离散数学综合测试答案Word格式文档下载.docx

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小李去上课。

则命题公式为：

P∧Q

2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

答：

他去旅游。

他有时间。

P→Q

3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．

设A（x）：

x是人B（x）：

去工作则谓词公式为：

∃x（A（x）∧B（x））

4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．

1设A（x）：

努力学习则谓词公式为：

∀x（A（x）∧B（x））

二、计算题

1．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（AB）；

（2）（A∩B）；

（3）A×

B．

解：

（1）A-B={{1},{2}}

（2）A∩B={1,2}（3）A×

B={<

{1},1>

<

{1},2>

{1},{1,2}>

{2},1>

{2},2>

{2},{1,2}>

1,1>

1,2>

1,{1,2}>

2,1>

2,2>

2,{1,2}>

}

2．设A={1，2，3，4，5}，R={<

x，y>

|xA，yA且x+y4}，S={<

|xA，yA且x+y<

0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r（S），s（R）．

解：

R={<

1,3>

<

3,1>

}S=空集R•S=空集S•R=空集R-1={<

}S-1=空集r（S）={<

3,3>

4,4>

5,5>

}s（R）={<

3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}．

（1）写出关系R的表示式；

（2）画出关系R的哈斯图；

（3）求出集合B的最大元、最小元．

1）R={<

1,4>

1,5>

1,6>

1,7>

1,8>

2,4>

2,6>

2,8>

3,6>

4,8>

6,6>

7,7>

8,8>

（2）R的哈斯图为：

（3）集合B没有最大元，最小元是2

4．设G=<

V，E>

，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；

（4）画出其补图的图形．

1.G的图形为：

2.邻接矩阵为：

3.补图为：

（3）v1结点度数为1，v2结点度数为2，

v3结点度数为3，v4结点度数为2，v5结点度数为2：

5．图G=<

V,E>

，其中V={a,b,c,d,e}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

1.G的图形

2.邻接矩阵；

3.最小的生成树及其权值．

6．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

二叉树的权

权：

2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131

7．求P®

QÚ

R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

PQR⇔RQR

取范式、合取范式、主合取范式都为：

RQR

主析取范式为：

（PQR）（PQR）（PQR）

（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）

8．设谓词公式

．

（1）试写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

（1）量词x的辖域为：

P（x,y）→（∀z）Q（y,x,z）

量词z的辖域为：

Q（y,x,z）

量词y的辖域为：

R（y,z）

（2）P（x,y）中的x是约束变元，y是自由变元

Q（y,x,z）中的x和z是约束变元，y是自由变元R（y,z）中的z是自由变元，y是约束变元

9．设个体域为D={a1,a2}，求谓词公式（y）（x）P（x,y）消去量词后的等值式；

（y）（x）P（x,y）=xP（x,a1）xP（x,a2）

=（P（a1,a1）P（a2,a1））（P（a1,a2）P（a2,a2））

三、证明题

1．对任意三个集合A,B和C，试证明：

若A´

B=A´

C，且A¹

，则B=C．

证明：

（1）对于任意<

a,b>

∈A×

B,其中a∈A,b∈B,因为A×

B=A×

C,必有<

C,其中b∈C因此B⊆C

（2）同理,对于任意<

a,c>

C,其中,a∈A,c∈C,因为A×

C，必有<

B,其中c∈B,因此C⊆B

由

（1）

（2），得B=C。

2．试证明：

若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

若R与S是集合A上的自反关系,则任意x∈A,<

x,x>

∈R,<

∈S,从而<

∈R∩S,注意x是A的任意元素,所以R∩S也是集合A上的自反关系

3．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

条边才能使其成为欧拉图．

由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加k/2条边到图G才能使其成为欧拉图．

4．试证明（P（QR））PQ与（PQ）等价．

（P（QR））PQ

⇔（P（QR））PQ

⇔（PQR）PQ

⇔（PPQ）（QPQ）（RPQ）

⇔（PQ）（PQ）（PQR）

⇔PQ

⇔（PQ）

5．试证明：

Ø

（A∧Ø

B）∧（Ø

B∨C）∧Ø

CÞ

A．