最速下降法无约束最优化Word文档下载推荐.docx
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第二步
迭代次数加1，即k=k+1，用一维线性搜索方法确定沿负梯度方向-
的步长
，其中
=ArgMinaf（
第三步
沿着负梯度方向寻找下一个接近最小值的点，其中步长为
，得到下一点的坐标为：
。
第四步
如果
≈
，且f（
）≈f（
），那么就认为
为所求的最小值点，并结束循环；
否则，就跳到步骤二。
流程图：
题目：
最速下降法求解无约束最优化问题实例。
采用最速下降法求如下函数的最小值问题：
f（x，y）=x（x-5-y）+y（y-4）
即用最速下降法求解函数的最小值问题。
需先求出该函数的梯度函数。
可知其梯度函数为：
g（x）=（2x-5-y,-x+2y-4）。
源程序代码如下：
Opt_Steepest.m文件
%用最速下降法求最优化解；
function[xo,fo]=Opt_Steepest（f,grad,x0,TolX,TolFun,dist0,MaxIter）
%f:
函数名；
%grad:
梯度函数；
%x0：
搜索初始值；
%TolX:
最优值点间的误差阈值；
%TolFun:
函数的误差阈值；
%dist0:
初始步长；
%MaxIter:
最大的迭代次数；
%xo：
最优化点值；
%fo:
函数在点xo处的函数值。
%%%%%%判断输入的变量数，设定一些变量为默认值
ifnargin<
7
MaxIter=100;
%最大的迭代次数默认为100
end
6
dist0=10;
%初始步长默认为10
end
5
TolFun=1e-8;
%函数值误差为1e-8
4
TolX=1e-6;
%自变量距离误差
x=x0;
fx0=feval（f,x0）;
fx=fx0;
dist=dist0;
kmax1=25;
%线性搜索法确定步长的最大搜索次数
warning=0;
%%%%%迭代计算求最优解
fork=1:
MaxIter
g=feval（grad,x）;
g=g/norm（g）;
%求点x处的梯度
%%线性搜索方法确定步长
dist=dist*2;
fx1=feval（f,x-dist*2*g）;
fork1=1:
kmax1
fx2=fx1;
fx1=feval（f,x-dist*g）;
iffx0>
fx1+TolFun&
&
fx1<
fx2-TolFun%fx0>
fx1<
fx2,
den=4*fx1-2*fx0-2*fx2;
num=den-fx0+fx2;
%二次逼近法
dist=dist*num/den;
x=x-dist*g;
fx=feval（f,x）;
%确定下一点
break;
else
dist=dist/2;
end
ifk1>
=kmax1
warning=warning+1;
%无法确定最优步长
warning=0;
ifwarning>
=2||（norm（x-x0）<
TolX&
abs（fx-fx0）<
TolFun）
x0=x;
fx0=fx;
xo=x;
fo=fx;
ifk==MaxIter
fprintf（'
Justbestin%diteration'
MaxIter）;
Q1.m文件
f1004=inline（'
[x
（1）*（x
（1）-5-x
（2））+x
（2）*（x
（2）-4）]'
'
x'
）;
%目标函数
grad=inline（'
[2*x
（1）-5-x
（2）,-x
（1）+2*x
（2）-4]'
%目标函数的梯度函数
x0=[14];
TolX=1e-4;
TolFun=1e-9;
MaxIter=100;
dist0=1;
[xo,fo]=Opt_Steepest（f1004,grad,x0,TolX,TolFun,dist0,MaxIter）
运行结果如下：
由计算结果可知，当x=4.6667,y=4.3333时，函数f（x,y）=x（x-5-y）+y（y-4）取得最小值-20.3333。
二．编程解决以下科学计算和工程实际问题。
简支梁受左半均匀分布载荷q及右边L/4处集中力偶M0作用（如下图1-1），求其弯矩、转角和挠度。
设L=2m，q=1000N/m，M0=900N*m，E=200*109N/m2,I=2*10-6m4.
图1-1
①解题思路：
首先对简支梁进行受力分析，受力分析图（如下图1-2）所示：
图1-2
从材料力学的知识可知道，由弯矩求转角要经过一次不定积分，而由转角求挠度又要经过一次不定积分，通常这是很麻烦而且容易出错的，而在MATLAB中，可用cumsum函数或cumtrapz函数作近似的不定积分，只要x取得足够密，其结果将相当准确，而程序非常简单。
第一步：
计算支反力
设支座a和b处的支反力分别为Na和Nb，则据∑Ma=0，∑Fy=0得到平衡方程为：
Nb=（q*L^2/8+M0）/L
Na=q*L/2-Nb
第二步：
建立弯矩方程
以截面c，d为分界面，将梁划分为ac，cd，db三段
分别建立ac，cd，db三段对应的弯矩方程：
M1=Na*x-q*x.^2/2;
0≦x≦L/2
M2=Nb*（L-x）-M0;
L/2≦x≦3L/4
M3=Nb*（L-x）;
3L/4≦x≦L
第三步：
建立挠曲轴近似微分方程并积分
建立挠曲轴近似微分方程d2Y/dx2=M（x）/EI
对M/EI积分，得转角A，再做一次积分，得挠度Y，每次积分都有一个待定的积分常数。
A=∫（M）*dx/（E*I）+Ca=A0（x）+Ca，此处设A0（x）=cumtrapz（M）*dx/（E*I）
Y=∫（A）*dx+Cy=∫A0（x）*dx+Ca*x+Cy,此处设Y0（x）=cumtrapz（A0）*dx
第四步：
确定相应的积分常数
Ca，Cy由边界条件Y（0）=0，Y（L）=0确定
Y（0）=Y0（0）+Cy=0
Y（L）=Y0（L）+Ca*L+Cy=0
即[01；
L1][Ca；
Cy]=[-Y0（0）；
-Y0（L）]
[Ca；
Cy]=[0,1;
L,1]\[-Y0（0）;
-Y0（L）];
第五步：
根据计算结果绘制弯矩、转角以及挠度图形
②源程序：
L=2;
q=1000;
M0=900;
E=200e9;
I=2e-6;
%输入已知参数
Nb=（q*L^2/8+M0）/L;
Na=q*L/2-Nb;
%求支反力
x=linspace（0,L,101）;
dx=L/100;
%linspace是线性空间向量
M1=Na*x（1:
51）-q*x（1:
51）.^2/2;
%分三段用数组列出M数组
M2=Nb*（L-x（52:
76））-M0;
M3=Nb*（L-x（77:
101））;
M=[M1,M2,M3];
%写出完整的M数组
A0=cumtrapz（M）*dx/（E*I）;
%由M积分求转角A
Y0=cumtrapz（A0）*dx;
%由转角积分求挠度Y
C=[0,1;
L,1]\[-Y0
（1）;
-Y0（101）];
%由边界条件求积分常数
Ca=C
（1）,Cy=C
（2）,
A=A0+Ca;
Y=Y0+Ca*x+Cy;
%A为转角，Y为挠度，求出转角和挠度的完整数值
subplot（3,1,1）,plot（x,M）,grid%绘制弯矩图形
subplot（3,1,2）,plot（x,A）,grid%绘制转角图形
subplot（3,1,3）,plot（x,Y）,grid%绘制挠度图形
3运行结果：
④流程图：
第三题
（1）
A．正弦值算法：
x=0:
pi/12:
pi/2;
y=[00.25880.50000.70710.86600.96591.0000];
xi=0:
pi/180:
%三次样条差值
yi=interp1（x,y,xi,'
spline'
）
%五次多项式拟合
A=polyfit（x,y,5）;
yj=polyval（A,xi）
运行结果：
yi=
Columns1through11
00.01750.03490.05240.06980.08720.10450.12190.13920.15640.1737
Columns12through22
0.19080.20790.22490.24190.25880.27560.29230.30900.32550.34200.3583
Columns23through33
0.37460.39070.40670.42260.43840.45400.46950.48480.50000.51500.5299
Columns34through44
0.54460.55920.57360.58780.60180.61570.62930.64280.65610.66910.6820
Columns45through55
0.69470.70710.71930.73130.74310.75470.76600.77710.78800.79860.8090
Columns56through66
0.81910.82900.83870.84800.85710.86600.87460.88290.89100.89870.9062
Columns67through77
0.91350.92040.92710.93350.93960.94540.95100.95630.96120.96590.9703
Columns78through88
0.97440.97820.98170.98490.98780.99040.99270.99460.99630.99770.9987
Columns89through91
0.99950.99991.0000
yj=
0.00000.01740.03490.05230.06970.08710.10450.12180.13910.15640.1736
0.19080.20790.22490.24190.25880.27560.29240.30900.32560.34200.3584
0.69460.70710.71930.73130.74310.75470.76600.77710.78800.79860.8090
0.81910.82900.83860.84800.85710.86600.87460.88290.89100.89880.9063
0.91350.92050.92720.93360.93970.94550.95100.95630.96120.96590.9703
0.97430.97810.98160.98480.98770.99020.99250.99450.99620.99750.9986
0.99940.99981.0000
通过比较，两种方法得到的结果近似相等。
B．正切值算法：
5*pi/12;
y=[00.26790.57741.00001.73203.7320];
00.01840.03650.05450.07240.09020.10790.12550.14310.16070.1784
0.19610.21380.23170.24970.26790.28630.30480.32360.34270.36200.3817
0.40170.42210.44290.46410.48580.50790.53050.55370.57740.60170.6266
0.65200.67800.70460.73170.75930.78760.81630.84560.87540.90580.9367
0.96811.00001.03251.06581.10031.13641.17431.21451.25721.30281.3516
1.40411.46041.52111.58631.65651.73201.81311.90021.99362.09372.2008
Columns67through76
2.31522.43742.56752.70602.85323.00953.17523.35063.53613.7320
-0.00000.02350.04540.06580.08500.10320.12060.13750.15400.17010.1862
0.20220.21830.23450.25110.26790.28510.30280.32080.33940.35850.3781
0.39820.41880.44000.46160.48380.50650.52970.55330.57740.60200.6270
0.65240.67830.70470.73150.75880.78670.81500.84400.87360.90390.9351
0.96701.00001.03411.06931.10601.14421.18411.22591.26991.31621.3652
1.41711.47231.53101.59351.66041.73201.80871.89101.97932.07422.1762
2.28602.40402.53102.66772.81472.97273.14273.32533.52143.7320
通过比较知，角度较小时五次多项式算得的值较大，角度增大则两种方法得到的结果近似相等。
（2）
%三次多项式插值
x=[149162536496481100];
y=[12345678910];
xi=1:
100;
f=interp1（x,y,xi,'
cubic'
f=
1.00001.37291.71252.00002.24052.45512.64942.82923.00003.16363.3186
3.46613.60693.74223.87294.00004.12374.24354.35994.47304.58324.6907
4.79584.89885.00005.09935.19665.29215.38575.47775.56815.65705.7446
5.83095.91606.00006.08296.16476.24546.32496.40356.48106.55776.6334
6.70826.78236.85566.92817.00007.07127.14167.21137.28047.34877.4164
7.48357.55007.61597.68127.74597.81027.87397.93728.00008.06238.1242
8.18558.24648.30688.36688.42638.48548.54418.60248.66038.71788.7749
8.83178.88818.94429.00009.05559.11079.16559.22019.27449.32849.3821
Columns89through99
9.43549.48849.54129.59359.64569.69739.74869.79969.85029.90059.9505
Column100
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