学生线性代数运算命令与例题Word下载.docx
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n的矩阵应遵循矩阵的运算规则外，MATLAB中还为数组提供了一些特殊的运算：
乘法为：
.*,左除为：
.\,右除为：
./,乘幂为：
.^。
例1:
构造
的0矩阵。
解:
Matlab命令:
zeros（2,5）↙
ans=
00000
00000
例2:
生成2阶单位矩阵。
Matlab命令:
eye
（2）↙
10
01
例3.生成对角矩阵
。
symsabcd↙
v=[abcd];
↙
diag（v）↙
[a,0,0,0]
[0,b,0,0]
[0,0,c,0]
[0,0,0,d]
例4.生成三对角矩阵
symsabc↙
v1=b*ones（1,6）;
v2=[aaaaa];
v3=[ccccc];
diag（v1,0）+diag（v2,1）+diag（v3,-1）↙
[b,a,0,0,0,0]
[c,b,a,0,0,0]
[0,c,b,a,0,0]
[0,0,c,b,a,0]
[0,0,0,c,b,a]
[0,0,0,0,c,b]
例5.计算
A=[1,3,7;
-3,9,-1];
B=[2,3,-2;
-1,6,-7];
A+B↙
365
-415-8
例6．计算
A=[1,2,3;
3,5,1];
5*A↙
51015
15255
例7.求向量
与
的点积。
Matlab命令
symsabcefg↙
v1=[abc];
v2=[efg];
v1.*v2↙
[a*e,b*f,c*g]
例8.求向量{a，b，c}与矩阵
的乘积。
Matlab命令：
symsabc↙
v=[abc];
A1=sym（[12;
34;
56]）;
v*A1↙
[a+3*b+5*c,2*a+4*b+6*c]
例9:
求矩阵
A=[130;
-2-11];
B=[13-10;
0-121;
2401];
A*B↙
1053
0-100
例10.求矩阵
的逆。
A=[1234;
2312;
111-1;
10-2-6];
A^（-1）↙
22.0000-6.0000-26.000017.0000
-17.00005.000020.0000-13.0000
-1.0000-0.00002.0000-1.0000
4.0000-1.0000-5.00003.0000
例11.求矩阵
symsabcd↙
A=[ab;
cd];
inv（A）↙
[d/（a*d-b*c）,-b/（a*d-b*c）]
[-c/（a*d-b*c）,a/（a*d-b*c）]
例12.求矩阵
的转置。
2345;
3456];
A'
123
234
345
456
例13.
，求A的行列式
A=[ab;
det（A）↙
a*d-b*c
例14.求矩阵
的行列式。
A=[4124;
1202;
10520;
0117];
0
例15.求矩阵
的6次幂。
A=[13;
21];
A^（6）↙
8471026
684847
例16.求矩阵
的2次幂，3次幂。
symsa
A=[a10;
0a1;
00a];
A^2
[a^2,2*a,1]
[0,a^2,2*a]
[0,0,a^2]
A^3
[a^3,3*a^2,3*a]
[0,a^3,3*a^2]
[0,0,a^3]
例17.求矩阵
的秩与行最简形。
rref（A）↙
100-2
0102
0015
0000
rank（A）↙
3
5.2解线性方程组
线性方程组是线性代数研究的主要问题，而且很多实际问题的解决也归结为线性方程组的求解，因而线性方程组的求解问题的应用是非常广泛的。
在这一小结介绍线性方程组的求解。
在Matlab中求解线性方程组主要有三种方法：
求逆法inv（A）；
左除与右除A/b,A\b；
初等变换法rref（A），rref（A|b）.下面对各个方法作详细介绍。
5.2.1求逆法inv（A）
对于线性方程组
，如果系数矩阵A是方阵，则
.
例19．求方程组
的解。
A=[2,3;
1,-1];
b=[4,1];
X=inv（A）*b'
X=
1.4000
0.4000
结果分析：
方程的解为：
x=1.4,y=0.4.
例20：
求方程组
的解
A=[1111;
12-14;
2-3-1-5;
31211];
b=[5;
-2;
0];
X=inv（A）*b↙
1.0000
2.0000
3.0000
-1.0000
例21：
解矩阵方程
A1=[14;
-12]；
A2=[2,0;
-1,1];
B=[3,1;
0,-1];
X=inv（A1）*B*inv（A2）↙
1.00001.0000
0.25000
5.2.2左除与右除法
，则
而对于对于线性方程组
这里矩阵A,B为任意矩阵。
并且如果矩阵A是方阵，也尽量用除法求方程组的解，因为用除法求解不仅用较少的时间，而且精度比求逆法高。
例23：
A=[21-1;
210;
1-11];
B=[1-13;
432];
X=B/A↙
-221
-8/35-2/3
例24：
设
求B.
A=[432;
110;
-123];
↙
A1=A-2*eye（3）;
B=A1\A↙
B=
5/3-2/3-4/3
2/3-5/3-4/3
-2/314/313/3
5.2.3 初等变换法
在线性代数中用消元法求非齐次线性方程组的通解的具体过程为：
首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。
如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。
在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；
如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解。
在Matlab中，对于线性方程组
，利用指令rref（A）求得线性方程组系数、增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解。
例25:
求
矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：
解：
A=[32-1-3-1;
2-131-3;
705-1-8];
105/7-1/70
01-11/7-9/70
00001
，二阶子式
，是一个最高阶非零子式。
例26：
求齐次线性方程组
的通解。
A=[1-8102;
245-1;
386-2];
1040
01-3/4-1/4
0000
即有
，所以原方程组等价于
取
得
因此基础解系为
所以方程的通解为：
是任意实数。
例27：
求非齐次方程
A=[42-1;
3-12;
1130];
b=[2;
10;
8];
B=（[A,b]）;
rref（B）↙
103/100
01-11/100
0001
而
故方程组无解．
例28.求非齐次方程
A=[231;
1-24;
38-2;
4-19];
b=[4;
-5;
13;
-6];
102-1
01-12
0000
即得
亦即
5.2.4. 符号方程组求解
符号方程组的求解本不属于线性代数部分，但为了结构的完整性在本章进行简单介绍。
●线性方程组
的符号解
X=linsolve（A,B）只给出特解
[X,Z]=linsolve（A,B） 将给出由X及Z构成的通解
要求：
A必须是行满秩的.
例29：
的解.
symsabcdefghi↙
A=[abc;
def;
ghi];
b=[1;
2;
3];
B=sym（b）;
X=linsolve（A,B）↙
[-（-h*f+i*e+3*b*f-2*i*b-3*e*c+2*c*h）/（-g*b*f+h*a*f-h*d*c+g*c*e+i*d*b-i*a*e）]
[（3*f*a-2*i*a-g*f+i*d+2*g*c-3*d*c）/（-g*b*f+h*a*f-h*d*c+g*c*e+i*d*b-i*a*e）]
[-（h*d+2*g*b+3*e*a-g*e-2*h*a-3*d*b）/（-g*b*f+h*a*f-h*d*c+g*c*e+i*d*b-i*a*e）]
●非线性方程组的解
［x1,x2,x3….］=solve（e1,e2,e3,…） ei是符号方程，是要求的未知量。
例30：
解非线性的方程组：
e1=sym（'
a+b+x=y'
）;
e2=sum（'
2*a*x-b*y=-1'
e2=sym（'
e3=sym（'
2*（a+b）=x+y'
）；
e4=sym（'
a*y+b*x=4'
[a,b,x,y]=solve（e1,e2,e3,e4）↙
a=
[1]
[-1]
b=
x=
y=
[3]
[-3]
结果分析:
方程组获得两组解:
5.3求矩阵特征值和特征向量
特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，在实际的工程应用和在求解数学问题中占有非常重要的地位。
在本节中要介绍如何利用Matlab去求特征值与特征向量、矩阵的对角化等问题,，培养把实际问题转化为数学问题来求解的能力。
5.3.1求矩阵特征值、特征向量命令
poly（A）求矩阵A的特阵多项式
d=eig（A）返回方阵A的全部特征值组成的列向量d。
[V,D]=eig（A）返回方阵A的特征值矩阵D与特征向量矩阵V,满足AV=VD.
例31.求矩阵
的特征多项式、特征值、特征向量。
A=[1,-1;
2,4];
p=poly（A）;
poly2str（p,'
x'
）↙
x^2-5x+6
[V,D]=eig（A）↙
V=
-985/13931292/2889
985/1393-2584/2889
D=
20
13
特征多项式是
，特征值是
，对应的特征向量是
，是数值解。
例32.求矩阵
的特征多项式、特征值、特阵向量。
A=[211;
121;
112];
p=poly2str（poly（A）,'
p=
x^3-6x^2+9x-4
-178/221377/2814780/1351
609/1174541/858780/1351
545/1901-685/896780/1351
100
010
004
，对应的特征向量矩阵是V.
5.3.2矩阵的对角化
●如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．
●如果矩阵A是实对称矩阵，则必要正交矩阵P,使
，其中
是以
的n个特征值为对角元素的对角矩阵
例33．试求一个正交的相似变换矩阵P,将对称矩阵
化为对角矩阵。
A=[2-20;
-21-2;
0-20];
[P,D]=eig（A）↙
P=
2/32/3-1/3
-2/31/3-2/3
1/3-2/3-2/3
400
00-2
P*P'
1**
*1*
**1
P^（-1）*A*P↙
4*0
**-2
例34:
假定一个植物园要培育一片作物，它由三种可能基因型AA、Aa及aa的某种分布组成，植物园的管理者要求采用的育种方案是：
子代总体中的每种作物总是用基因型AA的作物来授粉，子代的基因型的分布如下表。
问：
在任何一个子代总体中三种可能基因型的分布表达式如何表示？
亲代的基因型
AA--AA
AA--Aa
AA--aa
Aa—Aa
Aa--aa
aa--aa
子代
的基
因型
AA
1
1/2
1/4
Aa
aa
注：
生物遗传规律：
若亲代的基因型为AA、Aa及aa（其中A为显性基因，a为隐性基因），而产生子代时，都用AA型亲代去配对，则子代的基因型就有如下分布：
AA与AA配对，子代中只有AA型；
AA与Aa配对，子代中有AA、Aa两种基因型，且出现的概率都为1/2；
AA与aa配对，子代中只有Aa型；
实验要求：
建立第n代基因型的分布表达式。
利用遗传规律及所给的表，写出第n代和第n+1代的基因关系，然后通过矩阵知识，找到第n代基因型与初始基因型的直接关系，最后由初始基因型求第n代基因型的分布表达式。
不妨令
，
分别表示在第n代中AA，Aa，aa基因作物所占的分数；
表示对应基因型的初始分布。
则有
由上递推式可求出
的关系。
利用Matlab来分析它们之间的关系,建立exam35.mM命令文件:
symsabc
A0=[a;
b;
c];
n=input（'
n是一个整数:
'
）
K0=[11/20;
01/21;
000];
K=sym（K0）;
A=mpower（K,n）*A0
运行exam35.mM命令文件:
对于任何一个整数n,都可以得到
的关系,这里取整数3与整数10为例:
3↙
A=
[a+7/8*b+3/4*c]
[1/8*b+1/4*c]
[0]
10↙
A=
[a+1023/1024*b+511/512*c]
[1/1024*b+1/512*c]
5.4化二次型为标准型
例35：
求一个正交变换将二次型
化成标准形:
二次型矩阵对应的矩阵为
，把二次型化为标准型就相当于矩阵A对角化.
利用Matlab把矩阵A对角化：
A=[110-1;
11-10;
0-111;
-1011];
780/1351881/2158-1/2-1/2
881/2158-780/1351-1/21/2
780/1351881/21581/21/2
881/2158-780/13511/2-1/2
1000
0100
0030
000-1
则存在正交变换Y=PX,使得
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