中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案.docx

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中考数学一轮复习培优训练《三角形》及答案

2020年中考数学一轮复习培优训练：

《三角形》

1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：

∠ADC＝∠BEC；

（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：

AE＝BD；

（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．

2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．

（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？

若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．

（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝　　，BH＝　　；

（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝　　，BH＝　　；

（3）从第

（1）、

（2）中你发现了什么规律？

在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？

并证明你的猜想．

4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．

（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝　　；

（2）如图2，当BD≠BE时，

（1）中的结论是否成立？

若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；

（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．

5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．

（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．

试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．

①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：

　　．

②直接写出NP+MP的最小值　　．

（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：

PC＝PA．

6．探究题：

如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．

（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝　　；

（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；

（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝　　cm．（请直接写出答案）

7．综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．

（1）在图①中，点C坐标为　　；

（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：

AD＝CE；

（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；

（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？

若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

9．阅读下列材料，完成

（1）～（3）题：

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：

小明：

“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：

“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”

小伟：

“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”

……

老师：

“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：

AF＝FG；

（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；

（3）直接写出的值．

10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　　度；

（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝　　度；

（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．

11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．

（1）填空：

m＝　　，n＝　　；

（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；

（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：

①△ACE为等腰直角三角形；

②BF﹣EF＝OC．

12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M．

（1）求证：

∠ABD＝∠ACD．

（2）若点E在BA延长线上，求证：

AD平分∠CAE．

（3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：

AB＝CG．

13．如图

（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：

AC＝AE；

（2）求证：

CA平分∠BCD；

（3）如图

（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．

14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

（1）求证：

△CAE≌△BAD；

（2）探究：

当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：

EF＝DC．

15．

（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：

DE＝DF，AE＝AF．

（2）如图2，在

（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？

并加以证明．

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，四边形AMDN的周长为　　．（直接写答案）．

参考答案

1．

（1）证明：

∵∠DCE＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CE＝CD，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠ADC＝∠BEC．

（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，

∵AE∥BD，

∴∠EFC＝∠CDB＝45°．

∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，

∴EC＝CF．

∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，

∴BF＝BD，

∴AE＝BD；

（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．

设AD、BE交于点O，由

（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，

∴∠DOE＝∠DCE＝90°．

又∵∠CED＝∠CDE＝45°，

∴＝2，

∴∠BED＝30°，

∴OD＝DE＝×2＝1，

∴＝，OB＝＝，

∴AD＝BE＝OB+OE＝+．

2．解：

（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：

如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，

∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；

（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：

BM﹣CN＝BD；理由如下：

如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴∠NCD＝120°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，

∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，

∴BM﹣CN＝BD．

3．解：

（1）如图①连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝3，

故答案为：

3，3；

（2）如图②，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝2，

故答案为：

2，2；

（3）从第

（1）、

（2）中发现AF＝CF＝BH；

猜想BH＝1，

理由如下：

如图③，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是B