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然而，就在恩格斯所在的19世纪，数学家不仅仅研究现实世界中的数学对象，而且开始关注并研究数学自身的大量基础性问题，而这类问题——以数学自身的协调、完备以及模式化为目的——只是出于使数学自身达到完美与统一的需要。
■从19世纪后期开始，数学成为了研究数与形、运动与变化以及数学自身问题的学问，而且数学理论的论述呈现以公理化倾向为特征的规范形式。
从此，数学发展进入了所谓现代数学阶段。
这种对数学自身问题的研究，实现了数与形的统一，促成了数学与逻辑的融合，开辟了全新而广阔的数学发展空间和应用领域，从根本上刷新了人类的数学观念。
■康托尔（G.Cantor1845---1918）
■“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。
就是说，它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。
罗素（B.Russell,1872---1970）
■“数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。
20世纪初，英国哲学家兼数学家罗素（B.Russell,1872-1970）给数学下了如下一个定义：
■“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。
这里既不管第一个命题是否成立，也不管使此命题成立的那些事物究竟是什么，……。
只要我们的假定是关于一般事物的，而不是关于某些特殊事物的，那么我们的推理就构成为数学。
这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的（事物）是什么，也不知道所说的内容（断语）是否正确。
数学是什么？
■20世纪80年代，一批美国学者将数学简单地定义为关于“模式”的科学：
■“[数学]这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
搜索并揭示隐藏模式的过程是在交织着许多对立面的斗争中进行的，这些对立面是：
具体与抽象、特殊与一般、有限与无限、离散与连续、算法的与存在的、随机的与决定论的、精确的与近似的，等等。
正是这些对立面的相互作用、反复综合并在更高层面上达成统一，在不停地推动着数学的创造、更新和应用，在生动地体现着数学理论的思想脉搏和蓬勃生机。
因此，这些对立统一因素构成了数学科学发展的基本要素，理应在数学教育中作为通识知识加以系统地阐释。
数学是抽象的，追求精确性和可靠性随着数学家开发模式的范围自然地、无限制地扩张到任何领域中去，数学的历史边界已完全消失，同样数学应用的边界也没有了：
现代数学不再只是自然科学和工程技术领域（如物理学、化学、生物学、生态学、各种工程设计和控制技术等）的语言，它与计算机相结合已经成为众多行业和部门（如银行业、制造业、医药业、统计与审计部门、信息处理与信息安全部门等）以及社会科学领域（如经济学、社会学、历史学、心理学、考古学、语言学等）必不可少的工具。
■“知道重大发明特别是那些绝非偶然的﹑经过深思熟虑而得到的重大发明的真正起源是很有益的。
这不仅在于历史可以给每一位发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉，而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法。
希尔伯特（D.Hilbert,1862---1943）
■“数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。
■“凡服从于科学思维的一切知识，只要准备发展成一门理论，就必然要受公理化方法的支配，受数学的支配。
第二讲有限无限纵横谈
（一）
§
2.1从自然数谈起
•对于今日受过初等教育的人，数学最明显的出发点就是自然数序列：
0，1，2，3，……
这个我们如此习惯的数学概念，形成却很慢，仅仅在文明的高级阶段，我们才能以其为本，作为我们考察数学的起点。
•如果问：
自然数是什么?
这可就不那么容易回答了。
事情说到根上，看起来简单的问题反而难以回答。
皮亚诺的自然数公理系统
•三个基本概念：
0，数，后继
•五条公理：
•0是一个数。
•任何数的后继是一个数。
•若两个数不同，则它们的后继也不同。
•0不是任何数的后继。
•数学归纳法原理。
数学归纳法原理
•如果每个数n都对应有一个命题P（n），又如果
（1）P（0）真，
（2）假若P（n）真，则必有P（n+1）真，
那么对所有的数n，P（n）都真。
•注：
数学归纳法原理是我们从有限通向无限的桥梁。
关于0、数、后继皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；
他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。
•皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。
•这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。
•“0”、“数”、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描
皮亚诺的自然数公理系统将经典数学“算术化”做到了最后完善的地步
•从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。
当然，完成这一切还需要加上一些逻辑的概念和命题。
•算术理论是分析数学的基础，是整个经典数学的基础；
这点以后会很清楚。
看明白这一点很重要
•皮亚诺的三个基本概念是逻辑抽象化的，只有形式，没有内容，可以允许多种解释。
例如，如果“0”代表实数1，“数”代表实数列
1，0.5，0.25，…而一个数的“后继”规定为取这个数的一半，那么这些解释完全可以与皮亚诺的五条公理相容不悖。
•这表明“0”、“数”和“后继”不能由皮亚诺的五条公理去定义，而必须单独地去了解。
§
2.2归约到逻辑
•“一这个数是什么，或者，1这个符号意谓什么，对这个问题，人们通常得到的答案是：
一个事物。
此外，如果人们注意到，
‘一这个数是一个事物’
这个句子不是定义，因为它一边是定冠词，另一边是不定冠词，如果人们还注意到，这个句子只是说1这个数属于事物，而没有说是哪个事物，那也许人们就不得不自己选择人们愿意称之为1的任何一个事物。
但是，如果每个人都可以有权任意理解这个名词，那么关于1的同一个句子对于不同的人就会意谓不同的东西；
这样的句子就不会有共同的内容。
一个数（自然数）是什么？
•或许有人提出，我们不用回答这个问题，因为我们不能定义“0”、“数”与“后继”，也不必假定我们知道这些概念的意义，不必令它们与通常的意义相符，我们可以让它们代表任何能适应皮亚诺公理的三个概念——它们将是变项，是我们对其作出某种假设而此外别无规定的概念。
这种方略并不荒谬，它提供一种推广，对于某种目的，确有价值。
•但是，这种方略未能为算术奠定一个适当的基础。
第一，它不能使我们知道是否确有适合皮亚诺公理的项的集合；
它甚至没有略略提示任何方法，以发现是否有这样的项的集合。
第二，我们需要我们的数能计数通常的事物，也就是要求我们的数不仅具有某种形式的性质，还应具有一种确定的意义。
试着给数1下个定义
•1这个数是所有含一个元素的集合所组成的类——这个类的集合共蕴一个特性（含有一个元素），且这一特性仅为这个类中的每个集合所具有。
•这里所谓“1的定义”使我们在逻辑上处于一种为难境界——正好可用于定义一个特定数目的此数之特性恰恰不能用于定义这个数！
启发：
单独地、孤立地去定义一个特定数目是行不通的，这在逻辑上会把事情逼到“自己定义自己”的境界，因为我们的眼界没有超出此数的本类，即这个数的外延所界定的对象集合的范围。
定义数该从何处着手？
•我们必须了解：
每个数都有自己的特有属性；
特有属性之所以“特有”，就在于它具有将该数本类的集合与另类的集合区分开的作用——本类的任何两个集合都“具有相等的元素个数”，而本类的和另类的集合之间则永不“具有相等的元素个数”。
•判断两个集合是否“具有相等的元素个数”比定义它们的“元素个数”是什么在逻辑上要简单得多。
“具有相等的元素个数”
•我们称集合甲与集合乙是“相似”的，如果集合甲与集合乙是“具有相等的元素个数”的。
•“相似”是在集合之间建立起来的一种关系，它具有如下性质：
（1）每个集合都自己与自己“相似”；
（2）若甲与乙“相似”，则乙与甲“相似”；
（3）若甲与乙“相似”，乙与丙“相似”，则甲与丙“相似”。
正是基于这些性质，“相似”关系可用于将全体集合划分成一个个两两互不相交的集合类——若甲与乙“相似”，则甲与乙归于同一个集合类。
这种集合类称作“相似类”。
数的定义
——弗雷格-罗素说法
•一个集合的数是所有与此集合相似的集合所构成的类，即此集合所在的“相似类”。
注：
两个集合相似意指这两个集合间存在着双射。
•所谓一个数目就是某一个集合的数。
评说“数”之弗雷格-罗素定义
•注意下定义的程式：
一个集合的数（一个数）数（所有数目）
一个相似类所有相似类所有集合
因此，数的定义归约到“集合”、“相似”和“分类”这三个项——逻辑主义者认为这三项隶属于逻辑范畴，我们权且这样去看。
关键点：
数的确定性离不开的思维观念
•注意，没有集合就没有这里所谓的“数”，这里的“数”本质上就是对所有集合给出了一种分类。
一个给定的“数”现在之所以是确定的——不允许有多种解释——正在于它的凭借集合构成的类（即相似类）是非空的和唯一的。
•在给数下定义时，无论是前面的皮亚诺定义，还是现在的弗雷格-罗素定义，有三个特别的数“0”、“1”和“2”似乎必须先验的出现在定义中。
事实上，这三个数是人的两种基本思维观念的集中反映：
“1与0”意味着“有与没有”——存在观念，
“1与2”意味着“相同与相异”——区分观念。
离开这两种基本的思维观念，我们的意识就退化到几近不存在的境界。
因此，在给数下定义的表述中，先验地出现这三个数的影子我们只好容忍。
数与集合的朴素观念
•对数的理解离不开对集合和类的理解。
•集合和类，按我们的朴素观念去理解，都是由确定对象所组成的群体。
不过，组成集合的对象我们将视作“不必再分的”，故而称作“元素”；
而组成类的对象则可以有元素，有集合，甚至还有类。
这种朴素的理解，事实上，将“集合”和“类”视作了同义词。
•定义一个具体的集合或类通常采用的定义方式有两种——“外延”定义法和“内涵”定义法：
“外延”定义法——枚举集合的所有元素以确定集合
“内涵”定义法——提出集合的元素应满足的一种特有属性以确定集合
•并非所有集合都可用“外延”定义法去定义。
全体集合可分为两大类——“可枚举集合类”和“不可枚举集合类”。
这反映到数的概念上来就会将数分为有限数与无限数两类。
问题与思考
•自然产生的问题：
•全体集合可分为两大类，即“可枚举集合类”和“不可枚举集合类”，同时又可分为一个个两两互不相交的“相似类”。
试问：
这两种分类法相容吗？
——答案是肯定的。
•“不可枚举集合类”会不会是空类或只是一个“相似类”呢？
——首先完满回答这个问题的人是康托。
•“可枚举集合类”中的所有“相似类”能是我们习以为常的自然数系吗？
也就是问，在由“可枚举集合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？
•在由“不可枚举集合类”中的“相似类”组成的类上，能建立适合皮亚诺公理系统的架构吗？
若不能，那该建立怎样的公理系统架构？
•集合是什么？
相似类是什么？
还有，“相似类”作为“数”而成为数学的基本对象能使数学家们对其性能和功效感到满意吗？
逻辑主义
数学与逻辑的关系至少可以上溯到数学还是一门经验科学的时代，那时逻辑已经有了最初的思想萌芽，并对数学思维开始发生作用。
经过古希腊数学家们，特别是亚里士多德和欧几里德的工作，数学同当时相对比较完善的形式逻辑结合起来，真正变成了一门演绎科学。
从此，数学与逻辑总是密不可分地一起发展，数学在整个科学知识体系中成为逻辑性最强的学科。
到了19世纪末20世纪初，数学的高度公理化和形式逻辑向数理逻辑的跨越发展，似乎一度取消了数学与逻辑的分界线。
在这个时期出现了逻辑主义学派（以罗素和弗雷格为代表），他们宣称数学与逻辑是一回事。
罗素曾说：
“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有明显的分界线，故数学与逻辑亦然。
2.3走近逻辑殿堂
数理逻辑又称符号逻辑，是用数学方法研究数学思维模式的科学。
它把数学的推理方法及其使用的语言作为研究对象，运用形式语言（人造符号语言）来表达思维形式的规则和结构。
筑造起一个将思维规律的研究变换为对符号系统的研究的理论体系。
它既是数学，也是逻辑学。
国际数学界把它列入“核心数学”（纯数学），而逻辑学界称它为现代逻辑。
它发展到今天已形成四大分支：
公理集合论、模型论、证明论与递归论。
形式逻辑的基本规律
数学的语言
在康托创立集合论，弗雷格创立谓词逻辑的时代（1870---1900），数学界使用的语言是混杂冗赘和模棱两可的，这对数学的研究和教育十分不利。
数学家们逐渐感受到在数学的各个领域中采用相似的、统一的语言的需要。
随着戴德金及其后一些人物的参与，康托的集合论和弗雷格的谓词逻辑一起以朴素的形式成为了数学界的统一语言，这就是所谓的朴素集合论语言；
这种语言现今已被我们广泛使用，达到了离开它就做不成事的程度。
康托的集合“定义”
•康托和戴德金都觉得有必要来“定义”集合。
•康托的“定义”：
“把我们感觉或思维的不同对象收集在一起”，看作一个整体，这个整体就叫做集合。
•戴德金的定义也没有什么差别。
•那时“类”被视作“集合”的同义词。
一些基本的记号
罗素悖论
策墨罗的有限抽象原则
•罗素的悖论，表述简单而明确，不容置疑；
其特点是只用到了“集合”、“元素”、“属于”这些最基本的概念，涉及的集合既符合康托的集合定义，又符合弗雷格的用概念的外延来确定集合的方法。
从如此基本的概念出发竟推出了矛盾，这就表明康托和弗雷格的理论存在着令人恐惧的漏洞。
•数学家们觉得之所以出现罗素悖论是因为集合概念太宽泛，太不严密了。
按康托和弗雷格的想法，每个性质或条件可以确定一个集合，亦即每个概念可以确定一个集合；
这叫做集合的概括原则，也叫做无限抽象原则。
怎能不加限制地使用概括原则呢？
观察概括原则的标准形式
就会发现：
集合s由性质P和论域x所决定。
策墨罗觉得罗素悖论的产生在于x“太大”所致；
因此，定义一个集合应首先对论域x加以限制。
基于这样的观点，策墨罗提出了一个“有限抽象原则”：
如果已有了一个集合x，又给了一个性质P，那么构成一个集合。
•按有限抽象原则，罗素悖论可解释成是对命题“所有集合组成的整体不构成一个集合。
”的证明。
策墨罗提出了
第一个公理集合论系统
策墨罗认为，避免悖论的最好办法是，通过用公理系统来定义集合，使集合概念恢复作为数学对象的特征。
首先，策墨罗提出，任何数学对象之间只有一个“本原”关系u∈x，其它的关系由本原关系导出。
然后，他提出康托的“朴素”集合语言中的运算，并以公理的形式陈述它们用到的性质。
这些公理的第一条是所谓的外延公理，它给出了两个集合相等的条件。
然后有一系列公理，断言空集φ的存在性、偶的集合的存在性、集合的子集的集合的存在性。
在这些公理之上，他又添加了“选择公理”和断言无穷集合存在性的“无穷公理”。
培里（G.G.Perry）型悖论
（培里告诉罗素这种类型的悖论）
罗素提出了集合的层次理论
集合概念怎样引入才能消除悖论呢？
罗素提出了集合的层次理论。
他认为集合也好，概念也好，都应当分层次地引入：
·
最基本的一层是第0层，此层的东西都是个体，不是集合；
以第0层的个体为元素的集合是第1层集合；
第2层集合的元素，只能是第0层和第1层的成员；
第3层集合的元素，只能是第0层、第1层、第2层的成员；
相应地，罗素把谓词、命题也都分了层次和类型。
用这种分层的办法，罗素不仅去掉了悖论的困扰，而且还把算术归结到集合论。
他与怀特海合作写了一部巨著《数学原理》，把自己的思想观点详细地表述在这部著作里。
但是，罗素的理论太复杂，太庞大了。
数学家们不倾向于接受罗素的宏大设计，而希望数学能建立在简明可靠的牢固基础之上，用尽可能简单的方式解决悖论危机。
对策墨罗的继承、批判和发展
•策墨罗不承认由具有给定性质P的对象构成的集合的存在性，除非这些对象已是早先已定义的一个集合的元素。
但是，在策墨罗所做研究的一般性水平上，怎样理解“性质”这个词？
策墨罗限于说“不管一个性质是否有用，它必须由公理和普遍适用的逻辑规则以非任意的方式确定”。
显然，他心中的性质是以直到那时数学家所考虑的性质为典型。
培里悖论表明他对“性质”的界定不够精密。
•对性质怎样表述适应数学家用法的限制，从而
避免像培里悖论中的那种寄生式“性质”的陈述？
弗伦克尔和斯科朗于1922年提出的解决办法在于在数学的性质或关系的陈述中消除日常语言，代之以形式语言（一种人造符号语言），它由固定一组初始符号按特定方式合成符号“词语”（原子公式），并将“词语”按一套可以避免产生日常语义歧义的硬性文法排列成用于表达性质或关系的陈述（合式公式）。
•从康托（1845—1918）和弗雷格（1848—1925）到策墨罗（1871---1953）和罗素（1872---1970），再到弗伦科尔（1891---1965）和斯科朗（1887---1963），经过三代
•人的探索和研究，终于形成了一套用形式语言和公理条款规划的集合理论——ZF-系统。
集合论的这一公理系统首先由策墨罗于1905年提出，后经弗伦克尔于1920年修改完善而成，因此称作ZF-系统。
这一系统是否可以抗击悖论侵袭呢？
迄今还没有人在此系统的框架内表述可以引出“悖论”的性质。
•当今，绝大多数数学家使用ZF-系统，但通常不明确声明。
就数学家所关注内容而言，所有数学分支都可规约到集合论，因而最终都可规约到ZF-系统或ZFC-系统。
理发师悖论
某村庄有一位理发师，他把村里的人分为两类：
一类是自己不给自己理发的人；
另一类是自己给自己理发的人。
基于此，他挂出了一张招牌，上写：
“本人只给村中自己不给自己理发的人理发，请自己不给自己理发的人惠顾。
有人问：
“那么您的头发由谁理？
”理发师瞠目结舌，无言以对。
这是罗素于1919年提出来的悖论，所以也叫“罗素悖论”。
上帝是全能的吗？
•甲说：
“上帝是全能的。
•乙说：
“全能就是什么事都能办到，对吗？
那么请问，上帝能造出一个连自己也举不起来的大石头吗？
•甲无法回答了。
如果说不能，则上帝就不是全能的。
如果说能，则上帝造出的石头上帝自己也举不起来，说明上帝仍然不是全能的。
•这个悖论的特点是，上帝能肯定一切，也就能否定一切。
但他自己也在这一切之中，所以当他肯定一切的时候，同时也就否定了自己能肯定一切。
唐·
吉诃德悖论
小说《唐·
吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：
“你来这里做什么？
”回答对了，一切都好办；
回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：
“我来这里是要被绞死。
旅游者被送到国王那里。
国王苦苦想了好久：
他回答得是对还是错？
究竟要不要把他绞死？
如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！
如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。
实在是左右为难！
、
第三讲有限无限纵横谈
（二）
2.4ZFC系统的逻辑套路
今日数学的基础是建立在集合论之上的，而集合论中出现的悖论使数学家们认为有必要做出关于集合的基本假设（即提出一组适当的集合论公理），以便彻底避免各式各样的、已发觉的和潜在的悖论或不相容现象的出现，以使数学的各种系统和方法能够建立在一个统一的牢固的逻辑基础之上。
为此，数学家和逻辑学家提出并发展了多种集合论的形式化系统，其中最有名的要数ZFC系统和GBN系统。
在此，我们将向大家简介ZFC系统，它是由上节说到的ZF系统发展完善而成的。
逻辑套路图
⏹ZFC系统有两方面内容：
一是形式语言和逻辑演算，二是非逻辑公理。
本节介绍第一方面的内容。
关于ZFC系统
⏹ZFC系统是一种受到数学界偏爱的形式系统。
“形式”这个词常常用于这样的场合，该处用到了一些符号，而这些符号的作用和属性又完全由一组给定的规则所确定。
在一个形式系统中，符号没有任何意义；
在处理它们时，我们必须注意不要在系统规定之外对它们的属性作任何假设。
不过，形式符号可以加以解释，解释可以有多种版本，但这些解释并不是系统的一部分。
⏹ZFC系统像其他形式系统一样，有两方面内容，一是它的形式语言和逻辑演算（包括逻辑公理和演绎规则），二是非逻辑公理（用于“规划”集合概
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