上海市黄浦区届高三模拟考试数学文理合卷.docx

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上海市黄浦区届高三模拟考试数学文理合卷

上海市黄浦区2015年高考模拟考

数学试卷（文理合卷）

（2015年4月21日）

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数的定义域是　　　．

2．函数的单调递减区间是．

3．已知集合，若，则正实数的取值范围是．

4．若二次函数是定义域为的偶函数，则函数的反函数=．

5．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则的值是.

6．在△中，内角所对的边分别为，且，则=．

7．在等差数列中，若，，则正整数　　　　　　．

8．已知点，则直线的点法向式方程是．

9．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是．

10．已知是球的一条直径，点是上一点，若，平面过点且垂直，截得圆，当圆的面积为时，则球的表面积是．

11．若二次函数对一切恒有成立，且，则．

12．（理科）在平面直角坐标系中，直线：

，圆，则圆心到直线的距离是．

（文科）设点位于线性约束条件所表示的区域内（含边界），则目标函数的最大值是．

13．（理科）一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量表示随机摸一个球的得分，则随机变量的数学期望的值是分．

（文科）一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率是．

14．（理科）已知点，平面直角坐标系上的动点满足（其中是坐标原点，且），若动点组成的区域的面积为8，则的最小值是．

（文科）在中，，且，则的数值是．

二、选择题（本大题满分20分）　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在空间中，下列命题正确的是[答]（）．

A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b

B．空间不同的三点确定一个平面

C．如果直线l//平面且//平面，那么

D．若直线与平面没有公共点，则直线//平面

16．设实数均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答]（）．

A．充分非必要条件B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

17．若复数同时满足，，则（是虚数单位，是的共轭复数）[答]（）．

A．B．C．D．

18．已知数列共有5项，满足，且对任意，有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：

（1）；

（2）；（3）数列是等差数列；

（4）集合中共有9个元素．

则其中真命题的序号是　　　[答]（　）．

．

（1）、

（2）、（3）、（4）　　　．

（1）、（4）　　．

（2）、（3）　　．

（1）、（3）、（4）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体中，，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体．

（理科）

（1）若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求点D到平面的距离．

（文科）

（1）求几何体的体积，并画出该几何体的左视图（平行主视图投影所在的平面）；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

第19题图

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

　　已知函数，函数与函数的图像关于原点对称．

（1）求的解析式；

（2）（理科）求函数在上的单调递增区间．

（2）（文科）当时，求函数的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

　有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上．设cm，矩形的面积为．

（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，

并写出定义域；

（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？

第21题图

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

（理科）已知数列满足，对任意都有．

（1）求数列（）的递推公式；

（2）数列满足（），求通项公式；

（3）设，问是否存在实数使得数列（）是单调递增数列？

若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

（文科）

　已知数列满足，对任意都有．

（1）求数列（）的通项公式；

（2）数列满足（），求数列的前项和；

（3）设，求数列（）中最小项的值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；

（3）（理科）已知点是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：

直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．

（文科）已知点是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：

原点到直线的距离是定值．

黄浦区2015年高考模拟考数学试卷（文理合卷）

参考答案（2015年4月21日）

一、填空题

1．；8．；

2．；　　　　9．；

3．；10．；

4．；11．；

5．；12．（理科）；（文科）；

6．；13．（理科）；（文科）；

7．　；14．（理科）．（文科）或．

二、选择题　15．D　　　16．B　　　17．D　　　18．A

三、解答题

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

（理科）

解

（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点、、、、．　　　　　

由是中点，可得.

于是，．　

设异面直线与所成的角为，则

　　．

　因此，异面直线与所成的角为．

（2）设是平面的法向量．

　　∴

　　又，

∴　取，可得即平面的一个法向量是．

∴

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（文科）

解

（1），，

左视图如右图所示．　

（2）依据题意，有，即．

　∴就是异面直线与所成的角．

　又，

　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　∴异面直线与所成的角是．

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

解

（1）设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的

图像上，

于是有．

　　　所以，，．

（理科）

（2）由

（1）可知，，记．　

由，解得，

则函数在形如的区间上单调递增.

结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数只能是0和1．

　令得；时，得.

　所以，，．

于是，函数在上的单调递增区间是和．

（文科）

（2）由

（1）可知，．

　又，

所以，．

考察正弦函数的图像，可知，，．

　于是，．

　　所以，当时，函数的取值范围是．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解

（1）依据题意并结合图形，可知：

　当点在线段上，即时，；

　当点在线段上，即时，由，得．

于是，．

　　所以，定义域．

（2）由

（1）知，当时，；

当时，

　　，当且仅当时，等号成立．

　因此，的最大值为．

答：

先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

（理科）

解

（1）对任意都有成立，

∴令，得．

∴数列（）的递推公式是

（2）由

（1）可知，数列（）是首项和公比都为的等比数列，于是．　

由（），得

（）．

故．

当时，．

所以

（3）∵，

∴当时，，

　　　　　　　，

依据题意，有，即．

当为大于或等于4的偶数时，有恒成立，又随增大而增大，则

，故的取值范围为；

当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为；

当时，由，得．

　　综上可得，所求的取值范围是．

（文科）

解

（1）对任意都有成立，，

∴令，得．

∴数列（）是首项和公比都为的等比数列．

∴．

（2）由（），得

（）．

故．

当时，．

于是，

当时，；

当时，

又时，，

综上，有

　（3），，

　　∴，．

　　∴数列（）是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

解

（1）依据题意，动点满足.

又，

因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且．

所以，所求曲线的轨迹方程是．

（2）设是曲线上任一点．依据题意，可得．

是直径，

．又，

　　　　＝．

　由，可得，即．

　　．

　　的取值范围是．

（另解：

结合椭圆和圆的位置关系，有（当且仅当共线时，等号成立），于是有．）

（理科）

（3）证明　因是曲线上满足的两个动点，由曲线关于原点对称，可知直线也关于原点对称．若直线与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线的距离（）是定值即可．

设，点，则

　　　．

　　利用面积相等，有，于是．

　　又两点在曲线上，故可得

　　因此，．

　　所以，，即为定值．

所以，直线总与定圆相切，且定圆的方程为：

．

（文科）

（3）证明　设原点到直线的距离为，且是曲线上满足的两个动点．

若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，即．

若点不在坐标轴上，可设．

由得

设点，同理可得，

于是，，，．

利用，得．

综合可知，总有，即原点到直线的距离为定值．

（方法二：

根据曲线关于原点和坐标轴都对称的特点，以及，求出的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论）

-END-