概率论与数理统计复习整理Word格式.docx
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4）加法公式：
对任意两事件A、B，有
P（A⋃B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）
特别地,当AB=φ时,有P（AB）=0,此时
可记P（A⋃B）＝P（A+B）=P（A）＋P（B）
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，
…，An的情形；
如
P（A⋃B⋃C）＝P（A）＋P（B）+P（C）
－P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）
（6）可分性：
对任意两事件A、B，
例5某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少
订有一种报纸的概率.
二.复习：
排列与组合的基本概念
（1）乘法公式：
设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法
2）加法公式：
设完成一件事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种
方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。
1排列：
从含有n个元素的集合中随机抽取k次
（1）有重复排列:
从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个,记录其结果后放回,将记录结果排成一列,共有nk种排列方式（分k步完成,乘法原理）.
2）无重复排列（选排列）：
从含有n个元素的集合中随机抽取k次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列，共有Pnk=n（n-1）…（n-k+1）种排列方式.分k步完成,乘法原理
3）全排列：
从含有n个元素的集合中随机抽取n次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列.共有Pnn=n（n-1）（n-2）…3×
2×
1=n﹗种排列方式.分n步完成,乘法原理
3.组合
（1）从含有n个元素的集合中随机抽取k个,而不考虑其顺序共有
1、随机取数问题
例1在1~10这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率;
（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率;
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率
2、摸球问题（产品的随机抽样问题）
例2n个人等可能地分配到N间房中（m≤n≤N）,每房容纳的人数不限,求下列事件的概率:
A={指定的n间房各有一人};
B={恰好有n间房各有一人}
C={指定的一间房有m人};
D={正好有一间房有m人};
条件概率
若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件,其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点,则有
一般地，设A、B是样本空间Ω中的两个事件，则称
为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.
设A、B∈Ω,P（A）>
0,则事件A与B的交的概率
P（AB）＝P（A）P（B|A）或者P（A）>
0时,P（AB）＝P（B）P（A|B）称为事件A、B的概率乘法公式。
设A1，…,An是Ω的一个划分，且P（Ai）>
0，（i＝1，…，n），则对任何事件B∈Ω有
公式称为全概率公式。
例2商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
（0.084）
定义1设A、B是两事件，P（A）≠0,若P（B）＝P（B|A）
则称事件A与B相互独立。
上式等价于:
P（AB）＝P（A）P（B）
若在此基础上还满足：
（2）P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）,则称事件A、B、C相互独立
1.设事件A、B、C、D相互独立则
3.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件A1={掷第一次出现正面}
A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},
A4={正面出现两次},则有结论（）成立.
（A）A1、A2、A3相互独立;
（B）A2、A3、A4相互独立;
（C）A1、A2、A3两两独立;
（D）A2、A3、A4两两独立
例2．如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率
例9某厂生产的每台仪器可直接出厂的占0.7,需要调试的点0.3,调试后能出厂的占0.8,不能出厂的不合格品占0.2.现新生产n（n≥2）台仪器（设每台仪器的生产过程是相互独立的）,求:
（1）全部仪器能出厂的概率;
（2）恰有两台不能出厂的概率;
（3）至少有两台不能出厂的概率.
5.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其
中女生的报名表分别为3份、7份和5份;
现随机地取一个地区
的报名表,从中先后抽取两份,求:
（1）求先抽到的一份是女生表的概率;
（2）已知后抽到的一份
是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.
第二章离散型随机变量与连续型随机变量
例3某产品中恰有8件合格品2件次品,每次从中
任取一件进行检查,直到查到正品为止.分别按
有放回和不放回抽样,求所需抽取数的分布律.
4（p73）设随机变量X的概率函数
试确定常数a.
一）伯努利（Bernoulli）概型与二项分布
1.（0-1）分布（
2.二项分布
定义设将试验独立重复进行n次,每次试验中,事件A发生的概率均为p,则称这n次试验为n重伯努利试验
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记作X～B（n,p）
例4某车间有同类设备20台,由一人负责维修工作.若每台设
备发生故障的概率为0.01且各台设备工作是相互独立的,求
有设备发生故障而不能及时维修的概率;
如果3人共同负责维
修80,那么有设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?
4.二项分布的最大值及近似计算
2）二项分布的近似计算
泊松定理
二）泊松（Poisson）分布P（λ）
（1）泊松分布为二项分布的近似值.
（2）泊松分布常见于稠密性问题中,如在一段时间内电话交
换台接到的呼换次数;
公共汽车站候车的旅客数;
售票口
到达的顾客数,保险公司在一定时期内被索赔的次数等
等均可近似地用泊松分布来描述.
2.泊松分布的最大值与经典题型
（三）几何分布
（1）几何分布的概率构成等比（几何）数列,成几何
增长,公比为（1-p）.顾名思义称之为几何分布.
（2）几何分布直观叙述为期待某个事件首次出现.
设X服从几何分布,则对任何两个正整数
这一性质称为几何分布的无记忆性,意指几何分布对过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了.
（四）超几何分布
一个袋中装有N件产品,其中有M件次品,从中无
放回抽取n件.以X表示取到的次品数.
X～H（n,M,N）
（1）从一批产品中一次抽取n件样品与不放回地抽取n
件是等价的,都服从超几何分布.
（2）当有放回地抽取n件样品时,每次取到次品的概率都
是一样的（多少?
）,此时超几何分布退化为二项分布
（3）在无放回抽样中,当样本总数N很大,而n很小时，超几何分布可近似用二项分布描述
例：
例2设一批产品共2000个,其中有40个次品.随机抽取100个样
品,求样品中次品数的概率分布,若抽样方式是:
（1）不放回抽样
（2）放回抽样
连续型随机变量
2.密度函数的性质（p48）
（1）非负性f（x）≥0，（-∞<
x<
∞）；
（2）归一性
（3）连续型随机变量取某一可能值的概率等于0.
（1）概率等于0的事件不一定是不可能事件
两种类型随机变量结合的题型
例2设随机变量X在[1,4]上服从均匀分布,现在对X进行3次独立观察,求至少有2次观察值大于2的概率.
2.指数分布
（1）指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间,几
何分布描述伯努利试验中,直到事件A发生为止进行的试验
次数.如果将每次试验视为经历一个单位时间,则直到A发生为止进行的试验的次数可视为直到A发生为止的等待时间.
（2）电子元件、灯泡的使用寿命;
电话台收到两次呼叫的时间间隔;
随机服务系统的服务时间等均服从指数分布.
一般地有以下的结论:
P{X>
s+t/X>
s}=P{X>
t}
这一性质称为指数分布的无记忆性,意指指数分布
对过去的信息在后面的计算中被遗忘了.
随机变量的分布函数
设是随机变量，对任意实数,事件
的概率称为随机变量的分布函数.
1单调不减性
2归一性
3右连续性对任意实数
离散型随机变量分布函数
定义若离散型随机变量X具分布律
连续型随机变量的分布函数
定义若连续型随机变量X的密度函数为,则称
为X的分布函数，记作
第三章
1、设随机变量X的概率密度为
求X的数学期望。
答案：
2、设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为
答案：
2
应用0—1分布求数学期望的方法
一民航大巴载有50位旅客从机场开出,旅客有10个车站
可以下车,如到达一车站没有人下车就不停车,以X表示停
车次数,求平均停车次数E（X）（设每位旅客在各个车站下车
是等可能的,而且各旅客是否下车相互独立）
例2设（X,Y）在D={（X,Y）:
x2+y2≤1}上服从均匀分布,求证：
X与Y不相关,但不是相互独立的。
大数定律
切比雪夫不等式：
例2已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。
依概率收敛：
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