金版高考数学 第二章第四节 垂直关系优化训练文档格式.docx

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其中，为真命题的是（　　）

A．①和②　　　　B．②和③

C．③和④D．②和④

【解析】　当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；

由平面与平面垂直的判定可知②正确；

空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；

若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．

【答案】　D

3．（2008年宁夏卷）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（　　）

A．AB∥mB．AC⊥m

C．AB∥βD．AC⊥β

【解析】　如下图所示

AB∥l∥m；

AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；

AB∥l⇒AB∥β，故选D.

4．如右图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°

，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线CA上D．△ABC内部

【解析】　

⇒CA⊥面ABC1

⇒面ABC⊥面ABC1，

∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内，

∴H∈AB.

【答案】　A

5．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，错误命题的个数是（　　）

①α∥β，m

α，n

β，则m∥n；

②若m

α，且m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α⊥β，m

α，则m⊥β；

④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α.

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　①错，两平行平面内任意两直线可平行或异面；

②错，只有两个平面内的两条相交直线互相平行，两个平面才平行；

③由面面垂直的性质定理可知当且仅当直线m垂直两平面交线时，命题才成立；

④空间想象易知命题成立，综上可知只有④是正确的，其他三个命题均错误，故选C.

【答案】　C

6．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥A1－ABC的面是直角三角形的个数为（　　）

【解析】　据题意由AA1⊥平面ABCD，

可得三角形AA1B，AA1C为直角三角形，

又易推出BC⊥平面AA1B，

故三角形A1BC和ABC为直角三角形，即此四面体各个面均为直角三角形．

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：

①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；

②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；

③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；

④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直．

则其中________是真命题．

【解析】　若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；

若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；

若α∥β，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；

若α⊥β，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确．综上可得②、③为真．

【答案】　②、③

8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

【解析】　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC

平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

【答案】　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

9．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．

【解析】　由题意知：

点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，

三、解答题（共46分）

10．（15分）如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°

，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.

求证：

（1）BC⊥平面PAB；

（2）AE⊥平面PBC；

（3）PC⊥EF.

【证明】　

（1）∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，

∴PA⊥BC.∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.

（2）∵BC⊥平面PAB，AE

平面PAB，∴BC⊥AE.

∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.

（3）∵AE⊥平面PBC，PC

平面PBC，∴AE⊥PC，

∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，

∴PC⊥平面AEF.

而EF

面AEF，

∴PC⊥EF.

11．（15分）如图1，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2.

（1）求四棱锥D－ABCE的体积；

（2）求证：

AD⊥平面BDE.

（1）取AE中点O，连接DO，由题意知：

AB=2AD=2a，ED=EC，

∴AD=DE，∴DO⊥AE，

又∵平面ADE⊥平面ABCE，

∴DO⊥平面ABCE.

在等腰Rt△ADE中，AD=DE=a，

（2）证明：

在题图1中，连接BE，

∴AE⊥EB，

由

（1）知DO⊥平面ABCE，

∴DO⊥BE，又DO∩AE=O，

∴BE⊥平面ADE

∴BE⊥AD

又∵AD⊥DE，

∴AD⊥平面BDE.

12．（16分）（2009年山东卷）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

（1）设F是棱AB的中点，

证明：

直线EE1∥平面FCC1；

平面D1AC⊥平面BB1C1C.

【证明】　

（1）方法一：

取A1B1的中点为F1.

连结FF1，C1F1.

由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，

因此平面FCC1即为平面C1CFF1.

连结A1D，F1C，

由于A1F1

D1C1

CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形，

因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，

得EE1∥F1C.

而EE1⊄平面FCC1，F1C

平面FCC1，

故EE1∥平面FCC1.

方法二：

因为F为AB的中点，CD=2，

AB=4，AB∥CD，

所以CD

AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC

平面FCC1，CC1平面FCC1，AD∩DD1=D，AD

平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.

又EE1

平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

（2）连结AC，在△FBC中，FC=BC=FB，

又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.

因此∠ACB=90°

，即AC⊥BC.

又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，

所以AC⊥平面BB1C1C.

而AC

平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.