第10讲 与角度有关的运算 尖子班文档格式.docx

第10讲 与角度有关的运算 尖子班文档格式.docx

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1．（2018•河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°

航行到B处，再向右转80°

继续航行，此时的航行方向为（　　）

A．北偏东30°

B．北偏东80°

C．北偏西30°

D．北偏西50°

2．（2017秋•榆树市期末）计算：

90°

﹣（36°

31′52″+12°

22′14″）．

3．（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：

钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；

本题中所提到的角都不小于0°

，且不大于180°

；

本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．

（1）时针每分钟转动的角度为______　°

，分针每分钟转动的角度为____°

（2）8点整，钟面角∠AOB=_____°

，钟面角与此相等的整点还有：

_____点；

（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．

4.（2017秋•孝感期末）计算：

（1）48°

39′+67°

31′﹣21°

17′；

（2）23°

53′×

3﹣107°

43′÷

5．

知识点2：

角平分线的定义

1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：

（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。

（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

（3）作射线OP。

射线OP即为所求。

1.已知∠AOB=20°

，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是________

本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC与∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。

所以作图分两种情况，即：

∠AOB在∠AOC内部和∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。

1．（2017秋•开江县期末）如图，∠BOE=2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF=20°

，求∠AOB．

2．（2017秋•定边县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°

，OD平分∠AOC，∠DOE=90°

．

（1）求出∠BOD的度数；

（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．

3．（2017秋•泸县期末）如图，已知∠AOB=90°

，∠EOF=60°

，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．

4．（2017秋•杜尔伯特县期末）如图所示．

（1）已知∠AOB=90°

，∠BOC=30°

，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；

（2）∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．

知识点3：

余角和补角

1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°

∠A=90°

-∠C,∠A与∠C互余；

余角的性质：

同角的余角相等。

比如：

∠A+∠B=90°

∠A+∠C=90°

则：

∠C=∠B。

等角的余角相等。

∠D+∠C=90°

∠A=∠D则：

2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A+∠C=180°

∠A=180°

-∠C,∠A与∠C互补；

补角的性质：

同角的补角相等。

∠A+∠B=180°

∠A+∠C=180°

等角的补角相等。

∠D+∠C=180°

∠A=∠D，则：

1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________

题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。

通过一对互余角的角平分线求出平分后小角组成的大角为45°

，利用平角是180°

，求出剩余角度之和是135°

，进而求出二者之间的比例关系。

1．（2017秋•海口期末）已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=38°

，则∠3等于（　　）

A．62°

B．128°

C．138°

D．142°

2．（2017秋•溧水区期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：

①90°

﹣∠α；

②∠β﹣90°

③

（∠β+∠α）；

④

（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（2017秋•阜宁县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°

．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：

直线ON是否平分∠AOC？

请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°

的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：

∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

4．（2017秋•襄城区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°

，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM=_____度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．探究∠AOM与∠NOC之间数量关系，并说明你的理由；

（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°

的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？

（直接写出答案即可，不必说明理由）

5．（2017秋•大余县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，设ON的反向延长线为OD，则∠COD=____°

，∠AOD=____°

（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．

知识点4：

对顶角和邻补角

1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。

对顶角的性质：

对顶角相等。

2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。

邻补角的性质：

（1）一个角与它的邻补角的和等于180°

（2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。

1.如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：

∠BOE=4：

1，则∠AOF=______

解角度问题常设某一角度为未知数，把其他关联角用未知数表示出来，根据已知条件间建立关于该未知数的方程，解方程即可求得未知数的值，从而得到所求角的度数。

用代数方法解几何问题是常用方法之一。

1．（2016秋•玄武区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC：

∠AOD=4：

5，OE平∠BOD分，请在图中画出OF⊥AB并求出∠BOF的度数．

2．（2017秋•天河区期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．

（1）若∠AOC=36°

，∠COE=90°

，求∠BOE的度数；

（2）若∠COE：

∠EOB：

∠BOD=4：

3：

2，求∠AOE的度数．

3．（2017秋•平邑县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°

，OF平分∠AOD，∠COE=20°

，求∠BOD与∠DOF的度数．

知识点5.多边形与圆

1.多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角；

连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。

圆：

到定点与距离等于定长的点的集合

弦和直径：

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

弧：

（1）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作⌒AB,读作弧AB.

（2）半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º

用三个字母表示，如

.

小于半圆的弧叫做劣弧，如

。

（3）等弧：

在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

2.扇形面积公式：

1．（2016春•聊城校级月考）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（　　）

A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7

2．（2018•江干区一模）已知扇形的圆心角为30°

，面积为3πcm2，则扇形的半径为（　　）

A．6cmB．12cmC．18cmD．36cm

3．（2018春•荣成市校级期中）将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1：

2：

4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数．

综合集训

1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°

的点在直线a上，表示138°

的点在直线b上，则∠1=_______°

2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°

，∠COE=20°

，则∠BOE=　________°

3.一个角的补角为158°

12′，那么这个角的余角等于__________．

4.如图，∠AOB=90°

，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°

，则∠BOD=__________．

5.一个角的补角加上14°

，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是　________．

6如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOF=∠DOE=90°

，∠DOF=58°

，则∠BOE=________，∠AOC=________．

7.计算：

8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．

（1）若∠AOC=120°

，求∠DOE的度数；

（2）若∠AOB=90°

，∠BOC=α，求∠DOE的度数．

9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD

（1）当∠AOD=70°

时，∠DOE=_______°

（2）当∠AOD=100°

时，求：

∠DOE、∠COE的度数；

（3）直接写出，当∠AOD=x°

时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．