奥数专题裂项法一含答案文档格式.docx

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%=——

n（n1）nn1

F面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

19851986

-1985

1986

19861987

-1986

1987

19871988

-1987

1988

1995199619951996

1_11

19961997-1996一1997

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这

一来问题解起来就十分方便了。

11111

…•—

1985198619861987198719881995199619961997

+

1997

_11

-19851986

11

_+

19971997

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分

例2.计算:

分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

12

1_12

1223

12334

123445

12100一100101

—+—

++

2

123

12100

Z丄丄.….

99100100101

=2（…）1>

<

22汉33汉499000100X01

111111111

=2（1…）

2233499100100101

=2

（1）

101

100=2

200

99=1—

符号所代表的数的数的积是多少?

这里1是个单位分数，所以

y

n2

ntn（nt）

111111

分析与解：

减法是加法的逆运算，1丄L就变成-丄—，与

6（）£

>

6（）<

111111

前面提到的等式1丄相联系，便可找到一组解，即-丄

nn+1n（n+1）6742

另外一种方法

设n、x、y都是自然数，且x严y，当时，利用上面的变加为减的想法，

nxy

得算式

nx

x-n—定大于零，假定x-n=t0，贝Ux=n•t,代

当t=1时，x=7,y=42当t=2时，x=8,y=24

当t

=3时，

x=9,y

-18

=4时，

x=10,

y=15

=6时，

x=12,

y=10

=9时，

x=15,

=12时,

x=18,

y=9

=18时,

x=24,

y=8

=36时,

x=42,

y=7

故（

）和<

所

代表的两数和分别为

49,32,27,25。

【模拟试题】

（答题时间：

20分钟）

1.尝试体验：

3.已知x、y是互不相等的自然数，当--时，求xy。

18xy

【试题答案】

1.计算:

+

…

•+

23

34

9899

99100

二1…-

22334989999100

100

99

3.已知x、y是互不相等的自然数，当时，求xyo

Xy的值为：

75,81,96,121,147,200,361。

11+111因为18的约数有1,2,3,6,9,18，共6个，所以有一—一

1818汉（1+1）3636

11211

一——+

1818（12）5427

5427=81

11311

1818（13）7224

7224=96

11611

=—+

18-18（16）"

12621

21126=147

11911

='

-f-

18一18（19）_18020

20180=200

111811

=--y-

18一18（118）-19342

19342=361

12311

1818（23）4530

3045二75

12911

18-18（29）一9922

2299=121

还有别的解法。

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资料仅供参考!

1•丄.1.….1

112123123100

公式的变式

12…nn（n_1）

当n分别取1,2,3,……,100时，就有