届广东省高考模拟考试数学理科试题二及答案.docx
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届广东省高考模拟考试数学理科试题二及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
广东省理科数学模拟试卷
（二）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，集合，集合，若，则（）
A．B．C．D．
2.若复数，，则下列结论错误的是（）
A．是实数B．是纯虚数C．D．
3.已知，，，若，则（）
A．B．C．D．
4.如图，是以正方形的边为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）
A．B．C.D．
5.已知等比数列的首项为，公比，且，则（）
A．B．C.D．
6.已知双曲线的一个焦点坐标为，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）
A．B．C.D．或
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．C.D．
8.设，满足约束条件则的取值范围是（）
A．B．C.D．
9.在印度有一个古老的传说：
舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：
“陛下，请您在这张棋盘的第个小格里，赏给我粒麦子，在第个小格里给粒，第小格给粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的格的麦粒，都赏给您的仆人吧！
”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：
就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？
下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）
A．B．C.D．
10.已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（）
A．B．C.D．
11.已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角的余弦值为，则该四面体外接球的体积为（）
A．B．C.D．
12.已知函数，则下面对函数的描述正确的是（）
A．，B．，
C.，D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是．
14.已知，，展开式的常数项为，则的最小值为．
15.已知函数，当时，关于的不等式的解集为．
16.设过抛物线上任意一点（异于原点）的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的另一个交点为，则．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.
（1）若点，是线段的两个三等分点，，，求的值；
（2）若，求的面积.
18.如图：
在五面体中，四边形是正方形，，，
.
（1）证明：
平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.经销商第一年购买某工厂商品的单价为（单位：
元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：
万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：
上一年度销售额/万元
商品单价/元
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.
已知某经销商下一年购买该商品的单价为（单位：
元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率.
（1）求的平均估计值.
（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：
经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动.每次获奖的金额和对应的概率为
获奖金额/元
5000
10000
概率
记（单位：
元）表示某经销商参加这次活动获得的资金，求的分布及数学期望.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点也为抛物线的焦点.
（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；
（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值.
21.已知为函数的导函数，.
（1）求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程；
（2）若射线与的交点为，与圆的交点为，，且点恰好为线段的中点，求的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知.
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）当，时，的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
CDADB6-10:
ABBCC11、12：
BB
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解：
（1）由题意得，是线段的两个三等分点，
设，则，，又，，
在中，由余弦定理得，
解得（负值舍去），则.
在中，.
（2）在中，由正弦定理，
得.
又，所以，则为锐角，所以.
则，
所以的面积.
18.
（1）证明：
因为，，，平面，且，
所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）解：
由已知，所以平面.
又平面平面，故.
所以四边形为等腰梯形.
又，所以，易得，令，
如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由
所以取，则，，得，
.
设直线与平面所成的角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：
（1）由题可知：
商品单价/元
频率
0.2
0.3
0.24
0.12
0.1
0.04
的平均估计值为：
.
（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为.
的取值为，，，.
，
，
，
.
所以的分布列为
5000
10000
15000
20000
（元）.
20.解：
因为抛物线的焦点为，所以，故.
所以椭圆.
（1）设，，则
两式相减得，
又的中点为，所以，.
所以.
显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.
（2）椭圆右焦点.
当直线的斜率不存在或者为时，.
当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
设，联立方程得
消去并化简得，
因为，
所以，.
所以，
同理可得.
所以为定值.
21.解：
（1）由，得.
因为，所以，解得.
所以，，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增.
（2）令，根据题意，当时，恒成立.
.
①当，时，恒成立，
所以在上是增函数，且，所以不符合题意；
②当，时，恒成立，
所以在上是增函数，且，所以不符合题意；
③当时，因为，所有恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，
即，解得，故.
综上，的取值范围是.
22.解：
（1）在直线的参数方程中消去可得，，
将，代入以上方程中，
所以，直线的极坐标方程为.
同理，圆的极坐标方程为.
（2）在极坐标系中，由已知可设，，.
联立可得，
所以.
因为点恰好为的中点，所以，即.
把代入，得，
所以.
23.解：
（1）当，时，.
不等式等价于
或
或
解得或，即.
所以不等式的解集是.
（2）由题设可得，
所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.
所以三角形的面积为.
由题设知，，解得.
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