高三复习正态分布Word下载.docx

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教学过程

1.课程导入：

复习导入：

总体密度曲线:

样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

三、知识讲解

考点1、正态曲线的性质

解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．

考点2、服从正态分布的概率计算

求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．

考点3、正态分布的应用

服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有

＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．

【题干】设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝

e－

，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）．

A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10

【答案】B

【解析】由

＝

，可知σ＝2，μ＝10.

【题干】已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）．

A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2

【答案】C

【解析】由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，

故P（0＜ξ＜2）＝0.3.故选C.

1.已知随机变量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（　　）．

A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585

【解析】由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5－

P（2≤X≤4）＝0.5－

×

0.6826＝0.1587.故选B.

2.已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X>

2）＝0.023，则P（－2≤X≤2）等于（　　）．

A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977

【解析】P（－2≤X≤2）＝1－2P（X>

2）＝0.954.

3.设随机变量X服从正态分布N（2,9），若P（X>

c＋1）＝P（X<

c－1），则c等于（　　）．

A．1B．2C．3D．4

【解析】∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是

＝2，∴c＝2.

1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

.

（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；

（2）求正态总体在（－4,4]的概率．

【答案】

（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由

，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是

φμ，σ（x）＝

，x∈（－∞，＋∞）．

（2）P（－4<

X≤4）＝P（0－4<

X≤0＋4）

＝P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.6826.

【解析】

2.设X～N（1,22），试求

（1）P（－1<

X≤3）；

（2）P（3<

X≤5）；

（3）P（X≥5）．

【答案】∵X～N（1,22），∴μ＝1，σ＝2.

X≤3）＝P（1－2<

X≤1＋2）

（2）∵P（3<

X≤5）＝P（－3<

X≤－1），

∴P（3<

X≤5）＝

[P（－3<

X≤5）－P（－1<

X≤3）]

[P（1－4<

X≤1＋4）－P（1－2<

X≤1＋2）]

[P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）－P（μ－σ<

X≤μ＋σ）]

（0.9544－0.6826）

＝0.1359.

（3）∵P（X≥5）＝P（X≤－3），

∴P（X≥5）＝

[1－P（－3<

X≤5）]

[1－P（1－4<

X≤1＋4）]

[1－P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）]

（1－0.9544）＝0.0228.

【解析】∵X～N（1,22），∴μ＝1，σ＝2.

3.2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．

【答案】由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×

0.15＝180辆．

【解析】由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×

1.随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝________.

【答案】0.7

【解析】由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1－0.3＝0.7.

2.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N

，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？

【解析】∵X～N

，∴μ＝4，σ＝

.

∴不属于区间（3,5]的概率为

P（X≤3）＋P（X＞5）＝1－P（3＜X≤5）

＝1－P（4－1＜X≤4＋1）

＝1－P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）

＝1－0.9974＝0.0026≈0.003，

∴1000×

0.003＝3（个），

即不属于区间（3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个．