坐标中的积分计算
一、何谓极坐标？
你大概也看过一些冷战电影，熟悉这样的情节:
美国的潜艇在深海中潜行，而就在50英尺外，有艘苏联潜艇，所以在场的每一个人都得非常安静不可，深怕一不小心杯对方发觉，朝自己射鱼雷。
这时屏幕上就出现了一位海军少尉，坐在雷达显示器前面，而显示器上有一条绿色亮光线，像时钟指针般不断扫描。
然后，镜头扫到了潜艇上的军官，每一个人能都汗流浃背，因为潜艇里拥挤得像沙丁鱼罐头，根本没有空间让船员把止汗除臭剂带上船。
接着，艇长压低了声音说：
“安静，任何人都不许出声”，而描述这些细节的同时，雷达显示器上的两线仍是一直转个不不停，而且每转到差不多同一位置，就会出现一个大亮点，指出敌人潜艇的方向跟位置，而且媚扫过那一点，雷达显示器就会“哔”地发出一声怪叫，就想三更半夜的闹钟响。
这时候你坐在电视机前，不由得奇怪，那些俄国人怎么听不见这个哔声？
难道耳朵里塞了耳塞？
还是他们把美国人潜艇发出的哔声，跟他们自己的搞混了？
当然都不是，那哔声响亮到可以把死人吵醒，所以艇长叫大家不得出声，根本是在欺骗没有上过潜艇的老百姓！
于是，你坐在自己的家庭电影院里，对着电视告诉艇长：
“你根本不用压低声音说话，雷达显示器不可能传递声音。
”而且即使你在这边敞开喉咙大唱：
“天佑美国”。
俄国人也稚嫩恶搞在那边说；“同志，你听到了什么声音？
”或是“同志，我从他妈的雷达显示器上啥也听不到！
”
当然，这类电影的场景，至少有80%发生在北极冰帽下面。
原因是美苏两国的潜艇最容易在那儿碰头。
难怪雷达显示器上所用的坐标，可叫做“极”坐标。
稍后，显示器前的少尉也说悄悄话的样子，大声向艇长说（不然就会被显示器的哔声压得根本听不见）：
“报告艇长，对方似乎是一搜C级核动力突击艇，上面看来载有37个男人，12个女人，和一只放养鸡，它的位置离我们50英尺，现在正在接近中。
”
然后这位雷达官加上一句；“它在37度方向。
”意思是说，对方在50英尺外，方向跟x轴之间的夹角为37°。
若是用极坐标来表示，我们该说点的坐标是
当然，我们跟海军不同。
我们使用弧度，这是因为所有的数学家都同意，弧度计算起来比较方便。
如果你只是为找到鱼雷的位置，用“度”也还算方便，不是一旦涉及到积分、微分运算，你就必须用弧度了。
为了用极坐标来表示平面上的一点，我们得先说出该店跟原点之间的距离，此距离称为r,然后是它与圆点的连线，跟正x轴之间存在反时针方向的夹角θ.如此一来，我们就把一点表示成
如图1所示
图1
在极坐标上，对同一点不止一个表示方法，就拿直角坐标系（x,y）上的点（1,0）为例，它离原点的距离是1，而跟正x轴之间的夹角为0弧度，所以用极坐标表示词典它是
但是我们也可以写成,
等等，这还不算稀奇，除了（0,0）还可以写成
等等
如果r是负值,表示从原点走出去时朝着负x轴的方向走。
所以说如图2所示,
这一点，跟
事实上为同一点.
图2
从图3以及勾股定理，我们可以得到几个换算直角坐标与极坐标的基本关系式
图3
框框里的4个方程式，值得知道，但是不须硬背下来。
原因是你只要记得图3，就能非常容易从图上看出了，现在让我们画一些极坐标方程式的图.
例题1:
试绘出r=3
解:
你一定会喜欢这题！
题目是要我们把平面上满足r=3所有的点
找出来，由于方程式中根本没有θ,表示θ可以等于任何值；但是r不然，它固定在3这个距离上。
因此，我们得到的图形就是以原点为圆心、半径为3的圆。
图4显示的就是这个图形。
图4
反过来说，这个圆的极坐标方程仅仅是r=3,比直角坐标圆方程
简单得多。
这正是数学家喜欢极坐标方程的一个原因；这种方程式大大简化了某些常用图形表示方法，特别是是以原点为圆心的圆.
例题2试绘出r=2sinθ
解:
方法1：
标出一些点，然后连起来。
在绘图时，这是一个经久不衰的传统方法。
当你不是很确定，或是杯五花八门的“捷径”弄得迷迷糊糊、不知所从，这时最靠得住的方法就是返璞归真，把一些点标示出来，然后一个个连起来.
θ
0
...
r=2sinθ
0
2
0
...
吧以上这些点连起来之后，就会得到图5所示的圆。
请注意，如果我们让θ从0变化到2π，我们实际上饶了图中这个圆2次。
方法2:
上述描点非常机械化，我们不防变化一下，换个解题方式。
首先，在等号两边各乘r
这不就是半径为1、圆心在（0,1）的圆吗？
图5
由此，我们很容易看出:
同样地
F
如图6所示
图6
例题3试绘r=1+sinθ
解:
这题比较诡诈。
如果我们依照上题的办法，试图把原方程转换成直角坐标，恐怕会弄得一团糟。
所以，我们还是老老实实的描绘点比较好.
θ
0
r=1+sinθ
1
1.707
2
1.707
1
0.293
0
0.293
1
图7
把这些点连起来后，得到图7.这个图形和心脏的外形相似，所以命名为“心脏线”。
西洋情人节期间满街可看到“心形”，根真的心脏比起来，长相根本就差了一大截，图7这个图形，才是真正的心形--因为它有个拉丁名字！
凡是形式为
的方程式，画出来的图形都是心脏线。
中国人常说：
“某某人胸怀大志”洋人则说：
“Shehasaheartasbigasthegreatoutdoors.（他得心脏很大）”指的就是a的大小，a愈大，心脏也愈大。
方程式用的三角函数是sin还是cos,决定了这个心脏线是竖着还是横着，至于方程里的正负号，决定了凹进去的部位是朝下还是朝上.
以上这几题，可以说是极坐标方程里最著名的方程式，而且经常在考卷上露脸，所以若要得到好成绩，最好弄得一清二楚。
二、极坐标中的面积
如同直角坐标中的曲线“围住”一块面积，极坐标中的曲线也围住了一块面积。
我们已经学过，如何求直角坐标中两条曲线之间的面积，所以原则上，我们可以吧以极坐标表示的曲线，先转成直角坐标，然后求面积。
不过，这有点像吧美国诗人RoberFrost写的诗，先译成俄文，然后才去决定我们喜不喜欢。
因此我们最好还是来瞧瞧，如何在极坐标上直接求面积。
假设我们要知道的面积，夹在两条径向线θ=α根θ=β，以及曲线
之间，而θ的范围当然是
.图8所示
图8
一看到这个图，你可以把它当做一块派或比萨，分切成许多等份，来估算它的总面积。
图9
说道派，数学系聚餐时常有一道饭后甜点就是柠檬派，每当柠檬派分送到每个人面前，大家所做的第一件事，就是议论应该如何计算面前这块派的面积（每个人心里想的，实际上是究竟是谁拿到了最大的那一块）。
如果这块派的半径为r,圆心角为φ,就像图9那样，那简单地说，整个派的面积就是πr²,而你面前的那一份是整个派ude2π分之φ,也就是说，你的那一块派面积等于
如果你搞不清楚数学系聚餐是怎么回事，现在你心里应该有点谱才是，当然好戏还在后头，等到吃完了饭要付帐的时候，你就会大开眼界啦！
闲话少说，言归正传，让我们回到图8的问题
图10
现在看看图10.我们吧介于α到β的这个角分成n个等分，每一等份的大小为△θ,而在每一个等分角中，我们再任选一个角
来代表它的角度位置，那么第i个楔形小块的半径就是
而面积就等于
所以，整个区域的面积约等于这些小块派的面积和，写成数学式子就是:
如果我们吧派饼分得更细，然后取其极限，那么这个总和变成从α到β的积分，我们也就出了整块派的面积：
例题1:
（看不透挡风玻璃的问题）话说你要去球场看少年棒球赛，正沿着球场旁边开着车，这时不知哪个乡巴佬有意无意的吐了一口槟榔汁，一滩血似的东西正巧落在你的挡风玻璃上。
修养到家的你，一句恶言也不发，马上启动雨刷，来回刷了几下，结果是挡风玻璃上的“血渍”就散开来，成了一块介于
的区域（r的单位是英尺）.那么请问，你那片看不同的红渍印的面积究竟有多大？
图11
解：
那片血渍的形状如图11所示。
利用前面方框里面的公式:
看样子，你只有赶紧去找家洗车点喽
曲线所围成的面积
也许你也曾注意到，挡风玻璃上的雨刷，并非每次都会回到雨刷从车体伸出来的地方。
从实用观点来看应是好事，因为那地方刮了不但没啥效果，雨刷也比较容易磨损。
不管道理在哪儿。
结果是我们得知道，如何求两条极坐标曲线之间的面积。
假设我们相求，由两径向线θ=α根θ=β，,以及两曲线
所围城的面积（其中，对α跟β之间的所有θ来说,
，如图12所示
图12
由于两条径向线跟曲线
所围城的面积
而两径向线跟另一条取下你
所围城的面积
则两条曲线间的面积，就等于关于前者减去后者:
例题2试求在圆r=2cosθ之内却在圆r=1之外的区域的面积
解:
第一步：
把题目做个图解，圆r=1很简单，r=2cosθ借助前面的公式课的是一个圆心为（1,0）半径为1的圆。
如图13所示
图13
所以这个题目就是要我们求出途中那块弦月的面积
第二步：
我们需要找出两个圆的交点，由于在交点上，r值相等，所以
第三步:
现在一切就绪，我们可以写下积分过程，求出面积了
嘿，怎么半天都没听到你声音了？
来源:
《微积分之倚天宝剑》（C.亚当斯J.哈斯A.汤普森）
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