微积分读书报告文档格式.docx
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这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。
现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
这里我们先介绍一下算子的概念。
算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理
论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析。
在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
二、泛函分析的空间理论知识
1、度量空间
我们在作物理、化学、生物等实验时,通过观察会得到很多值,但总是近似的,这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度,反映在数学上这是一个极限问题。
数学分析中定义r中点列xn的极限是x时,我们是用|xn?
x|来表示xn和x的接近程度,事实上,|xn?
x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离,那么实数集r中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n?
?
而趋于0,即
limd(xn,x)?
0。
n?
于是人们就想,在一般的点集x中如果也有“距离”,那么在点集x中也可借这一距离来定义极限,而究竟什么是距离呢?
1.1度量空间的定义
定义1.1设x为一非空集合。
若存在二元函数d:
x?
r,使得?
x,y,z?
x,均满足以下三个条件:
(1)d(x,y)?
0,且d(x,y)?
0?
y(非负性)
(2)d(x,y)?
d(y,x)(对称性)
(3)d(x,z)?
d(x,y)?
d(y,z)(三角不等式),
则称d为x上的一个距离函数,(x,d)为度量空间或距离空间,d(x,y)为x,y两点间的距离。
注意:
若(x,d)为度量空间,y是x的一个非空子集,则(y,d)也是一个度量空间,称为(x,d)的子空间。
我们可以验证:
欧式空间rn,离散度量空间,连续函数空间c[a,b],有界数列空间l?
,p次幂可和的数列空间lp,p次幂可积函数空间lp[a,b](p?
1),均满足距离空间的性质。
appendix:
p次幂可积函数空间lp[a,b](p?
1)介绍
lp[a,b]?
{f(t)||f(t)|p在[a,b]上l可积},在lp[a,b]中,我们把几乎处处相等的函数视为同一函数。
lp[a,b]有下列重要性质:
(1)对线性运算是封闭的。
即若f,g?
lp[a,b],则
?
f?
lp[a,b],f?
g?
lp[a,b],其中?
是常数。
(2)lp[a,b]?
l[a,b](p?
1)。
设f?
lp[a,b],令a?
e(|f|?
1),b?
1),e?
[a,b],则
|f|dm?
|f|dmaabb
|f|pdm?
(b?
a)a
a)?
abp
故f?
l(a,b)。
(3)?
f,g?
lp[a,b],定义
1
p?
b?
dp(f,g)?
|f(t)?
g(t)|dm?
a?
则dp是一个距离函数。
称(lp[a,b],dp)为p次幂可积函数空间,简记为plp[a,b]。
1.2度量空间有重要的定理
定理1对度量空间(x,d)有
(1)任意个开集的并集是开集;
有限个开集的交集是开集;
(2)任意个闭集的交集是闭集;
有限个闭集的并集是闭集;
(3)x与?
既是开集又是闭集.
定理2设(x,d)是度量空间,x0?
x,e?
x,则x0是e的聚点的充要条件是存在e中点列?
xn?
(xn?
x0),使d(xn,x0)?
0(n?
).
定理3设(x,d)是度量空间,e?
x,x?
e,则下面的三个陈述是等价的:
(1)x?
e;
(2)x的任一邻域中都有e的点;
(3)有点列xn?
e,使d(xn,x0)?
定理4设(x,d)是度量空间,e是x的非空子集,则e为闭集的充要条件是e?
e.
定理5闭集套定理:
设x是完备的,并且非空闭集套f1?
f2?
f3?
满足
diamfn?
sup
x,y?
fnd(x,y)?
0,则存在唯一的点y?
nfn.
称x的一个子集e是疏朗的(也称无处稠的),如果e的闭包e不
含任何开集。
易见一个开集o在x中稠当且仅当o的补集oc是疏
朗的;
一个闭集f是疏朗的当且仅当fc是周密的开集。
度量空间
的一个子集称为第一纲的,如果它能表为可列个疏朗集之并;
否则称为第二纲的。
完备的度量空间享有一个深刻的结构定理-baire纲定理。
定理6baire纲定理:
完备的度量空间是第二纲的。
在微积分的发展历程中,一个重要问题是讨论函数间断点集的
特征。
读者容易验证定义在闭区间[0,1]上的函数
r(x)?
{0x是无理数;
1x?
0.
y?
x在有理点是间断的,在无理点是连续的(验证当0?
1,limr(y)?
0.)
一个自然的问题是:
是否在闭区间上存在一个函数h使得它
在有理点连续,无理点间断。
注意到[0,1]中的无理数集是第二
纲的,下面的命题表明这样的函数是不存在的。
命题:
设x是完备的度量空间,f是[0,1]上的实函数,
cf?
{x:
f在x点连续},若cf在x中稠密,那么df是第?
f在x点间断}
一纲。
定理7banach不动点定理:
完备度量空间x上的压缩映射a有唯一的不动点,即存在唯一的x?
x满足ax?
x.
2、映射的连续性与一致连续
定义2.1设x,y是度量空间,f是x到y的一个映射。
x0?
x如果对任何?
0,存在?
0当?
(x,x0)?
时,有?
(fx,fx0)?
则称f在x0连续。
又若f在x中每一点都有连续,则称f是x上的连续映射。
若对任何?
(?
)?
0,只要x1,x2?
x,且d(x1,x2)?
,就有?
(f(x1),f(x2))?
成立,则称f在x上一致连续。
定理2.1设(x,d),(y,?
)是度量空间,f:
y,x0?
x,则下列各命题等价。
(1)f在x0连续;
(2)对于fx0的任一邻域b(tx0,?
),都存在x0的一个邻域b(x0,?
)使得
f?
b(x0,?
b(tx0,?
);
(3)对于x中的任意点列{xn},若xn?
x0(n?
),则f(xn)?
f(x0)(n?
)。
定理2.2设(x,d),(y,?
y。
则f是连续映射的充分必要条件是,对y中的任一开集g,其原象f?
1(g)?
xx?
x,f(x)?
g}是开集。
定义2.2篇二:
微积分实验报告2
微积分ii实验报告
专业班级姓名学号实验日期成绩等级教师评阅日期
[问题描述]
为迎接香港回归,柯受良于1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。
东岸跑道长265米,柯驾车从跑到东端启动到跑道终端时速度为150km/h,他随即以仰角5°
冲出,飞越跨度为57米,安全落到西岸木桥上。
问:
(1)柯跨越黄河用了多长时间?
(2)若起飞点高出河面10米,柯驾车飞行的最高点离河面多少米?
(3)西岸木桥面与起飞点高度差是多少米?
要求:
①创建符号运方程;
②解水平方向符号方程;
③先求铅垂方向符号极值,然后再转换成数值极值。
[模型]
150km/h=125/3(m/s)
由题意,运动方向可分为水平与铅垂两个方向,即创建参数方程:
x=v0*cos(5/360*pi)*t=150*cos(5/360*pi)*t
y1=v0*sin(5/360*pi)*t1-1/2*g*t1^2=150*sin(5/360*pi)*t1-5*t1^2
y2=h-1/2*g*t^2-h=h-5*t^2-h
其中t=t1+t2。
h为汽车飞过的最高点距水面的距离。
(1)有跨度57米得,x=57,由参数方程可得方程,
57=125/3*cos(5/360*pi)*t
(2)当车子铅垂方向速度为零时车子飞行为最高点,即
v0*sin(5/360*pi)-g*t1=125/3*sin(5/360*pi)-10*t1=0
h=125/3*sin(5/360*pi)*t1-5*t1^2+h
(3)由时间,
t=t1+t2。
hc=h-1/2*g*t2^2-h
[求解方法]
&
gt;
&
symst0t
t01=solve(125/3*t*cos(5/360*pi)=57)
t01=
171/125/cos(1/72*pi)
t02=eval(t01)
t02=
1.3693
symst1
t10=solve(125/3*sin(5/360*pi)-10*t1=0)
t10=
25/6*sin(1/72*pi)
t12=eval(t10)
t12=
0.1817
h=10;
h0=125/3*sin(5/360*pi)*t10-5*t10^2+h
h0=
12789339627907325/1688849860263936*sin(1/72*pi)-3125/36*sin(1/72*pi)^2+10
h1=eval(h0)
h1=
10.1652
t2=t01-t10
t2=
171/125/cos(1/72*pi)-25/6*sin(1/72*pi)
hc1=h0-1/2*10*t2^2-h
hc1=
12789339627907325/1688849860263936*sin(1/72*pi)-3125/36*sin(1/72*pi)^2-5*(171/125/cos(1/72*pi)-25/6*sin(1/72*pi))^2
hc2=eval(hc1)
hc2=
-6.8863
[结果]
(1)柯跨越黄河用了1.3693秒。
(2)若起飞点高出河面10米,柯驾车飞行的最高点离河面10.1652米。
(3)西岸木桥面与起飞点高度差是6.8863米。
[结果分析及结论]
西岸木桥应比东岸低6.8863米以上汽车才能飞过去。
篇三:
数学分析读书报告
数学读书报告
对数学分析六个基本定理的感想
课程名称数学文化学生姓名代广武学生学号2009303630____专业应用物理学所在院系理学院
我的专业是应用物理学,所以我对数学专业所学的数学分析具有浓厚兴趣,重点研究了数学分析的六大基本定理。
他们互推互证构成的循环让我十分惊奇。
大体上讲,数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。
它是在极限理论基础上,以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。
追溯历史,早在17世纪,newton和lebniz就各自独立地发明了微积分,当时是出于解决具体问题的需要。
不过,那时的理论很不完善,诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义,由此引发出许多问题和矛盾。
后来,cauchy和weierstrass等人引入严格的分析语言,为分析学奠定了牢固的根基。
他们的工作已经成为经典,成为数学系本科生的入门知识。
再次附上这六个大名鼎鼎的定理,他们是数学分析的逻辑基础,个人认为要掌握他们难度还是不小的。
1.实数基本定理的陈述
实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的,特别是可通过这部分内容的学习与钻研,培养严密的逻辑思维能力。
为了方便起见,我们先叙述实数理论的8个基本定理。
定理1(确界原理)非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。
定理2(单调有界原理)任何单调有界数列必有极限。
定理3(cantor区间套定理)若{[an,bn]}是一个区间套,则存在唯一一点?
,使得?
[an,bn],n?
1,2,?
。
定理4(heine-borel有限覆盖定理)设[a,b]是一个闭区间,?
为[a,b]上的一个开覆盖,则在?
中存在有限个开区间,它构成[a,b]上的一个覆盖。
定理5(weierstrass聚点原理)直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
定理6(bolzano致密性定理)有界无穷数列必有收敛子列。
定理7(cauchy收敛准则)数列{an}收敛?
对任给的正数?
n,使得?
m,n?
n时,都有|am?
an|?
,总
我个人对区间套定理比较熟悉,而且我对这个定理也比较感兴趣。
一.什么是闭区间:
数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理:
有无穷个闭区间,第二个闭区间被包含在第一个区间内部,第三个被包含在第二个内部,以此类推(后一个线段会被包含在前一个线段里面),这些区间的长度组成一个无穷数列,如果数列的极限趋近于0(即这些线段的长度最终会趋近于0),则这些区间的左端点最终会趋近于右端点,即左右端点收敛于数轴上唯一一点,而且这个点是此这些区间的唯一公共点。
(开区间同理)
区间套最后可以确定实数轴上唯一的一点,这为研究密度无穷大的实数轴提供了一个很好的办法,而且用他可以证明确界原理,单调有界原理证明其他原理个人也比较习惯。
这里附上区间套定理证明其他原理的片段。
1.区间套定理证明单调有界原理证明:
设数列?
递增有上界.
取闭区间?
a1,b1?
,使a1不是数列?
的上界,b1是数列?
的上界.显然在闭区间?
内含有数列?
的无穷多项,而在?
外仅含有数列?
的有限项.
对分?
,取?
a2,b2?
,使其具有?
的性质.故在闭区间?
的有限项.以此方法,得区间列?
an,bn?
.
*
由区间套定理,?
是所有区间的唯一公共点.
显然,在?
的任何邻域内有数列?
的无穷多项,即?
>0,?
n?
n,当n>n时,有xn?
<?
所以limxn?
定理得证.
[1]
2.区间套定理证明致密性定理
证明:
设?
yn?
为有界数列,即存在两个数a,b,使a?
b.等分区间?
a,b?
为两个区间,则至少有一个区间含有?
中的无穷个数.把这个区间记为?
,如果两个区间都含有无穷个yn,则任取其一作为?
.再等分区间?
为两半,记含有无穷个yn的区间为?
.这个分割手续可以继续不断的进行下去,则得到一个区间列?
个区间列显然适合下面两个条件:
(1)?
…
(2)bn?
an?
b?
a2
n
,这
0
于是由区间套定理,必存在唯一点?
使an?
bn?
,且?
ak,bk?
(k?
1,2,3…).
每一?
中均含有?
的无穷个元素.
在?
中任取?
的一项,记为yn,即?
的第n1项.由于?
也含有无穷个yn,
则它必含有yn以后的无穷多个数,在这些数中任取其一,记为yn,则n1<n2.继续在每
1
2
一?
中都这样取出一个数yn,即得?
的一个子列?
yn
k
k
,其中n
<n2<…<nk
<…,且ak?
bk.令k?
,由于ak?
bk?
故yn?
.这就是定理所要的结果.
二有限覆盖定理1.有限覆盖定理
若开区间所组成的区间集e覆盖一个闭区间[a,b],则总可以从e中选出有限个区间,使这有限个区间覆盖[a,b].个人对它的直观理解
无限多个开区间的并覆盖了一个闭区间
则从这无限个开区间中,一定能选取出有限个开区间的并就能覆盖这个闭区间。
如果把被覆盖的改成开区间,则命题不成立
比如:
(0,1/2)∪(0,1-(1/2)^2)∪(0,1-(1/2)^3)∪(0,1-(1/2)^4)∪......覆盖了(0,1)
但是上述任意有限个开区间都不能覆盖(0,1)
如果把无限多个开区间改成无限多个闭区间,命题也不成立
[1,2]∪[0,1/2]∪[0,1-(1/2)^2]∪[0,1-(1/2)^3]∪[0,1-(1/2)^4]∪......覆盖了[0,2]
但是上述任意有限个闭区间都不能覆盖[0,2]
从这个方面理解可以对此问题有一定深入的认识吧。
这里附上有限覆盖定理对其他部分定理的证明。
2.1有限覆盖定理证明确界定理
在这里我们只说明定理的上确界部分.
设不为空集的区间e?
r,?
e,有x?
m,任取一点x0?
e,假设e无上确界,那
么?
[x0,m]:
ⅰ)当x为e的上界时,必有更小的上界x1<x,因而x存在一开邻域?
为e的上界,称其为第一类区间;
ⅱ)当x不是e的上界时,则有x2?
e使x2>x,那么x存在一开邻域?
不是e的上界,称其为第二类区间.
xx
,其中每一点均
,其中每点均
当x取遍[x0,m
显然?
x
]上每一点找出一个邻域?
x
.
不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[x0,m]的一个开覆盖,
由有限覆盖定理,必存在有限子区间覆盖[x0,m].显然m所在的开区间应为第一类区间,与其邻接的开区间?
所以?
有公共点.
,x均为e的上界.而与?
相邻接的开区间?
有公共点,所以
,x均为e的上界.
依此类推,x0所在的开区间也是第一类区间,则x0为e的上界.又?
e,?
e为常数集.由此矛盾引出.得证.
同理,e有下确界.
2.2有限覆盖定理证明致密性定理
是一有界数列,现在证明?
有收敛子列.
(1)如果?
仅由有限个数组成,那么至少有一个数?
要重复无限多次,