高考文科数学总复习 第二章 第1节.docx

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高考文科数学总复习第二章第1节

第1节　函数及其表示

最新考纲　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用（函数分段不超过三段）.

知识梳理

1.函数与映射的概念

函数

映射

两个集合A，B

设A，B是两个非空数集

设A，B是两个非空集合

对应关系f：

A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

函数y＝f（x），x∈A

映射：

f：

A→B

2.函数的定义域、值域

（1）在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.

（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

[常用结论与微点提醒]

1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.

2.直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象有0个或1个交点.

3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.（　　）

（2）对于函数f：

A→B，其值域是集合B.（　　）

（3）f（x）＝＋是一个函数.（　　）

（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.（　　）

解析　

（1）错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.

（2）错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.

（3）错误.f（x）＝＋中x不存在.

（4）错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2.（必修1P25B2改编）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

解析　A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].

答案　B

3.（2018·深圳模拟）函数y＝的定义域为（　　）

A.（－2，1）B.[－2，1]C.（0，1）D.（0，1]

解析　由解得0

答案　C

4.（2015·全国Ⅱ卷）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（　　）

A.3B.6C.9D.12

解析　根据分段函数的意义，

f（－2）＝1＋log2（2＋2）＝1＋2＝3.又log212>1，

∴f（log212）＝2（log212－1）＝2log26＝6，

因此f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9.

答案　C

5.（2015·全国Ⅱ卷）已知函数f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1，4），则a＝________.

解析　由题意知点（－1，4）在函数f（x）＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.

答案　－2

考点一　求函数的定义域

【例1】

（1）（2018·九江七校联考）函数y＝的定义域是（　　）

A.（－1，3）B.（－1，3]

C.（－1，0）∪（0，3）D.（－1，0）∪（0，3]

（2）若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝的定义域为________.

解析　

（1）由题意得⇒－1

（2）因为y＝f（x）的定义域为[0，2]，

所以要使g（x）有意义应满足解得0≤x<1.

所以g（x）的定义域是[0，1）.

答案　

（1）D　

（2）[0，1）

规律方法　1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出.

（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域.

【训练1】

（1）（2017·郑州调研）函数f（x）＝ln＋x的定义域为（　　）

A.（0，＋∞）B.（1，＋∞）

C.（0，1）D.（0，1）∪（1，＋∞）

（2）（2018·内蒙古名校联考）设函数f（x）＝lg（1－x），则函数f[f（x）]的定义域为（　　）

A.（－9，＋∞）B.（－9，1）

C.[－9，＋∞）D.[－9，1）

解析　

（1）要使函数f（x）有意义，则解得x>1，故函数f（x）＝ln＋x的定义域为（1，＋∞）.

（2）易知f[f（x）]＝f[lg（1－x）]＝lg[1－lg（1－x）]，

则解得－9

故f[f（x）]的定义域为（－9，1）.

答案　

（1）B　

（2）B

考点二　求函数的解析式

【例2】

（1）已知f＝lgx，则f（x）＝________；

（2）已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，则f（x）＝________；

（3）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝2f·－1，则f（x）＝________.

解析　

（1）令t＝＋1（t>1），则x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg（x>1）.

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f（0）＝2，得c＝2，

f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋2－ax2－bx－2＝x－1，

则2ax＋a＋b＝x－1，

∴即∴f（x）＝x2－x＋2.

（3）在f（x）＝2f·－1中，

将x换成，则换成x，

得f＝2f（x）·－1，

由解得f（x）＝＋.

答案　

（1）lg（x>1）　

（2）x2－x＋2　（3）＋

规律方法　求函数解析式的常用方法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型，可用待定系数法.

（2）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

（3）构造法：

已知关于f（x）与f或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f（x）.

【训练2】

（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝x＋2，则f（x）＝（　　）

A.x＋1B.2x－1

C.－x＋1D.x＋1或－x－1

（2）定义在（－1，1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝__________.

解析　

（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），又f[f（x）]＝x＋2，

得k（kx＋b）＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2.

∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1，则f（x）＝x＋1.

（2）当x∈（－1，1）时，

有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）.①

将x换成－x，则－x换成x，

得2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）.②

由①②消去f（－x）得，

f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），x∈（－1，1）.

答案　

（1）A　

（2）lg（x＋1）＋lg（1－x）（－1

考点三　分段函数（多维探究）

命题角度1　求分段函数的函数值

【例3－1】（2017·山东卷）设f（x）＝若f（a）＝f（a＋1），则f＝（　　）

A.2B.4C.6D.8

解析　由已知得01，

∵f（a）＝f（a＋1），∴＝2（a＋1－1），

解得a＝，∴f＝f（4）＝2（4－1）＝6.

答案　C

命题角度2　求参数的值或自变量取值范围

【例3－2】

（1）设函数f（x）＝若f＝4，则b＝（　　）

A.1B.C.D.

（2）（2017·全国Ⅲ卷）设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>1的x的取值范围是________.

解析　

（1）f＝3×－b＝－b，

若－b<1，即b>时，

则f＝f＝3－b＝4，

解之得b＝，不合题意舍去.

若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.

（2）当x≤0时，f（x）＋f＝（x＋1）＋，

原不等式化为2x＋>1，解得－

当0

原不等式化为2x＋x＋>1，该式恒成立，

当x>时，f（x）＋f＝2x＋2x－，

又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，

综上可知，不等式的解集为.

答案　

（1）D　

（2）

规律方法　1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.

【训练3】

（1）（2015·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝且f（a）＝

－3，则f（6－a）＝（　　）

A.－B.－C.－D.－

（2）（2018·厦门模拟）已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是________.

解析　

（1）当a≤1时，f（a）＝2a－1－2＝－3，

即2a－1＝－1，不成立，舍去；

当a>1时，f（a）＝－log2（a＋1）＝－3，

即log2（a＋1）＝3，解得a＝7，

此时f（6－a）＝f（－1）＝2－2－2＝－.

（2）当x≥1时，f（x）＝2x－1≥1，

∵函数f（x）＝的值域为R，

∴当x<1时，（1－2a）x＋3a必须取遍（－∞，1）内的所有实数，则解得0≤a<.

答案　

（1）A　

（2）

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.函数g（x）＝＋log2（6－x）的定义域是（　　）

A.{x|x>6}B.{x|－3

C.{x|x>－3}D.{x|－3≤x<6}

解析　由解得－3≤x<6，故函数的定义域为{x|－3≤x<6}.

答案　D

2.设f（x）＝则f（f（－2））等于（　　）

A.－1B.C.D.

解析　因为－2<0，所以f（－2）＝2－2＝>0，所以f（f（－2））＝f＝1－＝1－＝.

答案　C

3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（　　）

A.y＝B.y＝

C.y＝D.y＝

解析　取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A.

答案　B

4.（2016·全国Ⅱ卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A.y＝xB.y＝lgx

C.y＝2xD.y＝

解