初中数学导学案整式的加减.docx

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初中数学导学案整式的加减

整式的加减知识点汇总

教学内容：

教科书第63—64页，2.2整式的加减：

1．同类项。

教学目标和要求：

1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。

2．通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流的能力。

3．初步体会数学与人类生活的密切联系。

教学重点和难点：

重点：

理解同类项的概念。

难点：

根据同类项的概念在多项式中找同类项。

教学方法：

分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：

一、复习引入：

1、创设问题情境

⑴、5个人+8个人=

⑵、5只羊+8只羊=

⑶、5个人+8只羊=

（数学教学要紧密联系学生的生活实际、学习实际，这是新课程标准所赋予的任务。

学生尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态；另一方面可培养学生思维的灵活性，同时体现分类的思想方法。

）

2、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。

8x2y，－mn2，5a，－x2y，7mn2，

，9a，－

，0，0.4mn2，

，2xy2。

由学生小组讨论后，按不同标准进行多种分类，教师巡视后把不同的分类方法投影显示。

要求学生观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?

请学生说出各自的分类标准，并且肯定每一位学生按不同标准进行的分类。

（充分让学生自己观察、自己发现、自己描述，进行自主学习和合作交流，可极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性。

）

二、讲授新课：

1．同类项的定义：

我们常常把具有相同特征的事物归为一类。

8x2y与－x2y可以归为一类，2xy2与－

可以归为一类，－mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类，5a与9a可以归为一类，还有

、0与

也可以归为一类。

8x2y与－x2y只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；同样地，2xy2与－

也只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。

像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项（similarterms）。

另外，所有的常数项都是同类项。

比如，前面提到的

、0与

也是同类项。

通过特征的讲述，选择所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象，并称它们为同类项。

（板书课题：

同类项。

）

（教师为了让学生理解同类项概念，可设问同类项必须满足什么条件，让学生归纳总结。

）

板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项。

2．例题：

例1：

判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。

（1）3x与3mx是同类项。

（）

（2）2ab与－5ab是同类项。

（）

（3）3x2y与－

yx2是同类项。

（）（4）5ab2与－2ab2c是同类项。

（）

（5）23与32是同类项。

（）

（这组判断题能使学生清楚地理解同类项的概念，其中第（3）题满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可；第（5）题两个都是常数项属于同类项。

一部分学生可能会单看指数不同，误认为不是同类项。

）

例2：

游戏：

规则：

一学生说出一个单项式后，指定一位同学回答它的两个同类项。

要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同。

可请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验，从而揭示同类项的本质特征，透彻理解同类项的概念。

（学生自行编题是一种创造性的思维活动，它可以改变一味由教师出题的程式化做法，并由编题学生指定某位同学回答，可使课堂气氛活跃，学生透彻理解知识，这种形式适合初中生的年龄特征。

学生通过一定的尝试后，能得出只要改变单项式的系数，即可得到其同类项，实际是抓住了同类项概念中的两个“相同”，从而深刻揭示了概念的内涵。

）

例3：

指出下列多项式中的同类项：

（1）3x－2y＋1＋3y－2x－5；

（2）3x2y－2xy2＋

xy2－

yx2。

解：

（1）3x与－2x是同类项，－2y与3y是同类项，1与－5是同类项。

（2）3x2y与－

yx2是同类项，－2xy2与

xy2是同类项。

例4：

k取何值时，3xky与－x2y是同类项？

解：

要使3xky与－x2y是同类项，这两项中x的次数必须相等，即k＝2。

所以当k＝2时，3xky与－x2y是同类项。

例5：

若把（s＋t）、（s－t）分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。

（1）

（s＋t）－

（s－t）－

（s＋t）＋

（s－t）；

（2）2（s－t）＋3（s－t）2－5（s－t）－8（s－t）2＋s－t。

解：

略。

（组织学生口头回答上面三个例题，例3多项式中的同类项可由教师标出不同的下划线，并运用投影仪打出书面解答，为合并同类项作准备。

例4让学生明确同类项中相同字母的指数也相同。

例5必须把（s－t）、（s＋t）分别看作一个整体。

）

（通过变式训练，可进一步明晰“同类项”的意义，在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、提高识别能力。

）

6．课堂练习：

请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个?

它本身是自己的同类项吗?

（学生先在课本上解答，再回答，若有错误请其他同学及时纠正。

）

三、课堂小结：

①理解同类项的概念，会在多项式中找出同类项，会写出一个单项式的同类项，会判断同类项。

②这堂课运用到分类思想和整体思想等数学思想方法。

③学习同类项的用途是为了简化多项式，为下一课的合并同类项打下基础。

（课堂小结不仅仅是知识点的罗列，应使知识条理化、系统化，应上升到数学思想方法的总结与运用.采用学生相互补充完善，教师适时点拨的课堂小结方式，可训练学生的归纳能力和表达能力，提高学生学习的积极性和主动性。

）

课堂作业：

若2amb2m+3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是______

课后反思：

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2.2.2整式的加减

（二）

教学内容：

教科书第64—66页，2.2整式的加减：

2．合并同类项。

教学目的和要求：

1．理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则。

2．经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展应用意识。

3．渗透分类和类比的思想方法。

4．在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，从交流中获益。

教学重点和难点：

重点：

正确合并同类项。

难点：

找出同类项并正确的合并。

教学方法：

分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：

一、复习引入：

为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品。

他们首先购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔。

问：

①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？

②若设软面抄的单价为每本x元，水笔的单价为每支y元，则这次活动他们支出的总金额是多少元？

（知识的呈现过程尽量与学生已有的生活实际密切联系，从而能提高学生从事探索活动的投入程度和积极性，激发学生的求知欲。

）

二、讲授新课：

1．合并同类项的定义：

（学生讨论问题2）可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所的结果都为（21x＋25y）元。

由此可得：

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（板书：

合并同类项。

）

2．例题：

例1：

找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项，并合并同类项。

解原式=

根据以上合并同类项的实例，让学生讨论归纳，得出合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变。

例2：

下列各题合并同类项的结果对不对？

若不对，请改正。

（1）2x2＋3x2=5x4；

（2）3x＋2y=5xy；（3）7x2－3x2=4；（4）9a2b－9ba2=0。

（通过这一组题的训练，进一步熟悉法则。

）

例3：

合并下列多项式中的同类项：

①2a2b－3a2b＋0.5a2b；②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；③5（x＋y）3－2（x－y）4－2（x＋y）3＋（y－x）4。

（用不同的记号标出各同类项，会减少运算错误，当然熟练后可以不再标出。

其中第（3）题应把（x＋y）、（x－y）看作一个整体，特别注意（x－y）2n=（y－x）2n，n为正整数。

）

解：

①

。

②

。

③原式=5（x＋y）3－2（x－y）4－2（x＋y）3＋（x－y）4=3（x＋y）3－（x－y）4。

例4：

求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3。

解：

，当x=－3时，原式=

。

试一试：

把x＝－3直接代入例4这个多项式，可以求出它的值吗？

与上面的解法比较一下，哪个解法更简便？

（两种方法。

通过比较两种方法，使学生认识到，在求多项式的值时，常常先合并同类项，再求值，这样比较简便。

）

6．课堂练习：

课本p66：

1，2，3。

三、课堂小结：

①要牢记法则，熟练正确的合并同类项，以防止2x2＋3x2=5x4的错误。

②从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项。

四、课堂作业：

课本p71：

1

课后反思：

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2.2.3整式的加减（三）

教学内容:

课本第66页至第68页．

教学目标

1．知识与技能

能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．

2．过程与方法

经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力．

3．情感态度与价值观

培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．

重、难点与关键

1．重点：

去括号法则，准确应用法则将整式化简．

2．难点：

括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．

3．关键：

准确理解去括号法则．

教学过程

一、新授

利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？

现在我们来看本章引言中的问题（3）：

在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t－0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t－0.5）千米，因此，这段铁路全长为

100t+120（t－0.5）千米①

冻土地段与非冻土地段相差

100t－120（t－0.5）千米②

上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？

思路点拨：

教师引导，启发学生类比数的运算，利用分配律．学生练习、交流后，教师归纳：

利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：

100t+120（t－0.5）=100t+120t+120×（－0.5）=220t－60

100t－120（t－0.5）=100t－120t－120×（－0.5）=－20t+60

我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．

上面两式去括号部分变形分别为：

+120（t－0.5）=+120t－60③－120（t－0.5）=－120+60④

比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？

思路点拨：

鼓励学生通过观察，试用自己的语言叙述去括号法则，然后教师板书（或用屏幕）展示：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

特别地，+（x－3）与－（x－3）可以分别看作1与－1分别乘（x－3）．

利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：

+（x－3）=x－3（括号没了，括号内的每一项都没有变号）

－（x－3）=－x+3（括号没了，括号内的每一项都改变了符号）

去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．

二、范例学习

例1．化简下列各式：

（1）8a+2b+（5a－b）；

（2）（5a－3b）－3（a2－2b）．

思路点拨：

讲解时，先让学生判定是哪种类型的去括号，去括号后，要不要变号，括号内的每一项原来是什么符号？

去括号时，要同时去掉括号前的符号．为了防止错误，题

（2）中－3（a2－2b），先把3乘到括号内，然后再去括号．

解答过程按课本，可由学生口述，教师板书．

例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．

（1）2小时后两船相距多远？

（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？

教师操作投影仪，展示例2，学生思考、小组交流，寻求解答思路．

思路点拨：

根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度，船逆水航行速度=船在静水中行驶速度－水流速度．因此，甲船速度为（50+a）千米/时，乙船速度为（50－a）千米/时，2小时后，甲船行程为2（50+a）千米，乙船行程为（50－a）千米．两船从同一洪口同时出发反向而行，所以两船相距等于甲、乙两船行程之和．

解答过程按课本．

去括号时强调：

括号内每一项都要乘以2，括号前是负因数时，去掉括号后，括号内每一项都要变号．为了防止出错，可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘，然后再去括号，熟练后，再省去这一步，直接去括号．

三、巩固练习

1．课本第68页练习1、2题．

2．计算：

5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．[5xy2]

思路点拨：

一般地，先去小括号，再去中括号．

四、课堂小结

去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．

学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则，并能根据法则进行去括号运算。

法则顺口溜：

去括号，看符号：

是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。

五、作业布置

1．课本第71页习题2．2第2、3、5、8题．

课后反思：

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2.2.4整式的加减（四）

教学内容：

课本没有“添括号”内容，整式的加减过程中要用到。

教学目标和要求：

1．使学生初步掌握添括号法则。

2．会运用添括号法则进行多项式变项。

3．理解“去括号”与“添括号”的辩证关系。

教学重点和难点：

重点：

添括号法则；法则的应用。

难点：

添上“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。

教学方法：

分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：

一、复习引入：

练习：

（1）（2x―3y）+（5x+4y）；

（2）（8a―7b）―（4a―5b）；

（3）a―（2a+b）+2（a―2b）；（4）3（5x+4）―（3x―5）；

（5）（8x―3y）―（4x+3y―z）+2z；（6）―5x2+（5x―8x2）―（―12x2+4x）+

；

（7）2―（1+x）+（1+x+x2―x2）；（8）3a2+a2―（2a2―2a）+（3a―a2）；

（9）2a―3b+［4a―（3a―b）］；（10）3b―2c―［―4a+（c+3b）］+c。

二、讲授新课：

1．添括号的法则：

①观察：

分别把前面去括号的

（1）、

（2）两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？

②通过观察与分析，可以得到添括号法则：

所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；

所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。

2．例题：

例1：

做一做：

在括号内填入适当的项：

（1）x2―x+1=x2―（__________）；

（2）2x2―3x―1=2x2+（__________）；

（3）（a－b）―（c―d）=a－（________________）。

（4）（a+b―c）（a―b+c）=［a+（）］［a―（）］

例2：

用简便方法计算：

（1）214a＋47a＋53a；

（2）214a－39a－61a．

解：

（1）214a＋47a＋53a＝214a＋（47a＋53a）＝214a＋100a＝314a。

（2）214a－39a－61a＝214a－（39a＋61a）＝214a－100a＝114a。

例3：

按要求，将多项式3a―2b+c添上括号：

（1）把它放在前面带有“+”号的括号里；

（2）把它放在前面带有“―”号的括号里

此题是添括号法则的直接应用，为了更加明确起见，在解题时，先写出3a―2b+c=+（）=―（）的形式，再让学生往里填空，特别注意，添“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。

解：

3a―2b+c=+（3a―2b+c）=―（―3a+2b―c）

紧接着提问学生：

如何检查添括号对不对呢?

引导学生观察、分析，直至说出可有两种方法：

一是直接利用添括号法则检查，一是从结果出发，利用去括号法则检查肯定学生的回答，并进一步指出所谓用去括号法则检查添括号，正如同用加法检验减法，用乘法检验除法一样

例4：

按下列要求，将多项式x3―5x2―4x+9的后两项用（）括起来：

（1）括号前面带有“+”号；

（2）括号前面带有“―”号

解：

（1）x3―5x2―4x+9=x3―5x2+（―4x+9）；

（2）x3―5x2―4x+9=x3―5x2―（4x―9）。

说明：

①解此题时，首先要让学生确认x3―5x2―4x+9的后两项是什么——是―4x、+9，要特别注意每一项都包括前面的符号。

②再次强调添的是什么——是（）及它前面的“+”或“―”。

例5：

按要求将2x2+3x―6：

（1）写成一个单项式与一个二项式的和；

（2）写成一个单项式与一个二项式的差。

此题

（1）、

（2）小题的答案都不止一种形式，因此要让学先讨论1分钟再举手发言。

通过此题可渗透一题多解的立意。

解：

（1）2x2+3x―6=2x2+（3x―6）=3x+（2x2―6）=―6+（2x2+3x）；

（2）2x2+3x―6=2x2―（―3x+6）=3x―（―2x2+6）=―6―（―2x2―3x）。

三、课堂小结：

1、这两节课我们学习了去括号法则和添括号法则，这两个法则在整式变形中经常用到，而利用它们进行整式变形的前提是原来整式的值不变。

2、去、添括号时，一定要注意括号前的符号，这里括号里各项变不变号的依据。

法则顺口溜：

添括号，看符号：

是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。

课后反思：

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2.2.5整式的加减（五）

教学内容：

教科书第68—70页，2.2整式的加减：

4．整式的加减。

教学目的和要求：

1．让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性，并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算。

2．培养学生的观察、分析、归纳、总结以及概括能力。

3．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。

教学重点和难点：

重点：

整式的加减。

难点：

总结出整式的加减的一般步骤。

教学方法：

分层次教学，讲授、练习相结合。

教学过程：

一、复习引入：

1．做一做。

某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？

①学生写出答案：

ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＋（ｎ＋３）

②提问：

以上答案进一步化简吗？

如何化简？

我们进行了哪些运算？

2．练习：

化简：

（1）（x+y）—（2x－3y）

（2）2

提问:

以上化简实际上进行了哪些运算?

怎样进行整式的加减运算?

（从实际问题引入,让学生经历一个实际背景，体会进行整式的加减运算的必要性，在通过复习、练习，为学生概括出整式的加减的一般步骤作必要的准备）

二、讲授新课：

1．整式的加减：

教师概括（引导学生归纳总结出整式的加减的步骤）

不难发现，去括号和合并同类项是整式加减的基础。

因此，整式加减的一般步骤可以总结为：

（１）如果有括号，那么先去括号。

（２）如果有同类项，再合并同类项。

2．例题：

例1：

求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差。

解：

原式=（x2―7x―2）―（―2x2+4x―1）=x2―7x―2+2x2―4x+1=3x2―11x―1。

（本例应先列式，列式时注意给两个多项式都加上括号，后进行整式的加减）

练习：

一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x，求这个多项式。

例2：

计算：

―2y3+（3xy2―x2y）―2（xy2―y3）。

解：

原式=―2y3+3xy2―x2y―2xy2+2y3）=xy2―x2y。

（本例让学生体会整式的加减实质是去括号、合并同类项这两个知识的综合，有利于将新知识转化为已有的知识，使学生的知识结构发生更新）

例3：

化简求值：

（2x3―xyz）―2（x3―y3+xyz）+（xyz―2y3），其中x=1，y=2，z=―3。

解：

原式=2x3―xyz―2x3+2y3―2xyz+xyz―2y3=―2xyz。

当x=1，y=2，z=―3时，原式=—2×1×2×（—3）=12。

（本例让学生经历求代数式的值时，应先考虑将代数式化简，在代入求值的过程，体会先化简在求值的优越性）

3．课堂练习：

课本p70：

1，2，3。

三、课堂小结：

1．整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。

2．整式的加减的一般步骤：

①如果有括号，那么先算括号。

②如果有同类项，则合并同类项。

3．求多项式的值，一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便。

4．数学是解决实际问题的重要工具。

四、课堂作业：

课本p71—72：

6，7，9。

课后反思：

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