第2章逻辑代数下谓词演算 1Word文档格式.docx
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括号省略原则同命题公式，并约定，（∀xA），（∃xA）中最外层括号也可省略。
语句形式化过程的四个关键步骤是：
●准确地从语句中提取谓词。
一般说来，表示性质的谓语用一元谓词表示，表示关系
的谓语用二元或更多元数的谓词来表示。
●准确使用量词和确定量词的辖域，当辖域中多于一个谓词时必须注意括号的使用。
●准确地使用谓词之间的真值联结词，正确地反映谓词之间的逻辑关系。
●准确地使用多个重叠的量词以及与它们配套的指导变元，量词的排列次序应与原语
句的表述相一致。
自然语言语句中，常常涉及全总个体域的某个局部的所有个体或某些个体，这时需要使用所谓“限定谓词”把量词限于那个局部。
一般地说，当限定谓词用于限定全称量词时，它必须作为蕴涵词的前件加入；
当限定谓词用于限定存在量词时，它必须作为合取词的合取项加入，即用
∀x（限定谓词A（x）→…）和∃x（限定谓词A（x）∧…）
表示“所有满足A（x）的东西都…”和“在满足A（x）的东西中有满足…的个体”。
这里A（x）是限定谓词，将个体域暂时限定在满足A（x）的那些个体上。
练习2.1
1.选择题
（1）下面哪个公式不是谓词公式（）
A．PB．P（x）∨Q（y）→R（x）
C．∀x（P（x）∧R（x,y）D．∀x（R（x）→P（x,y））
【答案】：
C
（2）谓词公式∀x（P（x）∨∃yR（y））→Q（x）中量词∀x的辖域是（）
A．∀x（P（x）∨∃yR（y））B．P（x）
C．P（x）∨∃yR（y）D．P（x）,Q（x）
（3）谓词公式∀x（P（x）∨∃yR（y））→Q（x）中变元x是（）
A．自由变元B．约束变元
C．既不是自由变元也不是约束变元D．既是自由变元也是约束变元
D
（4）设C（x）:
x是国家足球队选手，G（x）:
x是健壮的。
命题“没有一个国家足球队选手不是健壮的”可符号化为（）
A．∀x（C（x）∧⌝G（x））B．∀x（C（x）→G（x））
C．∃x（C（x）∧⌝G（x））D．∃x（C（x）→⌝G（x））
B
（5）设L（x）：
x是学员，J（x）：
x是老师，A（x,y）：
x钦佩y。
命题”所有学员都钦佩某些老师”符号化为（）
A．∀xL（x）→A（x,y）B．∀x（L（x）→∃y（J（y）∧A（x,y）））
C．∀x∃y（L（x）∧J（y）∧A（x,y））D．∀x∃y（L（x）∧J（y）→A（x,y））
（6）命题”没有不犯错误的人”形式化为（设A（x）：
x是人，B（x）：
x犯错误（）
A．∀x（A（x）∧B（x））B．⌝∃x（A（x）→⌝B（x））
C．⌝∃x（A（x）∧B（x））D．⌝∃x（A（x）∧⌝B（x））
（7）设I（x）:
x是整数，N（x）:
x是负数，S（x,y）:
y是x的平方，则“任何整数的平方非负”可表示为下述谓词公式：
（）
A．∀x∀y（I（x）∧S（x,y）→⌝N（y））B．∀x∃y（I（x）∧S（x,y）→⌝N（y））
C．∀x∀y（I（x）→S（x,y）⌝N（y））D．∀x（I（x）∧S（x,y）→⌝N（y））
A
（8）令F（x）:
x是火车，G（y）:
y是汽车，H（x）:
x比y快。
则语句“某些汽车比所有的火车慢”可表示为：
A．∃y（G（y）→∀x（F（x）∧H（x,y）））B．∃y（G（y）∧∀x（F（x）→H（x,y）））
C．∀x∃y（G（y）→（F（x）∧H（x,y）））D．∃y（G（y）→∀x（F（x）→H（x,y）））
2.填空题
（1）通常一元谓词表示事物的,多元谓词表示事物之间的。
性质；
关系
（2）∀x∀y（P（x,y）∧Q（y,z））∧∃xP（x,y）中，∀x的辖域为，∀y的辖域为,∃x的辖域为。
∀y（P（x,y）∧Q（y,z））；
P（x,y）∧Q（y,z）；
P（x,y）
（3）公式∀x（P（x）→Q（x,y）∨∃zR（y,z））→S（u）中自由变元为，约束变元为。
y，u；
x，z
（4）设个体域为自然数集,则命题“不存在最大自然数”形式化为。
∃x∀y（x≥y）
（5）个体域为自然数集，P（x）:
x为奇数，Q（x）:
x为偶数，则命题“不存在既是奇数又是偶数的自然数”形式化为。
∃x（P（x）∧Q（x））
（6）设个体域为实数集,则命题“任意实数总能比较大小”形式化为。
∀x∀y（x>
y∨x<
y∨x=y）
（7）设个体域为实数集，则命题“如果三个数的乘积为0，那么至少有一个数为0”可形式化为。
命题“对每个实数x，存在实数y，使对于任意实数z，若z>
0则x+y<
z”可形式化为。
∀x∀y∀z（xyz=0→x=0∨y=0∨z=0）；
∀x∃y∀z（z>
0→x+y<
z）
（8）设个体域为全总个体域，R（x）:
x是实数，Q（x）:
x是有理数，I（x）:
x是整数。
则命题“所有的有理数是实数”,“有些有理数是整数”，“有些有理数是实数但不是整数”可分别形式化为，，。
∀x（Q（x）→R（x））；
∃x（Q（x）∧I（x））；
∃x（Q（x）∧R（x）∧
I（x））
（9）令R（x）:
x是有理数。
命题“并非每个实数都是有理数”，可符号化为。
⌝∀x（R（x）→Q（x））
（10）设:
C（x）:
x是计算机，P（x,y）:
x能做y，I（x）:
x是智能工作，则命题“并非所有智能工作都能由计算机来做”形式化为。
∀x（I（x）→∃y（C（y）∧P（y,x））
3.指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：
（1）∀x（P（x）∨Q（x））∧R（y）
全称量词∀，辖域P（x）∨Q（x），其中x为约束变元。
R（y）中y为自由变元。
∀x（P（x）∨Q（x））∧R（y）不是命题。
（2）∀x（P（x）∧Q（x））∧∃xS（x）→T（x）
全称量词∀，辖域P（x）∨Q（x），其中x为约束变元。
存在量词∃，辖域S（x），其中x为约束变元。
T（x）中x为自由变元。
∀x（P（x）∧Q（x））∧∃xS（x）→T（x）不是命题。
（3）∀x（P（x）→∃y（B（x,y）∧Q（y））∨T（y））
全称量词∀，辖域P（x）→∃y（B（x,y）∧Q（y））∨T（y），其中x为约束变元，T（y）中y为自由变元。
存在量词∃，辖域B（x,y）∧Q（y），其中y为约束变元。
∀x（P（x）→∃y（B（x,y）∧Q（y））∨T（y））不是命题。
（4）P（x）→（∀y∃x（P（x）∧B（x,y））→P（x））
全称量词∀，辖域∃x（P（x）∧B（x,y）），其中y为约束变元。
存在量词∃，辖域P（x）∧B（x,y），其中x为约束变元。
不在量词辖域中的P（x）中的x为自由变元。
P（x）→（∀y∃x（P（x）∧B（x,y））→P（x））不是命题。
4.对个体域{0，1}判定下列公式的真值,E（x）表示“x是偶数”：
（1）∀x（E（x）→⌝x=1）
（2）∀x（E（x）∧⌝x=1）
（3）∃x（E（x）∧x=1）（4）∃x（E（x）→x=1）
再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
（1）∀x（E（x）→⌝x=1）真
∀x（E（x）→⌝x=1）可表示成命题公式（E（0）→⌝0=1）∧（E
（1）→⌝1=1）
其中E（0）→⌝0=1真，E
（1）→⌝1=1也真，故（E（0）→⌝0=1）∧（E
（1）→⌝1=1）真。
（2）∀x（E（x）∧⌝x=1）假
∀x（E（x）∧⌝x=1）可表示成命题公式（E（0）∧⌝0=1）∧（E
（1）∧⌝1=1）
其中E（0）∧⌝0=1真，但E
（1）∧⌝1=1假，故（E（0）∧⌝0=1）∧（E
（1）∧⌝1=1）假。
（3）∃x（E（x）∧x=1）假
∃x（E（x）∧x=1）可表示成命题公式（E（0）∧0=1）∨（E
（1）∧1=1）
其中E（0）∧0=1假，E
（1）∧1=1也假，故（E（0）∧0=1）∨（E
（1）∧1=1）假。
（4）∃x（E（x）→x=1）真
∃x（E（x）→x=1）可表示成命题公式（E（0）→0=1）∨（E
（1）→1=1）
其中E（0）→0=1假，但E
（1）→1=1真，故（E（0）→0=1）∨（E
（1）→1=1）真。
5.设整数集为个体域，判定下列公式的真值（*表示数乘运算）：
（1）∀x∃y（x*y=x）
（2）∀x∃y（x*y=1）（3）∀x∃y（x+y=1）
（4）∃y∀x（x*y=x）（5）∃y∀x（x+y=1）（6）∀x∃y（x+y=0）
（1）∀x∃y（x*y=x）真
（2）∀x∃y（x*y=1）假
（3）∀x∃y（x+y=1）真（4）∃y∀x（x*y=x）真
（5）∃y∀x（x+y=0）假（6）∀x∃y（x+y=0）真
6.量词∃!
表示“有且仅有”，∃!
xP（x）表示有且仅有一个个体满足谓词P（x）。
试用量词∀,∃,等号“=”及谓词P（x）,表示∃!
P（x），即写出一个通常的谓词公式使之与∃!
xP（x）具有相同的意义。
【答案】解.∃!
xP（x）可用以下具有相同意义的谓词公式表示
∃x（P（x）∧∀y（P（y）→y=x））
7.设个体域为整数集，试确定两个谓词P（x,y），分别使得下列两个蕴涵式假：
（1）∀x∃!
yP（x,y）→∃!
y∀xP（x,y）
（2）∃!
y∀xP（x,y）→∀x∃!
yP（x,y）
【答案】解.
（1）当P（x,y）表示x+y=0时∀x∃!
yP（x,y）→∃!
y∀xP（x,y）为假。
（2）当P（x,y）表示x*y=0时∃!
yP（x,y）为假（*表示数乘运算）。
因为只有数0对一切整数x，有x*0=0，从而前件真；
但对数0，可有众多y，使0*y=0，从而后件假。
8.指定整数集的一个尽可能大的子集为个体域，使得下列公式为真：
（1）∀x（x>
0）
（2）∀x（x=5∨x=6）（3）∀x∃y（x+y=3）（4）∃y∀x（x+y<
0）
（1）对正整数集个体域，∀x（x>
0）为真
（2）对个体域{5，6}，∀x（x=5∨x=6）为真
（3）对整数集个体域，∀x∃y（x+y=3）为真
（4）对负整数集个体域，∃y∀x（x+y<
0）为真，但使得∃y∀x（x+y<
0）为真的整数集的最大的子集不存在。
9.以实数集为个体域,用谓词公式将下列语句形式化：
（1）如果两实数的平方和为零，那么这两个实数均为零。
（2）f（x）为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y=f（x）（不得使用量词∃!
。
“f（x）为实函数”可译为RF（f））。
（1）∀x∀y（x2+y2=0→x=0∧y=0）。
（2）RF（f）↔∀x∃y（y=f（x）∧⌝∃z（z≠y∧z=f（x）））
10.用谓词公式将下列语句形式化：
（1）高斯是数学家，但不是文学家。
（2）没有一个奇数是偶数。
（3）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。
（4）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。
（5）党指向哪里，我们就奔向那里。
（6）发亮的东西不都是金子。
（7）不是所有的男人都至少比一个女人高，但至少有一个男人比所有的女人高。
（8）一个人如果不相信所有其他人，那么他也就不可能得到其他人的信任。
（9）君子坦荡荡，小人长戚戚。
（孔子）
（10）谁要是游戏人生，他就一事无成；
谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。
（歌德）
（1）M（x）表示“x是数学家”，A（x）表示“x是天文学家”，g表示“高斯”，原句可表示为
M（g）∧⌝A（g）
（2）O（x）表示“x是奇数”，E（x）表示“x是偶数”，原句可表示为
⌝∃x（O（x）∧E（x））
（3）E（x）表示“x是偶数”，P（x）表示“x是质数”，原句可表示为
∀x（E（x）∧P（x）↔x=2）
（4）C（x）表示“x是猫”，M（x）表示“x是老鼠”，G（x）表示“x是好的”，K（x,y）表示“x会捉y”，原句可表示为
∃x（C（x）∧∀y（M（y）→⌝K（x,y）））∧∀x（C（x）∧∀y（M（y）→K（x,y））→G（x））
（5）Q（x,y）表示“x指向y”，J（x,y）表示“x奔向y”，party表示“党”，us表示“我们”,原句可表示为
∀x（Q（party，x）→J（us,x））
（6）G（x）表示“x是金子”，L（x）表示“x是发亮的”,原句可表示为
⌝∀x（L（x）→G（x））
（7）M（x）表示“x是男人”，F（x）表示“x是女人”，H（x,y）表示“x比y高”,原句可表示为
⌝∀x（M（x）→∃y（F（y）∧H（x,y）））∧∃x（M（x）∧∀y（F（y）→H（x,y）））
（8）M（x）表示“x是人”，B（x,y）表示“x相信y”,原句可表示为
∀x（M（x）∧┐∃y（M（y）∧x≠y∧B（x,y））→⌝∃y（M（y）∧x≠y∧B（y,x）））
（9）M（x）表示“x是人”，J（x）表示“x是君子”，H（x）表示“x坦荡荡”，原句可表示为
∀x（M（x）∧J（x）→H（x））∧∀x（M（x）∧⌝J（x）→⌝H（x））
（10）M（x）表示“x是人”，K（x）表示“x游戏人生”，L（x）表示“x一事无成”，H（x,y）表示“x主宰y”，N（x）表示“x是奴隶”，原句可表示为
∀x（M（x）∧K（x）→L（x））∧∀x（⌝H（x,x）→N（x））
2.2谓词演算永真式
2.2.1谓词公式的语义
谓词公式的真值不仅依赖于个体域，依赖于公式中各个体变元的取值状况，还依赖于对公式中谓词符号、函数符号、常元符号意义的确认，即人们对它们所作的解释。
解释是这些符号与个体域上具体性质、关系、函数、对象间的一个映射，常用I表示这种解释。
I恒把命题常元（零元谓词）解释为真值0或1。
定义2.2给定个体域D及公式A中各谓词符号的解释I，如果A中个体变元x1,…,xn分别取值u1,…,un时A真，则称A在u1,…,un处真；
当x1,…,xn无论取D中怎样的个体u1,…,un，A在u1,…,un处均真，则称A在解释I下真。
定义2.3给定个体域D，若公式A在每一解释I下均真，那么称A在D上永真。
若公式A对任何个体域D均有D上永真，则称A为永真式，或称A永真（valid）。
A永真仍记为┝A。
定义2.4公式A称为可满足的，如果有某一个体域、某一解释，使得变元在某一取值状况下，A取值真。
否则，称公式A不可满足。
公式A不可满足时也称A为永假式。
2.2.2谓词演算永真式
常用的谓词演算逻辑等价式与逻辑蕴涵式分为以下八组，其中A，B，C等表示任意的谓词公式。
第一组：
所有命题演算中的重言式。
首先，由于谓词演算中允许使用命题常元（如果不限于一阶谓词演算，还可以使用命题变元），因而谓词公式中仍包含命题公式，其中的重言式显然在谓词演算中仍然是永真式。
其次，当我们把命题演算中的重言式中的命题常元、命题变元，改为任意的谓词公式，都不会影响原式的永真性，从而它们也是谓词公式中的永真式。
第二组：
当A不含自由变元x时，既A与自由变元x无关，根据我们的约定，以下两式显然成立：
∀xA┝┥A,∃xA┝┥A
第三组：
对任意含有自由变元x的公式A（x），有
∀xA（x）┝A（x）
A（x）┝∃xA（x）
∀xA（x）┝∃xA（x）
第四组：
对任意含有自由变元x的公式A（x），有
⌝∃x⌝A（x）┝┥∀xA（x）
⌝∀x⌝A（x）┝┥∃xA（x）
⌝∃xA（x）┝┥∀x⌝A（x）
⌝∀xA（x）┝┥∃x⌝A（x）
第五组：
当公式B中不含自由变元x时，对任意含有自由变元x的公式A（x），有
∀xA（x）∨B┝┥∀x（A（x）∨B）
∀xA（x）∧B┝┥∀x（A（x）∧B）
∃xA（x）∨B┝┥∃x（A（x）∨B）
∃xA（x）∧B┝┥∃x（A（x）∧B）
第六组：
上一组永真式中的公式B若含自由变元x，情况就要复杂一些。
对任意含有自由变元x的公式A（x），B（x），有
∀x（A（x）∧B（x））┝┥∀xA（x）∧∀xB（x）
∀xA（x）∨∀xB（x）┝∀x（A（x）∨B（x））
∃x（A（x）∧B（x））┝∃xA（x）∧∃xB（x）
∃x（A（x）∨B（x））┝┥∃xA（x）∨∃xB（x）
第七组：
对任意含有自由变元x,y的公式A（x,y），有
∀x∀yA（x,y）┝┥∀y∀xA（x,y）
∀x∀yA（x,y）┝∃y∀xA（x,y）
∃y∀xA（x,y）┝∀x∃yA（x,y）
∀x∃yA（x,y）┝∃y∃xA（x,y）
∃x∃yA（x,y）┝┥∃y∃xA（x,y）
第八组：
当C中无自由变元x时，对任意含有自由变元x的公式A（x），B（x），有
∀x（C→A（x））┝┥C→∀xA（x）
∃x（C→A（x））┝┥C→∃xA（x）
∀x（A（x）→B（x））┝∀xA（x）→∀xB（x）
2.2.3谓词公式等价变换的几个基本原理
定义2.5设谓词公式A中含自由变元x，设t为一个体项，且t中无自由变元为A中的约束变元，那么称t是在A中对x可代入的，其代入实例记为A（t/x）（代入的意义同前）。
由于约束变元可改名，因此总可对A中约束变元改名，使t成为对x是可代入的。
定理2.1（代入原理）若A是永真式，那么对A中变元可代入的代入实例都是永真式。
定理2.2（替换原理）设A，D为谓词公式，C为A的子公式，且C┝┥D。
若B为将A中子公式C的某些出现（未必全部）替换为D后所得的公式，那么A┝┥B。
定义2.6设A为仅含联结词⌝，∨，∧的谓词公式，A*为将A中符号∨，∧，t，f，∀,∃分别换为∧，∨，f，t,∃，∀后所得的公式，那么称A*为A的对偶式。
注意，第1章中关于命题演算对偶式的一切讨论，即对偶原理，对于谓词演算都仍然成立。
定理2.3（改名原理）若公式A（x）中无自由变元y，那么，
∀xA（x）┝┥∀yA（y）,∃xA（x）┝┥∃yA（y）
练习2.2
（1）设论域为整数集,下列公式中哪个值为真（）
A．∀x∃y（x+y=0）B．∃x∀y（x+y=0）
C．∀x∀y（x+y=0）D．
∃x∃y（x+y=0）
（2）谓词公式∀xP（x）∧∃y
P（y）是（）
A．永真的B．不可满足的C．可满足的D．非永真的
（3）设谓词P（x）
:
x是奇数，Q（x）
x是偶数，谓词公式∃x（P（x）∧Q（x））在哪个个体域中是可满足的（）
A．自然数B．整数C．实数D．以上均不成立
（4）设个体域A={a,b},公式∀xP（x）∧∃xS（x）在A上消去量词后应为（）
A．P（x）∧S（x）B．P（a）∧P（b）∧（S（a）∨S（b））
C．P（a）∧S（b）D．P（a）∧P（b）∧S（a）∨S（b）
（5）在谓词演算中,下列各式中哪式是正确的（）
A．∃x∀yA（x,y）┝┥∀y∃xA（x,y）B．∃x∃yA（x,y）┝┥∃y∃xA（x,y）
C．∃x∀yA（x,y）┝┥∀x∃yA（x,y）D．∀x∀yA（x,y）┝┥∀y∀xB（x,y）
（6）下列表达式中哪个是假命题（）
A．
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