解三角形数列全国数学高考分类真题含答案.docx

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解三角形数列全国数学高考分类真题含答案

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）

一．选择题（共4小题）

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）

A．B．C．D．

2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4B．C．D．2

3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）

A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）

A．﹣12B．﹣10C．10D．12

二．填空题（共4小题）

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　　．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=　　，c=　　．

7．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　　．

8．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　　．

三．解答题（共9小题）

9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．

12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2，求BC．

13．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．

（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：

存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．

14．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

15．设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*），

（i）求Tn；

（ii）证明=﹣2（n∈N*）．

16．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．

17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：

∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

△ABC的面积为，

∴S△ABC==，

∴sinC==cosC，

∵0＜C＜π，∴C=．

故选：

C．

2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4B．C．D．2

【解答】解：

在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，

BC=1，AC=5，则AB====4．

故选：

A．

3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）

A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4

【解答】解：

a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，

a1＞1，设公比为q，

当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，

即：

a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．

当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；

当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，

当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，

故选：

B．

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）

A．﹣12B．﹣10C．10D．12

【解答】解：

∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，

∴=a1+a1+d+4a1+d，

把a1=2，代入得d=﹣3

∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．

故选：

B．

二．填空题（共4小题）

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　9　．

【解答】解：

由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，

即ac=a+c，

得+=1，

得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，

当且仅当=，即c=2a时，取等号，

故答案为：

9．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=　　，c=　3　．

【解答】解：

∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

a=，b=2，A=60°，

∴由正弦定理得：

，即=，

解得sinB==．

由余弦定理得：

cos60°=，

解得c=3或c=﹣1（舍），

∴sinB=，c=3．

故答案为：

，3．

7．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　an=6n﹣3　．

【解答】解：

∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，

∴，

解得a1=3，d=6，

∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．

∴{an}的通项公式为an=6n﹣3．

故答案为：

an=6n﹣3．

8．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　﹣63　．

【解答】解：

Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，①

当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，

当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，

由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，

∴S6==﹣63，

故答案为：

﹣63

三．解答题（共9小题）

9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

【解答】解：

（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，

∵cosB=﹣，∴sinB===，

由正弦定理得=得sinA===，

则A=．

（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，

即64=49+c2+2×7×c×，

即c2+2c﹣15=0，

得（c﹣3）（c+5）=0，

得c=3或c=﹣5（舍），

则AC边上的高h=csinA=3×=．

10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【解答】解：

（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．

∴x=﹣，y=，r=|OP|=，

∴sin（α+π）=﹣sinα=；

（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，

得，，

又由sin（α+β）=，

得=，

则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，

或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．

∴cosβ的值为或．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．

【解答】解：

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，

又bsinA=acos（B﹣）．

∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，

∴tanB=，

又B∈（0，π），∴B=．

（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，

由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，

∵a＜c，∴cosA=，

∴sin2A=2sinAcosA=，

cos2A=2cos2A﹣1=，

∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．

12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2，求BC．

【解答】解：

（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得：

=，即=，

∴sin∠ADB==，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

==5．

13．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．

（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：

存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．

【解答】解：

（1）由题意可知|an﹣bn|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，

∵a1=0，q=2，

∴，解得．即≤d≤．

证明：

（2）∵an=a1+（n﹣1）d，bn=b1•qn﹣1，

若存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，

则|b1+（n﹣1）d﹣b1•qn﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），

即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），

∵q∈（1，]，∴则1＜qn﹣1≤qm≤2，（n=2，3，…，m+1），

∴b1≤0，＞0，

因此取d=0时，|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，

下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，

①当2≤n≤m时，﹣==，

当1＜q≤时，有qn≤qm≤2，

从而n（qn﹣qn﹣1）﹣qn+2＞0，

因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，

故数列{}的最大值为．

②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，

∴f（x）单