《平均数问题》Word文档.docx

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写在前面的话

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qzzn（求职指南论坛）

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westwood

2006年3月2日

平均数问题

甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？

　　把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.

　　篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？

　　把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.

　　要衡量“若干个数”的大小，常用的办法就是求它们的平均值.

　　求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.

　　例1一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是

　　95，87，94，100，98.

　　那么他的平均成绩是多少？

　　解：

方法1把所有分数加起来，除以次数，即

　　（95＋87＋94＋100＋98）÷5＝94.8.

　　方法2先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设87为基数，求其他数与87的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即

　　[（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）]÷5+87

　　=（8+0+7+13+11）÷5+87

　　=7.8+87

　　=94.8.

　　对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.

　　方法1：

各个数的总和÷数的个数

　　方法2：

基数+每一数与基数的差求和÷数的个数.

　　这两种方法将形成两种解题思路.

　　方法2的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法2启示我们，求平均数就是把数之间的“差”扯平.

一、一些简单的问题

　　求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均”这一概念的理解.

　　例2小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？

　　解：

按照例1中的两种思路，有两种计算方法：

先算出5次成绩的总和，再求平均成绩，就有

　　（89×4+97）÷5=90.6（分）.

　　从算每一次“差”的平均入手，就有

　　89+（97-89）÷5=90.6（分）.

　　很明显，第二种方法计算简易.

　　例3小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5次测验他得了多少分？

　　解：

两种思路，两种计算方法：

　　从总分数（总成绩）来考虑.

　　第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩

　　=88.4×5-87×4

　　=94（分）.

　　从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高

　　88.4-87.

　　因此，第5次得分应是

　　87+（88.4-87）×5=94（分）.

　　请大家想一想，例2与例3这两个问题之间的关系.

　　例4小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？

　　解：

平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？

　　（100-84）÷（86-84）=8（次）.

　　因此这一次测验是第8次.

　　例5寒假中，小明兴致勃勃地读《西游记》，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？

　　解：

前四天，每天平均读的页数是

　　（83+74+71+64）÷4=73（页）.

　　很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：

　　图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用3.2去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是

　　3.5÷4=0.8.

　　由此就知道，第五天读的页数是

　　73+0.8+3.2=77（页）.

　　例6甲、乙、丙三人，平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的体重.

　　解：

甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多3×2=6（千克）.已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多

　　3×2-2=4（千克）.

　　从方法2知道

　　丙的体重+差的平均=三人的平均体重.

　　因此，丙的体重=63-（3×2）÷3

　　=61（千克）.

　　乙的体重＝61+4=65（千克）.

　　例7下面是一串有规律的数

　　5，9，13，17，21，25，29.

　　从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是4，求这串数的平均数.

　　解：

上面共有7个数，第2个数比第1个数多4，而第6个数比第7个数少4.因此，第1个和第7个的平均数（5+29）÷2=17，与第2个和第6个的平均数（9+25）÷2=17是相等的.同样道理，第3个和第5个的平均数也是17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值17.

　　当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：

它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.

　　利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是

　　（5+29）÷2×7=119.

　　例8小强在前五天平均每天做了3.6道数学题，第四、五两天共做了5题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？

　　解：

（前三天题数÷3+后三天题数÷3）÷2=六天题数÷6.

　　因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.

　　前三天做的题数是

　　3.6×5-5=13（题）.

　　第四、五天已做了5题，13-5=8，小强第六天至

　　少要做9题.

　　答：

小强第六天至少要做9题.

二、部分平均与全体平均

　　例9某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？

　　解：

有两种求法：

　　方法1

　　男同学的总分数82×21=1722，

　　女同学的总分数87×19=1653，

　　全体同学的总分数1722+1653=3375，

　　全体同学的人数21+19=40，

　　全体同学的平均成绩3375÷40=84.375.

　　方法2

　　以男同学的平均成绩82分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19人多了5×19=95（分），现在平均分摊给全体40人.

　　因此，全体同学的平均成绩是

　　82+（87-82）×19÷40

　　=82+95÷40

　　=84.375（分）.

　　注意从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例9，（82+87）÷2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.

　　例10甲班52人，乙班48人.语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少？

　　解：

两个班的全体人数是

　　52+48=100（人）.

　　他们的分数总和是

　　78×100=7800（分）.

　　以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分数总和少了5×48=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是

　　（7800-240）÷100=75.6（分）.

　　乙班的平均成绩是

　　75.6+5=80.6（分）.

　　例11女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？

　　解：

题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？

　　设全体女同学是1组人，那么男同学就是2组人.

　　女同学的体重总和：

35×1组人数.

　　男同学的体重总和：

41×2组人数.

　　全体总人数：

（1+2）组人数.

　　全体同学平均体重是

　　（35×1+41×2）÷（1+2）=39（千克）.

　　上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.

　　还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是

　　35+（41-35）×2÷（2+1）=39（千克）.

　　例12某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩，加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？

请算出提高多少或降低多少.

　　解：

全班平均成绩降低了.

　　按照这位同学的计算，相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分，后20名同学每人多了6分，合起来全班的总分就少了

　　30×6-20×6=60（分）.

　　全班的平均成绩也就降低了

　　60÷（30+20）=1.2（分）.

　　例13某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了

　　均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少？

　　我们把录取学生的人数算作1，没有被录取的人数算作3.

　　以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了26×3分，录取的学生总共多了10×1分，合起来，总共少了

　　26×3-10×1（分）.

　　对所有考生来说，每人平均少了

　　（26×3-10×1）÷（3+1）=17（分）.

　　也就是每一考生的平均分70（分）比录取分数线少了17（分），因此录取的分数线是

　　70+17=87（分）.

　　注意这道题可检验如下：

　　没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是

　　61+（97-61）÷（3+1）=70（分），

　　或

　　（61×3+97×1）÷（3+1）=70（分）.

　　由此就知道，上面解答是正确的.

　　例14某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

　解：

根据题意

　　前六人平均分=前十人平均分+3.

　　这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少

　　18÷4=4.5（分）.

　　当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了1分