微积分读书报告文档格式.docx
《微积分读书报告文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分读书报告文档格式.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。
现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
这里我们先介绍一下算子的概念。
算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理
论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
二、泛函分析的空间理论知识
1、度量空间
我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。
数学分析中定义r中点列xn的极限是x时，我们是用|xn?
x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn?
x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集r中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n?
?
而趋于0，即
limd（xn,x）?
0。
n?
于是人们就想，在一般的点集x中如果也有“距离”，那么在点集x中也可借这一距离来定义极限，而究竟什么是距离呢？
1.1度量空间的定义
定义1.1设x为一非空集合。
若存在二元函数d:
x?
r，使得?
x,y,z?
x，均满足以下三个条件：
（1）d（x,y）?
0,且d（x,y）?
0?
y（非负性）
（2）d（x,y）?
d（y,x）（对称性）
（3）d（x,z）?
d（x,y）?
d（y,z）（三角不等式），
则称d为x上的一个距离函数，（x,d）为度量空间或距离空间，d（x,y）为x,y两点间的距离。
注意：
若（x,d）为度量空间，y是x的一个非空子集，则（y,d）也是一个度量空间，称为（x,d）的子空间。
我们可以验证：
欧式空间rn，离散度量空间，连续函数空间c[a,b]，有界数列空间l?
，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间lp[a,b]（p?
1），均满足距离空间的性质。
appendix：
p次幂可积函数空间lp[a,b]（p?
1）介绍
lp[a,b]?
{f（t）||f（t）|p在[a,b]上l可积}，在lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数。
lp[a,b]有下列重要性质：
（1）对线性运算是封闭的。
即若f,g?
lp[a,b]，则
?
f?
lp[a,b],f?
g?
lp[a,b]，其中?
是常数。
（2）lp[a,b]?
l[a,b]（p?
1）。
设f?
lp[a,b]，令a?
e（|f|?
1），b?
1）,e?
[a,b]，则
|f|dm?
|f|dmaabb
|f|pdm?
（b?
a）a
a）?
abp
故f?
l（a,b）。
（3）?
f,g?
lp[a,b]，定义
1
p?
b?
dp（f,g）?
|f（t）?
g（t）|dm?
a?
则dp是一个距离函数。
称（lp[a,b],dp）为p次幂可积函数空间，简记为plp[a,b]。
1.2度量空间有重要的定理
定理1对度量空间（x,d）有
（1）任意个开集的并集是开集;
有限个开集的交集是开集;
（2）任意个闭集的交集是闭集;
有限个闭集的并集是闭集;
（3）x与?
既是开集又是闭集.
定理2设（x,d）是度量空间,x0?
x,e?
x,则x0是e的聚点的充要条件是存在e中点列?
xn?
（xn?
x0）,使d（xn,x0）?
0（n?
）.
定理3设（x,d）是度量空间,e?
x,x?
e,则下面的三个陈述是等价的:
（1）x?
e;
（2）x的任一邻域中都有e的点;
（3）有点列xn?
e,使d（xn,x0）?
定理4设（x,d）是度量空间,e是x的非空子集,则e为闭集的充要条件是e?
e.
定理5闭集套定理：
设x是完备的，并且非空闭集套f1?
f2?
f3?
满足
diamfn?
sup
x,y?
fnd（x,y）?
0，则存在唯一的点y?
nfn.
称x的一个子集e是疏朗的（也称无处稠的），如果e的闭包e不
含任何开集。
易见一个开集o在x中稠当且仅当o的补集oc是疏
朗的；
一个闭集f是疏朗的当且仅当fc是周密的开集。
度量空间
的一个子集称为第一纲的，如果它能表为可列个疏朗集之并；
否则称为第二纲的。
完备的度量空间享有一个深刻的结构定理－baire纲定理。
定理6baire纲定理：
完备的度量空间是第二纲的。
在微积分的发展历程中，一个重要问题是讨论函数间断点集的
特征。
读者容易验证定义在闭区间[0,1]上的函数
r（x）?
{0x是无理数;
1x?
0.
y?
x在有理点是间断的，在无理点是连续的（验证当0?
1,limr（y）?
0.）
一个自然的问题是：
是否在闭区间上存在一个函数h使得它
在有理点连续，无理点间断。
注意到[0,1]中的无理数集是第二
纲的，下面的命题表明这样的函数是不存在的。
命题：
设x是完备的度量空间，f是[0,1]上的实函数，
cf?
{x:
f在x点连续｝，若cf在x中稠密，那么df是第?
f在x点间断｝
一纲。
定理7banach不动点定理：
完备度量空间x上的压缩映射a有唯一的不动点,即存在唯一的x?
x满足ax?
x.
2、映射的连续性与一致连续
定义2.1设x，y是度量空间，f是x到y的一个映射。
x0?
x如果对任何?
0，存在?
0当?
（x,x0）?
时，有?
（fx,fx0）?
则称f在x0连续。
又若f在x中每一点都有连续，则称f是x上的连续映射。
若对任何?
（?
）?
0，只要x1,x2?
x，且d（x1,x2）?
，就有?
（f（x1）,f（x2））?
成立，则称f在x上一致连续。
定理2.1设（x,d），（y,?
）是度量空间，f:
y,x0?
x,则下列各命题等价。
（1）f在x0连续；
（2）对于fx0的任一邻域b（tx0,?
），都存在x0的一个邻域b（x0,?
）使得
f?
b（x0,?
b（tx0,?
）；
（3）对于x中的任意点列{xn}，若xn?
x0（n?
），则f（xn）?
f（x0）（n?
）。
定理2.2设（x,d），（y,?
y。
则f是连续映射的充分必要条件是，对y中的任一开集g，其原象f?
1（g）?
xx?
x,f（x）?
g}是开集。
定义2.2篇二：
微积分实验报告2
微积分ii实验报告
专业班级姓名学号实验日期成绩等级教师评阅日期
[问题描述]
为迎接香港回归，柯受良于1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。
东岸跑道长265米，柯驾车从跑到东端启动到跑道终端时速度为150km/h，他随即以仰角5°
冲出，飞越跨度为57米，安全落到西岸木桥上。
问：
（1）柯跨越黄河用了多长时间？
（2）若起飞点高出河面10米，柯驾车飞行的最高点离河面多少米？
（3）西岸木桥面与起飞点高度差是多少米？
要求：
①创建符号运方程；
②解水平方向符号方程；
③先求铅垂方向符号极值，然后再转换成数值极值。
[模型]
150km/h=125/3（m/s）
由题意，运动方向可分为水平与铅垂两个方向，即创建参数方程：
x=v0*cos（5/360*pi）*t=150*cos（5/360*pi）*t
y1=v0*sin（5/360*pi）*t1-1/2*g*t1^2=150*sin（5/360*pi）*t1-5*t1^2
y2=h-1/2*g*t^2-h=h-5*t^2-h
其中t=t1+t2。
h为汽车飞过的最高点距水面的距离。
（1）有跨度57米得，x=57,由参数方程可得方程，
57=125/3*cos（5/360*pi）*t
（2）当车子铅垂方向速度为零时车子飞行为最高点，即
v0*sin（5/360*pi）-g*t1=125/3*sin（5/360*pi）-10*t1=0
h=125/3*sin（5/360*pi）*t1-5*t1^2+h
（3）由时间，
t=t1+t2。
hc=h-1/2*g*t2^2-h
[求解方法]
&
gt;
&
symst0t
t01=solve（125/3*t*cos（5/360*pi）=57）
t01=
171/125/cos（1/72*pi）
t02=eval（t01）
t02=
1.3693
symst1
t10=solve（125/3*sin（5/360*pi）-10*t1=0）
t10=
25/6*sin（1/72*pi）
t12=eval（t10）
t12=
0.1817
h=10;
h0=125/3*sin（5/360*pi）*t10-5*t10^2+h
h0=
12789339627907325/1688849860263936*sin（1/72*pi）-3125/36*sin（1/72*pi）^2+10
h1=eval（h0）
h1=
10.1652
t2=t01-t10
t2=
171/125/cos（1/72*pi）-25/6*sin（1/72*pi）
hc1=h0-1/2*10*t2^2-h
hc1=
12789339627907325/1688849860263936*sin（1/72*pi）-3125/36*sin（1/72*pi）^2-5*（171/125/cos（1/72*pi）-25/6*sin（1/72*pi））^2
hc2=eval（hc1）
hc2=
-6.8863
[结果]
（1）柯跨越黄河用了1.3693秒。
（2）若起飞点高出河面10米，柯驾车飞行的最高点离河面10.1652米。
（3）西岸木桥面与起飞点高度差是6.8863米。
[结果分析及结论]
西岸木桥应比东岸低6.8863米以上汽车才能飞过去。
篇三：
数学分析读书报告
数学读书报告
对数学分析六个基本定理的感想
课程名称数学文化学生姓名代广武学生学号2009303630____专业应用物理学所在院系理学院
我的专业是应用物理学，所以我对数学专业所学的数学分析具有浓厚兴趣，重点研究了数学分析的六大基本定理。
他们互推互证构成的循环让我十分惊奇。
大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。
它是在极限理论基础上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。
追溯历史，早在17世纪，newton和lebniz就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。
不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问题和矛盾。
后来，cauchy和weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。
他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。
再次附上这六个大名鼎鼎的定理，他们是数学分析的逻辑基础，个人认为要掌握他们难度还是不小的。
1.实数基本定理的陈述
实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。
为了方便起见，我们先叙述实数理论的8个基本定理。
定理1（确界原理）非空有上（下）界数集，必有上（下）确界。
定理2（单调有界原理）任何单调有界数列必有极限。
定理3（cantor区间套定理）若{[an,bn]}是一个区间套,则存在唯一一点?
，使得?
[an,bn],n?
1,2,?
。
定理4（heine-borel有限覆盖定理）设[a,b]是一个闭区间，?
为[a,b]上的一个开覆盖，则在?
中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。
定理5（weierstrass聚点原理）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
定理6（bolzano致密性定理）有界无穷数列必有收敛子列。
定理7（cauchy收敛准则）数列{an}收敛?
对任给的正数?
n，使得?
m,n?
n时，都有|am?
an|?
，总
我个人对区间套定理比较熟悉，而且我对这个定理也比较感兴趣。
一．什么是闭区间：
数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：
有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。
（开区间同理）
区间套最后可以确定实数轴上唯一的一点，这为研究密度无穷大的实数轴提供了一个很好的办法，而且用他可以证明确界原理，单调有界原理证明其他原理个人也比较习惯。
这里附上区间套定理证明其他原理的片段。
1.区间套定理证明单调有界原理证明：
设数列?
递增有上界.
取闭区间?
a1,b1?
，使a1不是数列?
的上界，b1是数列?
的上界.显然在闭区间?
内含有数列?
的无穷多项，而在?
外仅含有数列?
的有限项.
对分?
，取?
a2,b2?
，使其具有?
的性质.故在闭区间?
的有限项.以此方法，得区间列?
an,bn?
.
*
由区间套定理，?
是所有区间的唯一公共点.
显然，在?
的任何邻域内有数列?
的无穷多项，即?
＞0，?
n?
n，当n＞n时，有xn?
＜?
所以limxn?
定理得证.
[1]
2.区间套定理证明致密性定理
证明：
设?
yn?
为有界数列，即存在两个数a,b，使a?
b.等分区间?
a,b?
为两个区间，则至少有一个区间含有?
中的无穷个数.把这个区间记为?
，如果两个区间都含有无穷个yn，则任取其一作为?
.再等分区间?
为两半，记含有无穷个yn的区间为?
.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列?
个区间列显然适合下面两个条件：
（1）?
…
（2）bn?
an?
b?
a2
n
，这
0
于是由区间套定理，必存在唯一点?
使an?
bn?
，且?
ak,bk?
（k?
1,2,3…）.
每一?
中均含有?
的无穷个元素.
在?
中任取?
的一项，记为yn，即?
的第n1项.由于?
也含有无穷个yn，
则它必含有yn以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为yn，则n1＜n2.继续在每
1
2
一?
中都这样取出一个数yn，即得?
的一个子列?
yn
k
k
，其中n
＜n2＜…＜nk
＜…，且ak?
bk.令k?
，由于ak?
bk?
故yn?
.这就是定理所要的结果.
二有限覆盖定理1.有限覆盖定理
若开区间所组成的区间集e覆盖一个闭区间[a,b],则总可以从e中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a,b].个人对它的直观理解
无限多个开区间的并覆盖了一个闭区间
则从这无限个开区间中，一定能选取出有限个开区间的并就能覆盖这个闭区间。
如果把被覆盖的改成开区间，则命题不成立
比如：
（0,1/2）∪（0,1-（1/2）^2）∪（0,1-（1/2）^3）∪（0,1-（1/2）^4）∪......覆盖了（0,1）
但是上述任意有限个开区间都不能覆盖（0,1）
如果把无限多个开区间改成无限多个闭区间，命题也不成立
[1,2]∪[0,1/2]∪[0,1-（1/2）^2]∪[0,1-（1/2）^3]∪[0,1-（1/2）^4]∪......覆盖了[0,2]
但是上述任意有限个闭区间都不能覆盖[0,2]
从这个方面理解可以对此问题有一定深入的认识吧。
这里附上有限覆盖定理对其他部分定理的证明。
2.1有限覆盖定理证明确界定理
在这里我们只说明定理的上确界部分.
设不为空集的区间e?
r，?
e,有x?
m,任取一点x0?
e，假设e无上确界，那
么?
[x0,m]:
ⅰ）当x为e的上界时，必有更小的上界x1＜x,因而x存在一开邻域?
为e的上界，称其为第一类区间；
ⅱ）当x不是e的上界时，则有x2?
e使x2＞x,那么x存在一开邻域?
不是e的上界，称其为第二类区间.
xx
，其中每一点均
，其中每点均
当x取遍[x0,m
显然?
x
]上每一点找出一个邻域?
x
.
不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[x0,m]的一个开覆盖，
由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[x0,m].显然m所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间?
所以?
有公共点.
，x均为e的上界.而与?
相邻接的开区间?
有公共点，所以
，x均为e的上界.
依此类推，x0所在的开区间也是第一类区间，则x0为e的上界.又?
e，?
e为常数集.由此矛盾引出.得证.
同理，e有下确界.
2.2有限覆盖定理证明致密性定理
是一有界数列，现在证明?
有收敛子列.
（1）如果?
仅由有限个数组成，那么至少有一个数?
要重复无限多次，
升级会员 