微积分读书报告文档格式.docx

1、这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理 论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 二、泛函分析的空间理论知识 1、度量空间 我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。数学分析中定义r中点

2、列xn的极限是x时，我们是用|xn?x|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xn?x|可表示为数轴上xn和x这两点间的距离，那么实数集r中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n?而趋于0，即 limd（xn,x）?0。 n? 于是人们就想，在一般的点集x中如果也有“距离”，那么在点集x中也可借这一距离来定义极限，而究竟什么是距离呢？ 1.1度量空间的定义 定义1.1设x为一非空集合。若存在二元函数d:x?r，使得?x,y,z?x，均满足以下三个条件： （1）d（x,y）?0,且d（x,y）?0?y（非负性） （2）d（x,y）?d（y,x） （对称性） （3）d（x,z）?d（x,y

3、）?d（y,z） （三角不等式）， 则称d为x上的一个距离函数，（x,d）为度量空间或距离空间，d（x,y）为x,y两点间的距离。 注意：若（x,d）为度量空间，y是x的一个非空子集，则（y,d）也是一个度量空间，称为（x,d）的子空间。 我们可以验证：欧式空间rn，离散度量空间，连续函数空间ca,b，有界数列空间l?，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间lpa,b（p?1），均满足距离空间的性质。 appendix：p次幂可积函数空间lpa,b（p?1）介绍 lpa,b?f（t）| |f（t）|p在a,b上l可积，在lpa,b中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数。lpa,b有下列

4、重要性质： （1）对线性运算是封闭的。即若f,g?lpa,b，则 ?f?lpa,b,f?g?lpa,b，其中?是常数。 （2）lpa,b?la,b（p?1）。 设f?lpa,b，令a?e（|f|?1），b?1）,e?a,b，则 |f|dm?|f|dm aabb |f|pdm?（b?a） a a）? abp 故f?l（a,b）。 （3）?f,g?lpa,b，定义 1 p?b?dp（f,g）?|f（t）?g（t）|dm?a? 则dp是一个距离函数。称（lpa,b,dp）为p次幂可积函数空间，简记为plpa,b。 1.2度量空间有重要的定理 定理 1 对度量空间（x,d）有 （1）任意个开集的并集是

5、开集; 有限个开集的交集是开集; （2）任意个闭集的交集是闭集; 有限个闭集的并集是闭集; （3）x与?既是开集又是闭集. 定理 2设（x,d）是度量空间,x0?x,e?x,则x0是e的聚点的充要条件是存在e中点列?xn?（xn?x0）,使d（xn,x0）?0（n?）. 定理 3 设（x,d）是度量空间,e?x,x?e,则下面的三个陈述是等价的: （1） x?e; （2） x的任一邻域中都有e的点; （3）有点列xn?e,使d（xn,x0）? 定理 4 设（x,d）是度量空间, e是x的非空子集,则e为闭集的充要条件是e?e. 定理 5 闭集套定理： 设x是完备的，并且非空闭集套f1?f2?f

6、3? 满足 diamfn?sup x,y?fnd（x,y）?0， 则存在唯一的点y?nfn. 称x 的一个子集e是疏朗的（也称无处稠的），如果e的闭包e不 含任何开集。易见一个开集o在x中稠当且仅当o的补集oc是疏 朗的；一个闭集f是疏朗的当且仅当fc是周密的开集。度量空间 的一个子集称为第一纲的，如果它能表为可列个疏朗集之并； 否则称为第二纲的。完备的度量空间享有一个深刻的结构定理baire纲定理。 定理 6 baire 纲定理：完备的度量空间是第二纲的。 在微积分的发展历程中，一个重要问题是讨论函数间断点集的 特征。读者容易验证定义在闭区间0,1上的函数 r（x）?0x是无理数; 1x?0

7、. y?x在有理点是间断的，在无理点是连续的（验证当0?1,limr（y）?0.） 一个自然的问题是：是否在闭区间 上存在一个函数h使得它 在有理点连续，无理点间断。注意到0,1中的无理数集是第二 纲的，下面的命题表明这样的函数是不存在的。 命题：设x是完备的度量空间， f是0,1上的实函数， cf?x:f在x点连续，若cf 在x中稠密，那么df是第 ?f在x点间断 一纲。 定理 7 banach不动点定理：完备度量空间x上的压缩映射a有唯一的不动点, 即存在唯一的x?x满足ax?x. 2、映射的连续性与一致连续 定义 2.1 设x，y是度量空间，f是x到y的一个映射。x0?x如果对任何?0，

8、存在?0当?（x,x0）?时，有?（fx,fx0）?则称f在x0连续。又若f在x中每一点都有连续，则称f是x上的连续映射。若对任何?（?）?0，只要x1, x2?x，且d（x1,x2）?，就有?（f（x1）,f（x2）?成立，则称f在x上一致连续。 定理 2.1 设（x,d），（y,?）是度量空间，f:y,x0?x,则下列各命题等价。 （1） f在x0连续； （2） 对于fx0的任一邻域b（tx0,?），都存在x0的一个邻域b（x0,?）使得 f?b（x0,?b（tx0,?）； （3）对于x中的任意点列xn，若xn?x0（n?），则f（xn）?f（x0）（n?）。 定理 2.2 设（x,d），

9、（y,?y。则f是连续映射的充分必要条件是，对y中的任一开集g，其原象f?1（g）?xx?x, f（x）?g是开集。 定义 2.2篇二：微积分实验报告2 微积分ii实验报告 专业 班级 姓名 学号 实验日期 成绩等级 教师 评阅日期 问题描述 为迎接香港回归，柯受良于1997年6月1日驾车飞越黄河壶口。东岸跑道长265米，柯驾车从跑到东端启动到跑道终端时速度为150km/h，他随即以仰角5冲出，飞越跨度为57米，安全落到西岸木桥上。问： （1）柯跨越黄河用了多长时间？ （2）若起飞点高出河面10米，柯驾车飞行的最高点离河面多少米？ （3）西岸木桥面与起飞点高度差是多少米？ 要求：创建符号运方程

10、；解水平方向符号方程；先求铅垂方向符号极值，然后再转换成数值极值。 模型 150km/h= 125/3（m/s） 由题意，运动方向可分为水平与铅垂两个方向，即创建参数方程： x = v0*cos（5/360*pi）*t = 150*cos（5/360*pi）*t y1 = v0*sin（5/360*pi）*t1-1/2*g*t12 = 150*sin（5/360*pi）*t1-5*t12 y2 = h-1/2*g*t2-h = h-5*t2-h 其中t = t1 + t2。h为汽车飞过的最高点距水面的距离。 （1） 有跨度57米得， x=57,由参数方程可得方程， 57=125/3*cos（5

11、/360*pi）*t （2） 当车子铅垂方向速度为零时车子飞行为最高点，即 v0*sin（5/360*pi）-g*t1 = 125/3*sin（5/360*pi）-10*t1 = 0 h = 125/3*sin（5/360*pi）*t1-5*t12+h （3）由时间， t = t1 + t2。 hc = h-1/2*g*t22-h 求解方法 >& syms t0 t t01=solve（125/3*t*cos（5/360*pi）=57） t01 = 171/125/cos（1/72*pi） t02=eval（t01） t02 = 1.3693 syms t1 t10=solve（125/

12、3*sin（5/360*pi）-10*t1 = 0） t10 = 25/6*sin（1/72*pi） t12=eval（t10） t12 = 0.1817 h=10; h0=125/3*sin（5/360*pi）*t10-5*t102+h h0 = 12789339627907325/1688849860263936*sin（1/72*pi）-3125/36*sin（1/72*pi）2+10 h1=eval（h0） h1 = 10.1652 t2=t01-t10 t2 = 171/125/cos（1/72*pi）-25/6*sin（1/72*pi） hc1 = h0-1/2*10*t22-h

13、hc1 = 12789339627907325/1688849860263936*sin（1/72*pi）-3125/36*sin（1/72*pi）2-5*（171/125/cos（1/72*pi）-25/6*sin（1/72*pi）2 hc2=eval（hc1） hc2 = -6.8863 结果 （1） 柯跨越黄河用了1.3693秒。 （2）若起飞点高出河面10米，柯驾车飞行的最高点离河面10.1652米。 （3）西岸木桥面与起飞点高度差是6.8863米。 结果分析及结论 西岸木桥应比东岸低6.8863米以上汽车才能飞过去。篇三：数学分析读书报告 数学读书报告 对数学分析六个基本定理的感想

14、课程名称 数学文化 学生姓名 代广武 学生学号 2009303630 _ 专 业 应用物理学 所在院系 理学院 我的专业是应用物理学，所以我对数学专业所学的数学分析具有浓厚兴趣，重点研究了数学分析的六大基本定理。他们互推互证构成的循环让我十分惊奇。 大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。 追溯历史，早在17世纪，newton和lebniz就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问题和矛盾。 后来，c

15、auchy和weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。 再次附上这六个大名鼎鼎的定理，他们是数学分析的逻辑基础，个人认为要掌握他们难度还是不小的。 1. 实数基本定理的陈述 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。为了方便起见，我们先叙述实数理论的8个基本定理。 定理1（确界原理） 非空有上（下）界数集，必有上（下）确界。 定理2（单调有界原理） 任何单调有界数列必有极限

16、。 定理3（ cantor区间套定理） 若an,bn是一个区间套, 则存在唯一一点?，使得?an,bn,n?1,2,?。 定理4（heine-borel有限覆盖定理） 设a,b是一个闭区间，?为a,b上的一个开覆盖，则在?中存在有限个开区间，它构成a,b上的一个覆盖。 定理5（weierstrass聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 定理6（bolzano致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。 定理7（cauchy收敛准则） 数列an收敛?对任给的正数? n，使得?m,n?n时，都有|am?an|? ，总 我个人对区间套定理比较熟悉，而且我对这个定理也比较感兴趣。 一什么是闭区

17、间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。 闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理） 区间套最后可以确定实数轴上唯一的一点，这为研究密度无穷大的实数轴提供了一个很好的办法，而且用他可以证明确界原理，单调有界原理证明其他原理个人也比较习惯。 这里附上区间套定理证明其他原理的片

18、段。 1 .区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列?递增有上界. 取闭区间?a1,b1?，使a1不是数列?的上界，b1是数列?的上界.显然在闭区间?内含有数列?的无穷多项，而在?外仅含有数列?的有限项. 对分?，取?a2,b2?，使其具有?的性质.故在闭区间?的有限项. 以此方法，得区间列?an,bn?. * 由区间套定理，?是所有区间的唯一公共点. 显然，在?的任何邻域内有数列?的无穷多项，即?0，?n?n，当nn时，有xn? 所以limxn? 定理得证. 1 2.区间套定理证明致密性定理 证明：设?yn?为有界数列，即存在两个数a,b，使a?b.等分区间?a,b?为两个区间，则至少有一个

19、区间含有?中的无穷个数.把这个区间记为?，如果两个区间都含有无穷个yn，则任取其一作为?.再等分区间?为两半，记含有无穷个yn的区间为?.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列?个区间列显然适合下面两个条件： （1）? （2）bn?an? b?a2 n ，这 0 于是由区间套定理，必存在唯一点?使an?,bn?，且?ak,bk? （k?1,2,3）. 每一?中均含有?的无穷个元素. 在?中任取?的一项，记为yn，即?的第n1项.由于?也含有无穷个yn， 则它必含有yn以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为yn，则n1n2.继续在每 1 2 一?中都这样取出一个数yn，即得?的

20、一个子列?yn k k ，其中n n2nk ，且ak?bk.令k?，由于ak?,bk?,故yn?.这就是定理所要的结果. 二 有限覆盖定理 1.有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集e覆盖一个闭区间a,b,则总可以从e中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖a,b. 个人对它的直观理解 无限多个开区间的并覆盖了一个闭区间 则从这无限个开区间中，一定能选取出有限个开区间的并就能覆盖这个闭区间。 如果把被覆盖的改成开区间，则命题不成立 比如：（0, 1/2）（0, 1-（1/2）2）（0, 1-（1/2）3）（0, 1-（1/2）4）. 覆盖了（0,1） 但是上述任意有限个开区间都不能覆盖（0,1） 如

21、果把无限多个开区间改成无限多个闭区间，命题也不成立 1,20, 1/20, 1-（1/2）20, 1-（1/2）30, 1-（1/2）4. 覆盖了0,2 但是上述任意有限个闭区间都不能覆盖0,2 从这个方面理解可以对此问题有一定深入的认识吧。 这里附上有限覆盖定理对其他部分定理的证明。 2 .1有限覆盖定理证明确界定理 在这里我们只说明定理的上确界部分. 设不为空集的区间e?r，?e,有x?m,任取一点x0?e，假设e无上确界，那 么?x0,m: ）当x为e的上界时，必有更小的上界x1x,因而x存在一开邻域?为e的上界，称其为第一类区间； ）当x不是e的上界时，则有x2?e使x2x,那么x存在

22、一开邻域?不是e的上界，称其为第二类区间. xx ，其中每一点均 ，其中每点均 当x取遍x0,m 显然? x 上每一点找出一个邻域? x . 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间x0,m的一个开覆盖， 由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖x0,m.显然m所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间?所以? 有公共点. ，x均为e的上界.而与?相邻接的开区间? 有公共点，所以 ，x均为e的上界. 依此类推，x0所在的开区间也是第一类区间，则x0为e的上界. 又?e，?e为常数集.由此矛盾引出. 得证. 同理，e有下确界. 2.2有限覆盖定理证明致密性定理 是一有界数列，现在证明?有收敛子列. （1）如果?仅由有限个数组成，那么至少有一个数?要重复无限多次，