准数学教师教学概念的起始状态分析Word文档格式.docx
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教學信念、教學概念、專業發展
1、
研究背景和研究目的
數學教師專業化的內涵與過程是近二十年來在數學教育中廣受重視的議題（Noddings,1992;
Shulman,1987），在國內數學師資培育管道多元化後，專家學者與社會大眾對如何促進教師專業化有更殷切的期盼。
因此，如何協助準教師的教學專業成長是一個亟待回應的問題。
但是，在國內，大部分的準中學數學老師都是學習數學的高成就者，他們對於如何去學好數學及怎麼教數學，已有一固定的觀念。
這些教學觀念可能來自於學習過程中的教師或一些非形式化的教學知識（金鈐和林福來，1998），而培育課程的教學主張可能與準教師的這些觀念有相當的差距。
因此，如何協助準教師將這些觀念和知識與培育課程的內容連結是一個重要的師資培育問題。
林福來等（1997;
1998）研究發現準數學教師出現既有教學概念與培育的教學概念成對立並存的現象；
而且培育課程所主張的教學概念也常常出現在準教師評析的話語中，這雖顯示出他們對培育課程的教學反思，可惜在實際教學場域中實踐這些學得數學概念的情形卻很有限。
這可能牽涉到許多影響的因素，例如教學進度與考試的外在壓力或數學表徵知識的不足等。
而利用批判性反思使準教師感受認知衝突繼而察覺到自己教學的思維與實作間的差距，或是教學思維的試教輔導模式，都是拉近這些差距的有效作法（鄭英豪，2000）。
專業知識和信念是伴隨著數學教師概念發展的兩個主要成分（Brown&
Borko,1992;
Lappan&
Theule-Lubienski,1994），因此教師教學認同和教學信念的內涵都是重要的研究議題。
許多研究者主張教師信念應是研究教師專業化的重心（例如Kagan,1992；
Pajares,1992），相關的文獻亦顯示數學教師的教學行為與教學方法主要是受到其對數學、教學和學習的信念的影響（例如Ernest,1989;
Lerman,1990）。
因此，想從教師的角度瞭解數學教學，我們必須先掌握他（她）們是如何思考數學教學及其背後的教學信念（Nespor,1987）。
本研究的目的在於瞭解準數學教師在學習「如何教數學」的相關師資培育課程的過程中，即大三到大四的兩年內，關於數學本質、教數學和學習數學等方面教學概念的內涵及其轉變的歷程。
也就是說，我們想瞭解他們從一開始接觸學習教數學的起始狀態，內外在的影響因素（例如師資培育課程、教師教學案例、及自身概念的轉化等）及其變與不變的原因和歷程。
我們將嘗試回答：
有哪些因素能促使教學概念的轉變？
又是什麼力量支撐這些概念的變與不變？
要如何設計數學師資培育的課程來引動某些教學概念的轉變？
因此，我們想數學教學概念階段性狀態的轉化中，檢視培育課程對準教師數學教學概念的影響和成效。
但受限於篇幅，本文僅報導準教師在數學教學概念向度上的起始狀態，並分析可能伴隨的教學相關信念。
2、文獻探討
許多研究結果（Lerman,1999;
Ruthven,1998;
Sullivan,1999）均顯示，教學不只是單純知識的複誦或演示，而是一種以知識為基礎、有目標、有特定意圖的智力行動，且必須依欲教單元、學習者、學習環境、學習脈絡的文化而調整的行動。
也就是說，教學是一種複雜的認知活動，它需要教師課前細心的規劃、現場的立即決策和課後的省思。
Koehler和Grouws（1992）指出教師的教學行為主要是受教師個人的知識、態度和信念以及學生的特質和行為的影響。
教師應是一位主動構思教學的主體，其教學思維和思維的內涵直接引導著課堂上的教學行動。
換句話說，個別知識的結構和智力的表徵在感知、思維和行為扮演重要的角色（Putnam,Lampert&
Peterson,1990）。
因此，想瞭解數學教師的專業發展首先需要掌握他們的教學概念的內涵。
Shulman（1988）認為有七種教師知識，例如學生的知識和數學教學知識，當數學教師對這些知識內涵進行思維，就會反映出他（她）們對於數學教學的認知，這樣所形成的一個關於數學教學的知識系統就是我們所稱的「數學教學概念」。
例如認知衝突和診斷教學的概念（李源順，1999;
鄭英豪，2000）。
一般相信知識和信念是無法分割的（Thompson,1992），因此，一位數學教師對於教學應有知識（例如數學的知識、數學表徵的知識、關於學生學習的知識、或教師決策的知識等）的認知，在經歷一些學習或教學的活動後，會對既有的和新進的知識再做認同、調整、和評估，以修正或轉化已有的教學概念和教學信念。
Brown&
Borko（1992）認為教學知識和教學思維是教學專業的表徵，因此可以透過教師教學概念的轉化來探究教師的專業發展。
Perry（1970）透過四個主要的發展階層（對偶觀、多元觀、相對觀、和承諾）呈現個體經驗和認知世界的互動成長過程。
這些不同階層的特質可用以描述個體建構與發展自我世界觀的階段性演變過程。
Fuller和Brown（1975）將準教師的教學成長依其所關心的對象分為教學前的關心，關心的不是如何教而是如何成為一位學生；
關心自我，關心個人成為教師的生存問題；
關心任務，關心教學情境、時間壓力、沒有彈性、學生太多等非關教學的雜務；
關心學生，關心學生的社會性與情感需求、公平性、課程與教學對班上個別學生的適切性等。
Cooney（1998）以民族誌研究法觀察四位準數學教師的教學觀，依據準教師對於權威的取向，區分為獨立者（isolationist）、原始理想者（naiveidealist）、原始連結者（naï
veconnectionist）和反思連結者（reflectiveconnectionist）等四個類型，作為反映一個教師如何調整教學方法以及對數學與教學的反思導向。
另外，金鈐和林福來（1998）透過社會表徵和社會認同，詮釋準數學教師在學習教學之初教學觀念的內涵，發現他們有三種孤立的學前數學教學觀。
持教室氣氛觀的準教師認為應著重師生間的互動並營造良好的學習氣氛；
持學習觀的準教師從學習者觀點思考教學，強調學生的相互討論和獨立思考並排除學生的學生困難；
持教導觀的準教師著重教師的表達和傳授，帶領學生學習。
1998）在評估數學師資培育課程的成效性時，發現準教師認同培育課程強調的教學概念，但在實際教學場域中實踐卻很有限。
鄭英豪（2000）認為教學概念未落實的原因，可能是脈絡因素、準教師既有的教學概念強過所學的教學概念、或是數學知識和教學知識的不足等。
因此，他以「概念啟蒙例」作為準教師學習教學的內涵，以其既有的自發性教學概念為基礎，另在教學實作中介入批判和反思的輔導，提出一個教學概念學習的模式，如下圖所示：
綜合來說，瞭解準教師的數學教學概念內涵，將有助於瞭解他們學習如何教和學數學的過程、數學教學的態度和認知、教學信念的形成、和教師專業發展的過程等相關議題。
尤其是，研發促進教學概念起始狀態改變的策略，應更具教師教育上的價值。
Brown等人（1990）建議探究數學教師教學概念宜採用人性觀點（humanisticperspective），相信概念是主觀且私密的個人認知，需透過溝通來瞭解。
因此，他們建議使用定性的研究方法，以小樣本的個案研究，並透過晤談和教室教學觀察，來調查數學教師的教學概念。
3、研究方法
我們採用問卷調查法和選樣晤談法，調查準數學教師教學概念的起始狀態。
先依據所選的較大樣本描述準教師共有的教學概念結構，再輔以個案調查做較深入的分析。
我們一共設計兩份問卷。
其中的一份是調查準教師在學習數學教學之前的教學觀念（即問卷
（一），請見金鈐和林福來，1998），有數學（第1～6題）、學習（第7～12題）、教學（第13～19題）、情意（第20～27題）和社會文化（第28～33題）等五個成分，共33道文字敘述題。
例如其中的「教國中要瞭解所要教的單元知識」敘述，是屬於數學成分，而「教國中數學要能有系統地安排教材內容」則屬於教學成分。
填答者可依照個人同意程度回應，從「非常同意」到「非常不同意」分5個等級。
依據準教師的問卷回應，我們初步瞭解準教師心中對數學教學整體所抱持的觀念，並且找出其中核心且共通的概念，同時作為個案研究取樣的基礎。
為了檢視問卷
（一）分析結果的合理性和對個案教師教學觀念的詮釋性，以提高研究的可信程度，我們設計了另一份問卷「教學設計之重要性排序問卷」（即問卷
（二），請見金鈐，2001）。
問卷中有14個關於教學設計的選項，例如「有用的數學知識」和「想學數學」，要求準教師依照它對設計數學教學的重要程度從1（最重要）至14（最不重要）給予排序。
我們認為每位填答者的思維背後對於數學教學應該會有某些齊一的想法，因此將問卷
（一）答題的同意程度分別給予1（非常不同意）到5（非常同意）的刻度，以因子分析的主成分分析方法，透過SPSS（2000）統計應用軟體，來表徵他（她）們的教學認同空間。
解析出來的因子即指向某些較明顯且具代表性的共通教學概念，而整體的因子結構則可用來詮釋準教師共有的起始教學概念空間。
至於問卷
（二）我們依照各選項所得到的數字作算術平均數分析，所得的算術平均數越小，代表其影響教學設計的重要程度越大，如此以瞭解全體準教師關於教學設計之重要性排序。
調查的對象是臺灣師範大學數學系三年丙班選修「數學教材與教法」的同學。
他們大一時修過一些基礎教育科目，例如教育心理學和班級經營等，二年級時亦修習過「數學學習」。
因此我們可以說他們尚未修讀與教數學相關的課程，例如數學教學與評量和教學實習等。
所以，我們將他們在問卷中的回應視為學習數學教學之前的起始概念。
為了更深入描述這些準教師的數學教學概念的內涵，我們在因子平面上篩選了三位具代表性的個案進行個案研究和追蹤調查。
個案是根據母群體的因子結構及其特徵，透過數個不同向度所投射的因子平面，選取具有代表性的樣本，再考量個案的意願、配合程度及空堂時間後取得。
對於這三個個案，針對數個不同在職數學教師（甲、乙、丙）的教學單元活動，例如數學歸納法和圓的方程式，定期地進行晤談。
其目的在於瞭解準數學教師教學概念背後的思維內涵並檢視其穩定性。
同時，在每個單元評析之前均填答一份教學設計重要性的排序問卷，以提升詮釋的可信程度。
4、結果
（一）教學概念因子和因子平面的取得
從24位準教師對問卷
（一）的回應裡，我們得到六個較凸顯且共通的教學認同因子。
它們的詮釋力達77.44％，我們依據與每個因子相關的主要命題敘述，找出其中的核心內涵藉以詮釋準教師的教學概念。
例如，在第一因子中因子負載（factorloading）大於0.82的共有6題，我們以這6題描述第一因子為「教數學要先瞭解學生的背景與需求」。
接著，由此六個因子形成三個主要的因子平面，用以表徵24位準教師的教學認同空間。
例如，以第一因子為坐標平面上的x軸，第二因子為y軸，展成第一因子平面。
之後，從這三個因子平面的不同向度中，篩選出3個（ST1、ST2和ST3）樣本作為進一步的個案調查，請參見附錄一。
三個準教師個案在這三個平面上的位置，可透過個人的因子分數標示出來。
以下我們將依據這些共通的表徵及個案訪談的資料，以教學成份為例分析準數學教師教學概念的起始狀態。
（2）六個教學概念的內涵
我們依照六個因子詮釋能力的程度，依序闡釋其表徵的教學概念如下：
1.教數學要先瞭解學生的背景與需求
從提倡建構主義以降，學生被視為整個學習活動的主角，因此在教數學時，瞭解學生已具有的先備知識、對數學的喜惡、學習數學的動機和學習障礙等，是準教師在思考數學教學較優先考量的因素。
例如，在討論教學活動設計時，ST1說「如果一開始就拋給他們（學生）不熟悉的東西，對某些人來講可能會有接受性障礙」。
所以，他認為「從已知的東西往上建築，吸收的狀況可能會比較好」。
2.教師要熟知整體教材的內容，並善用合適的教學方法
教師應能有系統地編排教材內容，依照學生的背景需求和程度，採用合適的教學方法是準教師較關切的教學因素。
例如ST1曾表示「哪一種比較容易上手我就使用那一種方式，就是比較容易切入的東西，譬如教數學歸納法某個例子很容易上手，就用它來引發教學」。
3.教師要有耐心地鼓勵學生發問和激發學生的思考
教師在教數學時常急躁地要求學生快速地算出答案，若能有效控制自我的情緒，有耐心地引導學生，讓他們發問並且激盪他們的想法。
ST3就常站在學生立場來思考教學設計，他說「我覺得這個例子可以引發學生的思考，若學生能動手做和發問討論，就是一種啟發。
學生自己會想到東西，而不是老師給路徑讓他去走，思路是他自己走出來的」。
4.教師應瞭解數學是抽象且困難的科目，因此教學時要營造活潑的氣氛，以引發學習興趣
若是一味地灌輸學生學習形式和邏輯的數學知識，常會適得其反，倒不如設計吸引學生興趣的教學活動，讓學生在愉悅的環境中瞭解感受學習數學的樂趣。
ST3在觀看丙教師教學錄影帶時就曾表示認同「需要一些活動設計來引出概念」；
但是，ST2曾多次表達相反的觀點，他曾質疑這位教師教學活動太過冗長和其實質上的意義為何。
由於他認為學生學習的情意部分是比較無法掌握的，因此教學設計必須要以數學內涵和形式為主要的指導方針。
5.教數學要先瞭解數學知識與其他學科和生活上的連結
許多其他科學的知識也都與數學知識有密切的關係，因此教學時注意到數學知識在生活中的應用，才不至於使它們流於形式。
在晤談過程中，ST3曾提及數學生活化是他的教學目標，並且認同荷蘭現實數學生活化的教育觀念。
他說「他們（指現實主義）把數學概念變成生活化的東西，學生學數學，數學應該是要和他們的生命配合在一起的，可是現在的數學給我的感覺卻好像是數學家自己欣賞的藝術品」。
6.教師要瞭解教學單元的數學知識
教師在教學前必須要對所教內容作透徹的瞭解，包括它們在數學體系中的地位、它們的來龍去脈、它們的學習目的和它們的應用等。
例如ST1就曾提到數學科目的連貫性是其特質，所以老師要瞭解這些概念內在前後的連結。
ST2亦表示教師對數學知識通盤瞭解的重要，在教每個單元時，要「把整個數學連貫起來，讓它有前後的連貫性」。
綜合來說，從因子分析的統計意義，可以瞭解這六個因子並非獨立的，而是彼此相關的，能凸顯某些層面的教學觀。
例如第一因子和第三因子說明準教師的教學概念著重於從學生的觀點來思考教學，強調教學要考量學生的背景和需求，進而培養學生獨立思考習慣；
第二和六因子表示準教師教學時會思索是否具備了足夠的數學知識和教學能力，能否選用適當的教學方法清楚地將數學知識傳達給學生；
第四和五因子則說明準教師希望藉由與其他學科或生活連結的數學知識，營造教室的活潑的學習風氣以提高學生學習的情緒。
分析問卷
（二）的結果顯示四個最重要的選項是「感覺歡喜」、「感覺快樂」、「想學數學」和「有用的數學知識」，這也反映了準教師認為要由提高學習情緒的觀點思考教學活動，營造讓學生想學習數學的教室氣氛。
接著的三個選項是「智慧的成長」、「數學內涵」和「數學形式」，這也表示準教師在設計教學時，想將數學知識的內涵與形式同時傳達給學生。
（三）三個表徵教學概念的投射平面
1.第一教學概念表徵平面
由三位準教師在第一因子向度的位置可知，他們均認為教師無法顧及每位學生的需求，為了使教學順利進行，教師應主導整個教學活動，以講述法為佳。
但仔細觀察這三個個案，不認同第一因子有程度上的差異，例如ST2即對乙老師「圓的方程式」的教學設計以學生為主及使用對話式教學並且有耐心地等待學生回應的教學方式，表達不認同。
他說「我會比較喜歡站在主導的立場，然後我會在前面現實跟式子轉換那邊節省時間」。
ST1則稍微考量到學生的需求，在談論乙教師「數學歸納法」的教學活動時提到「從已知有的東西（數學知識）在往上建築，吸收的狀況可能比較好」。
ST3則在學生的立場，表示「如果老師可以瞭解學生學習障礙的話，可能對他們後面學習會有幫助」，同時在看乙老師「圓的方程式」教學錄影帶時，他也表達「比較喜歡乙老師的教學方法，以學生為主的對話式教學」，可是他又疑慮教學進度的掌握和數學知識概念的傳達，因此在第一因子的負向位置上。
至於第二因子向度上的位置，ST1、ST2和ST3三個個案均認同「教師要對教材內容非常熟悉，並且能善用合適的教學方法，清楚地將數學知識傳達給學生」。
例如ST1就提到在設計教學活動時，他最重視的是一開始的引導，他說「學生在學的時候，應該就懂得很多這些東西，怎麼把這些東西，先在他們腦袋裡建立一些初淺的觀念，然後再介紹比較深入的概念」。
ST2也表達相同的意見，他表示「假設我在教書，我想我會先給學生一個輪廓，就是說我將要作的是什麼？
有了輪廓後，在一個一個抽絲剝繭來教」。
綜合來說，ST1認為教師要熟知教材並掌控整個教學活動，傾向教師主導的數學教學活動設計。
ST2則表示教師在教學前，應該仔細思索如何將教材系統化教授給學生，類似將數學知識系統地傳達給學生的教學想法。
ST3則希望用活動帶動學生並滿足學生的學習需求，卻擔心無法掌控教學秩序，淪為無效的教學活動。
他偏向以學生為中心的觀點設計教學活動。
2.第二教學概念表徵平面
雖然ST1和ST2在第三因子的正向上，代表他們認同「教師要多鼓勵學生發問和激發他們的思考」；
而ST3在負向上，依照統計結果他理應認同直接教學反對學生發問。
但是面談資料卻呈現截然不同的結果。
在談論ST1數學歸納法的模擬教學設計時，他表示排斥以具體操作物來引發學生思考，他說「因為有可能會造成秩序的混亂，而且成效難以彰顯」。
並且，他設計提出問題來複習舊有的概念，但是如果半分鐘內沒有學生反應的話，他會「自己直接講出答案，會比較快且節省時間，和他們耗時間，價值不高。
直接講出來讓他們記住會比較容易」。
同時，ST2表達教師無法顧全每位學生對數學歸納法的瞭解，因此他說「有些該背的就背（指數學歸納法的形式），這樣會比解說它讓學生理解來得好」。
而ST3在設計廣義角的模擬教學活動時，安排讓學生猜測三角函數的數值，他說「要先讓他們猜，因為用猜的話，如果有些人沒有想到內差法，會猜不一樣的數值。
主要是要傳達用內差法來估算」。
同時，他覺得讓學生討論對於學習是有幫助的，並且教師應放下身段給學生感到親和力。
由於這些面談資料在談論教學的不同時間點上，都反映相同的說法，較問卷填答的單一時間點所得的資料，應該更足以採信，因此我們用面談資料來修正量化資料的初步分析結果。
這也反映了個案研究中質化資料的價值。
ST1極不認同第四因子，他認為不論學生喜歡或感覺愉快與否，教師都應該逼迫學生去思考學習。
在觀看甲老師歸納法單元教學時，ST1表達不認同甲老師讓學生透過師生對話慢慢體會數學概念的內涵而不理會教學進度的問題。
他說「就是不能不管進度，還是需要有一定的時間逼他們去瞭解，要逼他們去思考有什麼東西這樣」。
訪談者追問「所以要有一些制約？
」，ST1說「要不然這樣提，他們也不知道深層是什麼東西，我很少遇到那種主動會去瞭解的學生，幾乎沒有」。
ST2和ST3均位於正向上，代表他們認同「數學知識是抽象且困難的，為了引起學習興趣，要營造活潑氣氛的教學」。
但是氣氛營造的方式，兩人有很大的差異，ST2堅持數學的推理和形式，應該藉由特別的例題，吸引學生的注意。
他質疑丙老師所設計的教學活動，他表示「我不是不認同，我只是覺得這個老師他這樣設計，會讓學生認為沒有需要，可能台下學生有一半的人會覺得沒有必要做這一步。
…..但站在現實一點的角度來看的話，如果學生不肯做，那就配合學生，他要那樣做，那就是給他一個用充實感討論做很多題目這樣，演算給他看」。
ST3則認為可以設計操作性的教學活動或在生活中找實例來說明，讓學生的生活經驗能親近抽象的數學知識。
整體而言，ST1認為不管學生是否瞭解數學概念，教師都要把數學形式傳輸給學生，這是傳統或直接教學的想法；
ST2強調教師教學時要善用特殊的例題來吸引學生的目光，而操作性的活動常常會適得其反，可知他偏向以內容焦點為主；
ST3認同數學知識是抽象的，因此透過操作性的活動較能引起學生的興趣和促進瞭解，是近建構觀的想法。
3.第三教學概念表徵平面
ST1和ST3均認同第五因子，認為教學要知道數學和其他學科或生活上的連結。
ST3在晤談中有三次提到由生活化知識的引入作為教學的目標，「我想到最多的是生活化的東西，這也是我希望我以後教學能夠做到這一目標」，「學生學習數學，數學要跟他們的生活配合在一起」，同時在反思「圓的方程式」重要排序問卷時，提到「我覺得現實的地方我也會去注重，例如現實圓和圓形的互換」。
而ST1則表達較折衷的看法，在不失去整體數學知識邏輯推理的條件下，偶爾會利用一些和生活上的連結，將這種連結作為教學活動的啟蒙例。
反觀ST2則位於第五因子的負向，他認為讓學生瞭解到數學知識的主體性和數學知識間的相互連結，比強調它們的應用性來得重要。
在談論甲教師的教學概念時，他表示「不強調數學知識的有用，因為若過於強調數學的有用面向的話，很多都沒有辦法自圓其說」。
ST1和ST2均在第六因子的正向上，表示認同教師要瞭解教學的數學知識，並且在概念講解後，多準備題目讓學生練習。
ST3則認為教師設計教學時，應著重學生概念發展多於反覆的練習。
在討論甲老師的教學時，ST1表達認同「連貫性是數學科目的特質、特徵和特色，所以要重視數學概念前後的連結」。
ST2也有類似的說法，「我認同甲老師的觀念，就是他會把每一章節作連貫，譬如說他提到他在講三維時，會先講二維、一維的，就是把整個數學連貫起來讓它有前後的連貫性」。
綜合來說，ST1表示講解數學知識在各方面的應用有助於學生瞭解概念，在概念形成後，要充分練習以熟練計算。
ST2認為教數學要讓學生瞭解各單元在數學上的地位，浪費太多時間在啟蒙例上，常常無法看出成效。
ST3感覺到為了幫助學生發展數學概念，應該提供多方面的具象資料讓學生經驗。
（4）教學概念空間中的兩種對立狀態
當教師思考“要用什麼方法教數學？
”或“要安排什麼樣子的教學活動？
”時所秉持的觀念、看法、或喜好，即可反映出個人對數學教學的教學觀（金鈐，2000）。
由於，我們相信數學教學概念為一整體且完整的思維，它是不可切割的，只是在不同的條件和情境下反映在不同的面向而已，而仍為一整體不可分割之現象。
因此，我們進一步整理出個別教師的整體教學概念，以區分他們數學概念的起始狀態。
依據前部分對三位準教師在三個因子平面上位置的詮釋，我們將他們學前教學概念的狀態二分為兩種取向：
傳輸觀與發展觀。
依此延展出一條連續譜，用以描述三位準教師在這連續譜上的位置，藉以凸顯三位準教師起始的教學概念，並且作為接續研究準教師教學概念狀態改變的一種表徵（或量尺）。
若教師依據數學內容的邏輯結構設計教材，經由講述和反覆做練習來進行教學，則為傳輸既定數學知識的數學教學觀念；
若認為教學應引導學生自己去建構數學知識，則傾向發展學生數學知識的教學觀念。
ST1認為每堂數學課都應觸及數學知識的本質，在問卷
（二）中他將「數學內涵」和「數學形式」放置前三個選項中，學生的學習情意部分例
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