平行四边形知识点Word文档下载推荐.docx
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角的计算:
1、如图在
ABCD中,BC=2AB,CA⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.
2、在
ABCD中,∠A:
∠B=3:
2,则∠C=___度,∠D=______度.
边及周长的计算
1、如图,平行四边形的对角线相交于点O,BC=7㎝,BD=10㎝,AC=6㎝。
求△AOD的周长。
2平行四边形的周长是100cm,AB:
BC=4:
1,则AB的长是_______。
3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.
4.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:
2,则它的边长为________短边长为__________.
平行四边形的判断
平行四边形的四个(或五个)判定方法,这些判定的方法是:
从边看:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从对角线看:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.)
【例题讲解】
已知:
如图,
ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:
BE=DF.
分析:
证明BE=DF,可以证明两个三角形全等,也可以证明
四边形BEDF是平行四边形,比较方法,可以看出第二种方法简单.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CD.
∵E、F分别是AD、BC的中点,
∴DE∥BF,且DE=
AD,BF=
BC.
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).
∴BE=DF.
例2、已知:
ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即可.
∴AB=CD,且AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°
.
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)
例3、已知:
如图3,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,且AE=CF。
求证:
四边形BFDE是平行四边形。
已知平行四边形可用平行四边形的性质,求证平行四边形要想判定定理,由于E、F在对角线上,显然用对角线互相平分来判定。
连结BD交AC于O。
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
这道题,还可以利用
用对边相等或平行来判定平行四边形,相比之下使用对角线较简便。
例4、已知:
如图
1.由于
,所以AD//BC,只要再证AD=BC即可。
2.由于DE平行且等于BF,可证DB与EF互相平分,但要使DB与AC互相平分,还需证AE=CF。
经过比较两种证法,第一种较简便。
、
【巩固练习】
1.在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是().
(A)AB∥CD,AD=BC(B)∠A=∠B,∠C=∠D
(C)AB=CD,AD=BC(D)AB=AD,CB=CD
2.已知:
如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
3.已知:
如图,在
ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.
求证:
四边形AFCE是平行四边形.
4、.如图6,平行四边形ABCD中,BE=DF,AG=CH。
证:
四边形GEHF是平行四边形。
5.判断题:
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形;
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线相等的四边形是平行四边形;
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
7.在四边形ABCD中,
(1)AB∥CD;
(2)AD∥BC;
(3)AD=BC;
(4)AO=OC;
(5)DO=BO;
(6)AB=CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对.(共有9对)
三角形中位线定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
例、如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:
DE∥BC且DE=
分析:
所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
方法1:
如图
(1),延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=
DF,所以DE∥BC且DE=
(也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点,证明方法与上面大体相同)
方法2:
如图
(2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,
所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.
因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.
所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,
因为DE=
【思考】:
(1)想一想:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
(答:
(1)一个三角形的中位线共有三条;
三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;
中线是顶点与对边中点的连线.
(2)三角形的中位线与第三边的关系:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.)
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.
例1已知:
如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
四边形EFGH是平行四边形.
因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证.
证明:
连结AC(图
(2)),△DAG中,
∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=
AC(三角形中位线性质).
同理EF∥AC,EF=
AC.
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
此题可得结论:
顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
课堂练习
1.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
3.如图,△ABC中,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,
(1)若EF=5cm,则AB=cm;
若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
课后巩固
1.(填空)一个三角形的周长是135cm,过三角形各顶点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
2.(填空)已知:
△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是cm.
如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
4.如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.
图4.2-9
5.楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EF∥AB,交AC于F,H.测出EF=8m,GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论:
池塘的宽AB为11m.你认为她说的对吗?
图4.2-10
一.填空题.
图4.1-2
二.选择题.
7.
ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()
A.6<
AC<
10;
B.6<
16;
C.10<
D.4<
16
8.在
ABCD中,∠A=65°
则∠D的度数是()
A.105°
;
B.115°
;
C.125°
D.65°
9.在
ABCD中,∠B-∠A=20°
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
10.由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的()
A周长;
B.一腰的长;
C.周长的一半;
D.两腰的和
11.在以下平行四边形的性质中,错误的是()
A.对边平行;
B.对角相等;
C.对边相等;
D.对角线互相垂直
三.解答题
12.
ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.
图4.1-3
(1)图4.1-3中有哪些三角形全等?
有哪些相等的线段?
(2)若
ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.
13.如图4.1-4,
ABCD中,∠ADC的邻补角的平分线交BC的延长线于E,延长ED交BA的延长线于F,试判断△FBE的形状.
图4.1-4
四.应用题
14.
(1)如图4.1-5,
ABCD中,AB=5cm,BC=3cm,∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E,求AE,EF,BF的长?
图4.1-5
(2)上题中改变BC的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F重合,点E,F重合时BC长多少?
求AE,BE的长.
(3)由
(1),
(2)题,你想到了什么?
请写下来与你同伴交流.
五.综合能力提高题
15.如图4.1-6,
ABCD的四个外角的平分线分别两两交于E,F.
(1)试判断∠AED,∠BFC的大小.
(2)线段AE,ED,BF,FC,EC,HF中哪些相等?
图4.1-6
16.如图4.1-7,BD是
ABCD的对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.
(1)在图中,根据题意补全图形;
(2)试问:
△ABE与△CDF能全等吗?
请说明理由.
图4.1-7
平行四边形的判定
判定:
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4.两对角线互相平分的四边形是平行四边形.
5.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1.在四边形
中,顺次连接四边中点
,构成一个新的四边形,求证:
四边形
是平行四边形。
1.A、B、C、D是在同一平面内的四点,从
(1)AB∥CD;
(2)AB=CD;
(3)BC=AD;
(4)BC∥AD四个条件中选出两个,使四边形ABCD为平行四边形的选法种数为()
A、3种B、4种C、5种D、6种
2.平行四边形的判定
一.填空题
1.如图4.2-1,
ABCD中,AE=CG,DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH是_________________.
2.如图4.2-2,
ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B则四边形BEDF是______________.
图4.2-1
图4.2-2
3.一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.
4.有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°
后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.
5.如图4.2-3,E,F分别是
ABCD的边AD与BC的三分之一点,则四边形AECF是__________________形.
图4.2-3
图4.2-4
二.选择题
6.如图4.2-4,
ABCD中,E,F分别为边AB,DC的中点,则图中共有平行四边形的个数是()
A.3B.4C.5D.6
7.以长为5,4,7的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是()
A.1B.2C.3D.4
8.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是()
A.一组对角相等B.两条对角线互相平分
C.两条对角线互相垂直D.一对邻角的和为180°
9.四边形ABCD中,AD∥BC,要判定ABCD是平行四边形,那么还需满足()
A.∠A+∠C=180°
B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180°
D.∠A+∠D=180°
10.平行四边形的一组对角的平分线()
A.一定相互平行B.一点相交
C.可能平行也可能相交D.平行或共线
11.如图4.2-5,在
ABCD中,M,N分别是OA,OC的中点,O为对角线AC与BD的交点,试问四边形BMDN是平行四边形吗?
说说你的理由.
图4.2-5
12.如图4.2-6,AC是
ABCD的一条对角线,BM⊥AC,DN⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN是平行四边形吗?
你有几种判别方法?
图4.2-6
13.如图4.2-7,在
ABCD中,AC的平行线MN交DA的延长线于M,交DC的延长线于N,交AB,BC于P,Q.
(1)请指出图中平行四边形的个数,并说明理由.
(2)MP与QN能相等吗?
图4.2-7
14.已知如图4.2-8,在
15.如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.
16.楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EF∥AB,交AC于F,H.测出EF=8m,GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论:
图4.2-10