换元法在代数解题中的应用方丽颖.doc

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换元法在解代数题中的应用

方丽颖

摘要：

换元是指对结构较为复杂、量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新的变量，代换命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。

分为代数换元和三角换元等。

它是一种重要的思想方法，在中学数学中有着十分广泛的应用。

有各种各样的代换技巧：

整体换元、三角换元、和差换元、参数换元、均值换元、增量换元、降次换元、增元换元、对称换元等。

许多复杂的数学问题，若能很好地利用换元方法，可以使问题由难变易，由繁到简，达到事半功倍的奇效。

关键词：

方法数学方法换元法 

有一些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。

但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。

因此，代换被认为是中学数学解题最常用的一种思想方法。

掌握了代换思想,不但可以比较顺利地解决一些较难的题目,还可以用多种方法解答同一个个问题,提高我们的思维

一、换元法的概念

换元法这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法.解数学问题时,如果直接解决原问题有困难,或原问题不易下手,或由原问题的条件难以直接得出结论时,往往需要引入一个或若干个"新元"代换问题中原来的"元",使以"新元"为基础的问题求解比较容易,解决以后将结果恢复为原来的元,即可得原问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法.又称变量代换法或辅助元素法.

二、换元的实质

换元的实质就是转化,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,使问题得到简化的一种解题方法.换元法的基本思想是通过变量代换,使原问题化繁为[1]简,化难为易,使问题发生有利的转化,从而达到解题目的.常见的换元法有两种:

（1）设F（x）是一个比较复杂的表达式,如果F（x）可以表示为一个以Ψ（t）为中间变量的复函数,则可以设Ψ（t）=u,于是F（x）=G（Ψ（t））=G（u）.如果G（u）比F（x）容易解决,这里的换元就起了化繁为简的作用.这是第一种换元法.

（2）设F（x）是一个比较复杂的表达式,为了解题的需要,设x=Φ（t）,于是F（x）=F（Φ（t））=Γ（t）.只要Γ（t）比较容易解决,同样也能起到化难为简的作用.这是第二种换元法。

三、换元法的关键

利用换元法解数学题的关键在于适当地选择"新元",引进适当的代换,找到较容易的解题思路,能使问题简化.

四、换元法的基本思路

即把未知问题转化为已知问题,把复杂问题转化为简单问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

五、换语法的一般步骤

①设元（或构造元）②求解③回代④检验

六、常见的换元方法及技巧

（一）整体换元法

例1.求同时满足下列条件的所有复数Z：

⑴Z+＜Z+≤6；⑵z的实部和虚部都是整数。

解:

设Ｚ+=m，得z-mz+10=0，

由⑴知mR且1＜m≤6，

m-40＜0，由求根公式得Z=i，

由z的实部和虚部都是整数，m只能取2、6两个值，

因此满足条件的所有复数是Z=13i或3i。

注：

此题若用化为实数求解，需分类讨论。

此处采用整体换元，将问题转化为一元二次方程来探求，巧妙的回避了讨论。

例2.已知,求和.

分析：

求和,即求该复合函数的解析表达式.首先要明确该复合函数的意义,

=3+4

=3+4

解:

=+4=3（=9x+16

}=3+4

由于=9x+16,

所以要将9x+16看作一个整体去置换3+4中的即具体是将去置换原函数解析式中的x,从而得到的解析表达式.

=3+4=3（）+4=27x+52

注：

此题的目的是加强换元意识中的“整体观”,已知条件的一部分有机联系起来,看成是一个整体,然后进行整体的置换。

（二）局部换元法

例3.分解因式.

分析用传统方式先去括号,再做分解工作量很大,在此可以把看作整体.

解:

设,则

原式=+

=+2ab+-1

=-1

=

=

=

注：

本题用的是"局部换元法".从式子的特征看,把及各看作一个整体用a和b进行换元,可使问题简化.

（三）三角换元法

例4.解不等式x+1＞x

解:

设x=tan（-＜＜），

则原不等式可化为tansec＞-1+tan，

即2sin-sin-1＜0，

解得-＜sin＜1，

-＜＜，

tan＞-，

原不等式的解集为｛x∣x＞-｝。

注：

三角换元一般是利用三角函数的值域或同角三角函数的关系问题，其应用相当的广泛。

（四）和差换元

例5.若-4=0,求证：

x、y、z成等差数列。

证明：

令x=，z=，

代入已知等式得-4=0,

即=0，a=y，=2a=2y，

故成等差数列。

（五）参数换元法

例6.如果实数x、y满足等式+y=3,求的最大值。

解：

令=k，则y=表示圆上的点与原点连线的斜率，

直线y=与园有公共点的充要条件是≤，

解得≤。

（六）增值换元

例7.在复数集C中解方程：

++=2.

解：

令t==2，

则原方程变为=2，

展开整理得t=0，

x=x=-2，x=-2+2i，x=-2-2i。

注：

通过均值换元，巧妙的将高次方程化归为只含偶次幂的方程。

（七）增量换元

例8.已知a、b且=1，求证：

≥。

证明：

由a、b且=1，

可设a=+t，b=-t,

则=

=

≥

=，

当且仅当a=b=时等号成立。

（八）增次换元

例9.解不等式＞x+1。

解：

令=t，则x=，

原不等式可化为＞+1，

即＜0，

t＜9，

＜9，x＜2，

又≥0，x≥-，

故原不等式的解集为-≤x＜

注：

此法适用于所有形如或＜的不等式。

（九）降次换元

例10.已知+=1,求证：

+=1。

证明：

设A=a,B=b,

则由已知得，，

即=，

整理得，a=b，

+=

=

=1

注：

降次换元，可以化三角问题为代数问题，过程比较简洁。

（十）增元换元

例11.若==且++=1，求证:

=++.

证明：

令===k，

则=，=，=，

=

==

=++，

命题得证。

注：

对于连等式或者连比式的题目，一般采用增元换元的方法，从而将相互依存的各参数或变量分离开来，使结构关系明朗化，变换起来更简便。

（十一）对称换元

例12.设n且+=-1，求的值。

解：

由条件+=2（-），

故设=--d，=-+d，

由得，

，

解得d=。

若d=，则=-1，=0；

若d=-，则=0，=-1，

=。

注：

对形如=2c型的结构式可考虑构造等差数列的形式，然后进行对称换元。

七、换元中应注意的问题

换元法是中学数学的一种重要的解题方法.通过换元,可使非标准话问题标准化,复杂的问题简单化.由于这种方法应用较广,并且分布在中学数学的不同章节,不同问题中,学生学习时往往只会孤立地运用这种方法,机械地照抄照搬,对于何时能用换元法,何时不能用,用换元法需要注意哪些问题不太明确.因此,应用时难免出现方法不灵活,甚至出现错用的现象.

八、换元法在具体问题中的应用

（一）换元法在递推数列问题中的应用

在递归数列问题的解决中，当题目给出的数列的一般规律难以寻觅时，可考虑换元法，用一个规律明朗的数列作代换，从而使问题得到解决。

下面用两个例子来说明。

例1.

由循环公式=1=定义，其中n=1、2、3……

（1）

求通项公式。

分析：

虽然由条件不难算出数列的前几项=1，=，=，=……但仅就此而言，一时很难发现数列的变化规律。

对于循环公式

（1），也许可以作出这样的猜测：

根式是个难处，如果从这里下手会怎样呢？

解：

设=，则=

由=1，=，=，=，

可立即得到=5+3+2;4+3+1,=3,=3,这样便容易看出新数列的通项公式为=3+

（2）

下面用归纳法加以证明。

（ⅰ）n=1时，命题显然成立；

（ⅱ）假设n=K时

（2）式成立，即=3+；

（ⅲ）则n=K+1时，

-=

=

整理化简得===3+

的通项公式为=3+，

因此可得=

=+2+

例2.数列满足=2+﹙n=1，2，3……﹚时，试证可以确定适当的数a，该不等式≤对于一切的n=1，2，3……成立。

分析：

≤≤

（1）

将=2+两边同时乘以，便可得到=+这使我们自然想到作代换=。

因为由=+可得=+。

解：

设=，则=+，

由此可得=+

=+-

=+-

则=

=

此时不难发现且易证，取a=+

则=≤

亦即≤对任意n=1，2，3……成立。

（二）换元法在解方程（组）中的应用

1.用换元法解分式方程

如何将分式方程转化成整式方程是解分式方程的关键。

换元是转化的一个基本途径，但换元法不是解分式方程的一般方法，它是以所讨论方程的特有性质为依据的，是解一些特殊方程的特殊方法。

这种方法灵活性大，技巧性强，不同的方程就有不同的换元方法。

因此要多观察，巧分析，并注意方法的总结。

一般的分式方程（组）换元有一下几种类型：

（1）方城中有重复出现的分式时，可直接换元。

这是比较简单的一种类型。

（2）利用方程中代数式互为倒数的关系换元。

例1解方程-+=0

分析：

方程中含一个分式，如果去分母来解，就会出现四次式。

观察方程的特点，方程多项式中含有。

因此，可令=y进行换元。

解：

令=y，

原方程变为y+7+=0，

整理得

解之得，=-2=-5.

当=-5时，+5=0，＜0，无实根，舍去。

当=-2时，+2=0，解之得=2，=1

经检验，=2，=1都是原方程的根。

例2解方程：

+=

分析：

方程中含两个分式，观察到方程左边两个分式互为倒数，抓住这个特点可进行换元求解。

解：

设=y，原方程可化为y+=。

解得=2，=

由=2，得=-1；

由=，得=2.

经检验，=-1，=2都是原方程的根。

（3）利用分母的特点换元

例3.解方程：

+=

分析:

此题如去分母，便会出现高次的麻烦。

仔细观察方程，就会发现各分母均是x的二次三项式，仅常数项就不同，依此特点可设=y来换元。

解：

设=y，

原方程变为+=，

即=

.

解得=4，=-3.

当=4时，=4得，=，=。

当=-3时，+3=0，＜0，无实根，舍去。

经检验=，=都是原方程的根。

（4）整理方程中的各项，使方程变形成有重复出现的分式整体进行换元。

例4.解方程：

-3+4=0.

分析：

如去分母就会出现高次方程，所以应该考虑换元法。

由于=-2,可以依此设=y来换元。

解：

设=y，则=-2。

原方程变为-3y+2=0

.

当时，有=1，-x+1=0，，无实根，舍去。

当时，有=2，-2x+1=0，==1，

经检验==1是原方程的根。

2用换元法解无理方程（组）

用换元法将无理方程转化成有理方程是常用的基本方法，应用换元法解无理方程的常见类型有：

（1）根号内外的代数式相同时可直接换元，这类题比较好分析，难度较小。

（2）利用方程中两个根号内代数式的倒数关系换元

（3）将根号外的代数式整理成根号内的代数式的形式进行换元。

这类题要注意以根号内的代数式为标准整理根号外的代数式。

（4）整理组合式双换元。

这种换元常在方程组解题中，主要是将方程组中的整式方程，整理出含无理