高中数学人教A版选修21教案第1章 12 121 充分条件与必要条件122 充要条件Word文件下载.docx

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p，则称p是q的充分不必要条件．

（3）若q⇒p，但p

q，则称p是q的必要不充分条件．

（4）若p

q，且q

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：

（1）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]　

（1）正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

（2）①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（2）q不是p的必要条件时，“p

q”成立．（　　）

（3）若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×

2．“x>

2”是“x2－3x＋2>

0”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由x2－3x＋2>

0得x>

2或x<

1，故选A.]

3．下列各题中，p是q的充要条件的是________（填序号）．

（1）p：

b＝0，q：

函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：

x>

0，y>

0，q：

xy>

0；

（3）p：

a>

b，q：

a＋c>

b＋C．

【导学号：

46342015】

（1）（3）　[在

（1）（3）中，p⇔q，所以

（1）（3）中p是q的充要条件，在

（2）中，q⇒p，所以

（2）中p不是q的充要条件．]

[合作探究·

攻重难]

充分条件、必要条件、充要条件的判断

　指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．

（1）在△ABC中，p：

∠A>

∠B，q：

BC>

AC；

（2）对于实数x，y，p：

x＋y≠8，q：

x≠2或y≠6；

（a－2）（a－3）＝0，q：

a＝3；

（4）p：

a＜b，q：

＜1.

[思路探究]　判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断﹁q是﹁p的什么条件．

[解]　

（1）在△ABC中，显然有∠A>

∠B⇔BC>

AC，所以p是q的充分必要条件．

（2）因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．

（3）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；

由a＝3可以得出（a－2）（a－3）＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

（4）由于a＜b，当b＜0时，

＞1；

当b＞0时，

＜1，故若a＜b，不一定有

＜1；

当a＞0，b＞0，

＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，

＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件．

[规律方法]　充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法

（2）等价法：

将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．

（3）逆否法：

这是等价法的一种特殊情况．

若﹁p⇒﹁q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

若﹁p⇒﹁q，且﹁q

﹁p，则p是q的必要不充分条件；

若﹁p⇔﹁q，则p与q互为充要条件；

若﹁p

﹁q，且﹁q

﹁p，则p是q的既不充分也不必要条件．

[跟踪训练]

1．

（1）设a，b是实数，则“a>

b”是“a2>

b2”的（　　）

46342016】

D　[令a＝1，b＝－1，满足a>

b，但不满足a2>

b2，即“a>

b”不能推出“a2>

b2”；

再令a＝－1，b＝0，满足a2>

b2，但不满足a>

b，即“a2>

b2”不能推出“a>

b”，所以“a>

b2”的既不充分也不必要条件．]

（2）对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是（　　）

①Δ＝b2－4ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>

0是函数f（x）有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<

0是函数f（x）没有零点的充要条件．

A．①④　　　　B．①②③

C．①②③④D．①②④

D　[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故①正确．

②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故②正确．

③函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，未必有Δ＝b2－4ac>

0，也可能有Δ＝0，故③错误．

0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点，故④正确．]

充要条件的探求与证明

（1）“x2－4x<

0”的一个充分不必要条件为（　　）

A．0<

x<

4　　　　B．0<

2

C．x>

0D．x<

4

（2）已知x，y都是非零实数，且x>

y，求证：

<

的充要条件是xy>

0.

[思路探究]　

（1）先解不等式x2－4x<

0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<

0的解集的子集．

（2）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．

[解析]　

（1）由x2－4x<

0得0<

4，则充分不必要条件是集合{x|0<

4}的子集，故选B.

[答案]　B

（2）法一：

充分性：

由xy>

0及x>

y，得

>

，即

<

.

必要性：

由

，得

－

0，即

因为x>

y，所以y－x<

0，所以xy>

所以

法二：

⇔

0⇔

由条件x>

y⇔y－x<

0，故由

0⇔xy>

⇔xy>

0，

即

[规律方法]　1.探求充要条件一般有两种方法：

（1）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．

（2）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．

2．充要条件的证明

（1）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．

（2）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．

2．

（1）不等式x（x－2）<

0成立的一个必要不充分条件是（　　）

46342017】

A．x∈（0,2）　　　B．x∈[－1，＋∞）

C．x∈（0,1）D．x∈（1,3）

B　[由x（x－2）<

2，因为（0,2）[－1，＋∞），所以“x∈[－1，＋∞）”是“不等式x（x－2）<

0成立”的一个必要不充分条件．]

（2）求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　假设p：

方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：

a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·

12＋b·

1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a（x2－1）＋b（x－1）＝0.

故（x－1）（ax＋a＋b）＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分条件、必要条件、充要条件的应用

[探究问题]

1．记集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？

若p是q的必要不充分条件呢？

提示：

若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，BA.

2．记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}，若M⊆N，则p是q的什么条件？

若N⊆M，M＝N呢？

若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．

　已知p：

x2－8x－20≤0，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>

0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[思路探究]　

→

[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0（m>

0），得1－m≤x≤1＋m（m>

0）．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q

p.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>

0}的真子集，

或

解得m≥9.

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．

[答案]　{m|m≥9}（或[9，＋∞））

母题探究：

1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

[解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0（m>

0）得1－m≤x≤1＋m（m>

0）

因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p

q.

则{x|1－m≤x≤1＋m，m>

0}{x|－2≤x≤10}

，解得0<

m≤3.

即m的取值范围是（0,3]．

2．若本例题改为：

已知P＝{x|a－4<

a＋4}，Q＝{x|1<

3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．

[解]　因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.

解得－1≤a≤5

即a的取值范围是[－1,5]．

[规律方法]　

利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围

（1）化简p、q两命题，

（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，

（3）利用集合间的关系建立不等关系，

（4）求解参数范围．

[当堂达标·

固双基]

1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

B　[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；

若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]

2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的（　　）

C．充要条件

B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]

3．下列条件中，是x2<

4的必要不充分条件是（　　）

A．－2≤x≤2B．－2<

C．0<

x≤2D．1<

3

A　[由x2<

4得－2<

2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<

2}，故选A.]

4．若“x＜m”是“（x－1）（x－2）＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.

46342018】

（－∞，1]　[由（x－1）（x－2）＞0可得x＞2或x＜1，

由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，

∴m≤1.]

5．求证：

关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.

[证明]　

（1）充分性：

因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，

由根与系数的关系知，x1·

x2＝1>

0，所以x1，x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<

0，所以x1，x2同为负数．

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.

（2）必要性：

因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，

所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.

综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．