北京市中考数学真题与模拟题分类汇编 专题09 函数之解答题73道题原卷版1.docx
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北京市中考数学真题与模拟题分类汇编专题09函数之解答题73道题原卷版1
专题09函数之解答题
一．解答题（共73小题）
1．（2019•北京）如图，P是
与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是
上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在
上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出
（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
2．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx
与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（
，
），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：
y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
4．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）
小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：
x/cm
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y/cm
0
3.7
3.8
3.3
2.5
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当△PBM的面积为1时，PM的长度约为 cm．
5．（2019•怀柔区二模）研究发现：
初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题：
（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是 ．
（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第 分钟到第 分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．
6．（2019•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，0）的直线l：
y＝mx﹣3与y轴交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点C是直线l与双曲线
的一个公共点，AB＝3AC，求n的值．
7．（2019•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：
微克）与服药后的时间t（单位：
小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．
t
0
1
2
3
4
6
8
10
…
y
0
2
4
2.83
2
1
0.5
0.25
…
（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；
（2）结合函数图象，解决下列问题：
①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约 小时；
②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为 微克．
8．（2019•海淀区二模）有这样一个问题：
探究函数y
的图象与性质．
小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y
的图象与性质进行了探究．
下面是小宇的探究过程，请补充完整：
（1）函数y
的自变量x的取值范围是；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：
①画出函数y
和y
的图象；
②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y
和y
的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；
③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y
在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．
（3）结合函数y
的图象，发现：
①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；
②该函数还具有的性质为：
（一条即可）．
9．（2019•丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：
若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB
∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是 ；
②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
10．（2019•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数
（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．
（1）求k，m的值；
（2）点B为函数
（x＞0）的图象上的一点，直线AB与y轴交于点C，当AC＝2AB时，求点C的坐标．
11．（2019•通州区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，函数y
（x＜0）的图象经过点A．
（1）求k的值；
（2）若过点A的直线l平行于直线OB，且交函数y
（x＜0）的图象于点D．
①求直线l的表达式；
②定义：
横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y
（x＜0）的图象在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W．结合函数图象，直接写出区域W内（含边界）的整点个数．
12．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：
y＝x2﹣2mx+m2﹣2．
（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
13．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；
（2）过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，结合函数的图象，求a的取值范围．
14．（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：
若⊙C上存在点A，使得∠APC＝30°，则称P为⊙C的半角关联点．
当⊙O的半径为1时，
（1）在点D（
，
），E（2，0），F（0，
）中，⊙O的半角关联点是 ；
（2）直线l：
交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的半角关联点，求m的取值范围．
15．（2019•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
②当
AB
时，结合函数图象，求a的取值范围．
16．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数
的图象G与直线l：
y＝﹣x+7交于A（1，a），B两点．
（1）求k的值；
（2）记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．点P在区域W内，若点P的横纵坐标都为整数，直接写出点P的坐标．
17．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．
（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；
（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．
18．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．
（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）记函数
（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
19．（2019•怀柔区二模）阅读材料：
1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．镭的质量由m0缩减到
m0需1620年，由
m0缩减到
m0需1620年，由
m0缩减到
m0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量﹣﹣1620年，一般把1620年称为镭的半衰期．
实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为4.5×109年，蜕变后的铀最后成为铅．科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄．
根据以上材料回答问题：
（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m0千克，经过n个半衰期后，剩余的铀的质量为m1千克，下表是m1随n的变化情况，请补充完整：
半衰期n
0
1
2
3
4
5
…
岩石中剩余
铀的质量m1
m0
m0
m0
m0
m0
…
（2）写出矿石中剩余的铀的质量m1与半衰期n之间的函数关系；
（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m2与半衰期n的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m1与半衰期n的函数关系图象：
（4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等．
20．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设直线与直线AC关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；
（3）平行于x轴的直线b与抛物线交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），与直线交于点P（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．
21．（2019•朝阳区二模）M（﹣1，
），N（1，
）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：
45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点
，
，
，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
（2）若点B是直线y＝x
上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
22．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：
y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线C1的对称轴；
（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．
23．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y
的一个交点是A（m，3）．
（1）求m和k的值；
（2）设点P是双曲线y
上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P的坐标．
24．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y
的图象经过点P（3，4）．
（1）求k的值；
（2）求OP的长；
（3）直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB＞10，直接写出m的取值范围．
25．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．
（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；
（3）已知A（2k，0），B（0，k），在
（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．
26．（2019•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．
（1）求证：
此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．
27．（2019•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+k与双曲线y
（x＞0）交于点A（1，a）．
（1）求a，k的值；
（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线y＝kx+k，点P（m，n）（m＞3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y
（x＞0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．
28．（2019•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：
抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．
①求a的值；
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．
（3）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．
29．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：
y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y
的图象的一个交点为M（1，m）．
（1）求m的值；
（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接OM，设△AOB的面积为S1，△MOB的面积为S2，若S1≥3S2，求k的取值范围．
30．（2019•海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y
的交点为M，N．
（1）当点M的横坐标为1时，求b的值；
（2）若MN≤3AB，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
31．（2019•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：
y＝ax2﹣2ax+3与直线l：
y＝kx+b交于A，B两点，且点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）若a＝﹣1，求直线l的解析式；
（3）若﹣3＜k＜﹣1，求a的取值范围．
32．（2019•怀柔区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与函数y
的图象交于A（﹣2，a），B两点．
（1）求a，k的值；
（2）已知点P（0，m），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y
的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|＞|x2|，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
33．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：
y＝ax+b与双曲线y
交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．
（1）①求k的值和点C的坐标；
②求直线l的表达式；
（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．
34．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣（3+a）x+3（a≠0）交于A，B两点，并且OA＜OB．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当2
时，求a的取值范围．
35．（2019•平谷区二模）已知：
二次函数C1：
y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）
（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：
y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
36．（2019•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在第一象限内，∠OAB＝90°，OA＝AB，△OAB的面积为2，反比例函数y
的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）已知点P坐标为（a，0），过点P作直线OB的垂线l，点O，A关于直线l的对称点分别为O′，A′，若线段O′A′与反比例函数y
的图象有公共点，直接写出a的取值范围．
37．（2019•平谷区二模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y
（x＞0）经过点A（4，m）．
（1）求点A的坐标；
（2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）；
（3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的坐标．
38．（2019•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）；
（2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1、y2、y3的大小关系为 ；
（3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
39．（2019•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，2），B（0，1），将线段AB沿x轴的正方向平移n（n＞0）个单位，得到线段A′，B′恰好都落在反比例函数y
（m≠0）的图象上．
（1）用含n的代数式表示点A′，B′的坐标；
（2）求n的值和反比例函数y
（m≠0）的表达式；
（3）点C为反比例函数y
（m≠0）图象上的一个动点，直线CA′与x轴交于点D，若CD＝2A′D，请直接写出点C的坐标．
40．（2019•怀柔区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k＜0），经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y
（x＞0）的图象G交于A，B两点．
（1）求直线的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．
①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标 ；
②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．
41．（2019•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
42．（2019•大兴区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与函数y
（x＜0）的图象交于点A（
，m）．
（1）求m，k的值；
（2）点P（xP，yP）为直线y＝x上任意一点，将直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l，过点P作x轴的垂线交直线l于点C，交函数y
（x＜0）的图象于点D．
①当xP＝﹣1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；
②若PC+PD≤4时，结合函数图象，直接写出xP的取值范围．
43．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；
（3）将点A（﹣1，6）沿x轴向右平移7个单位得到点B，若抛物线与线段AB始终有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
44．（2019•丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：
y＝x+1与y轴交于点A，与函数y
（x＞0）的图象交于点B（2，a）．
（1）求a，k的值；
（2）点M是函数y
（x＞0）图象上的一点，过点M作平行于y轴的直线，交直线l于点P，过点A作平行于x轴的直线交MP于点N，已知点M的横坐标为m．
①当m
时，求MP的长；
②若MP≥PN，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
45．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过原点和点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点
．记抛物线与直线AB围成的封闭区域（不含边界）为W．
①当a＝1时，求出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
46．（2019•怀柔区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B（0，t）作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，
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