天一专升本高数知识点docxWord文档格式.docx
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Iimf（X）=Iimf（X）=A
X_.X）…X）IX）
注：
此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8连续、间断
连续的定义：
Iim诃=IimDlf（x0：
x）-f（xo^-0
或Iimf（χ）=f（x0）
XrX）
间断：
使得连续定义Iimf（x）=f（x0）无法成立的三种情况
f（Xo）不存在，f（Xo）无意义
∖Iimf（x）不存在
xrxo
IIimf（X）式f（Xo）
Lx—sxo
9、间断点类型
（1）、第二类间断点:
（2）、第一类间断点:
Iimf（x）、Iimf（x）至少有一个不存在
X）X）…X=X）
Iimf（x）、Iimf（x）都存在
XJX^^XJXo
可去间断点:
Iimf（x）=limf（x）
X》X0一XJXO
跳跃间断点：
Iimf（x）=Iimf（x）
Lx→⅞—IXo
在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是"
第二类”然后再判断是不是第
一类间断点；
左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”
io、闭区间上连续函数的性质
（1）最值定理：
如果f（x）在la,b1上连续，则f（x）在la,b上必有最大值最小值。
（2）•零点定理：
如果f（x）在la,b1上连续，且f（a）f（b）：
o,贝yf（x）在a,b内至少存在一点
第三讲中值定理及导数的应用
1、罗尔定理
如果函数目=f（X）满足：
（1）在闭区间la,b上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）f（a）=f（b）,
则在（a,b）内至少存在一点，使得f（）=O
2、拉格朗日定理如果^f（X）满足
（1）在闭区间la,b上连续
f（b）-f（a）
则在（a,b）内至少存在一点，使得f（）=
b—a
（*）推论1:
如果函数^f（X）在闭区间⅛,b】上连续，在开区间（a,b）内可导，且f（X）0，那么
在（a,b）内f（x）=c恒为常数。
只有常量函数在每一点的切线斜率都为Oo
（*）推论2:
如果f（x）,g（x）在la,b】上连续，在开区间（a,b）内可导，且f（x）=g（x）,χ∙（a,b）,
3、驻点
满足f（x）=0的点，称为函数f（x）的驻点。
几何意义：
切线斜率为O的点，过此点切线为水平线
设f（X）在点Xo的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点f（x）的极大值，Xo称为极大值点。
X,有f（x）：
：
f（Xo）,则称f（Xo）为函数
4、极值的概念
X,有f（x）f（X0）,则称f（X0）为函数
设f（X）在点X0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点f（X）的极小值，X0称为极小值点。
在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
5、拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
6、
设f（x）在（a,b）内可导，如果f（x）0,则f（x）在（a,b）内单调增加;
如果f（x）：
0,则f（x）在（a,b）内单调减少。
在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，f（X）0；
在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，f（X）<
0；
7、取得极值的必要条件
可导函数f（X）在点x0处取得极值的必要条件是f（x0）=0
8取得极值的充分条件
第一充分条件：
设f（X）在点Xo的某空心邻域内可导，且f（X）在Xo处连续，则
（1）如果XXo时，f（X）0;
XXo时，f（X）0,那么f（x）在X。
处取得极大值f（X°
）；
（2）如果X：
Xo时，f（X）：
XX0时，f（X）•0,那么f（x）在X。
处取得极小值f（X。
f（X）同号，那么
f（X）在x0处没有取得极值;
在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。
第二充分条件：
设函数f（x）在点X。
的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f（X。
）=O，f（Xo）-0
贝U
（1）如果「（x0）：
0,那么f（X）在X0处取得极大值f（X0）；
（2）如果「（x0）∙0,那么f（X）在X0处取得极小值f（X0）
9、凹凸性的判定
设函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数，
（1）如果f”（x）∙0,x∙（a,b）,那么曲线f（x）在（a,b）内凹的;
（2）如果f”（x）：
0,x∙（a,b）,那么f（x）在（a,b）内凸的。
图像表现:
/
凹的表现
10、渐近线的概念
凸的表现
曲线f（x）在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
（1）水平渐近线：
若limf（X）=A,则y=f（x）有水平渐近线y=A
⑵垂直渐近线：
若存在点x0,limf（x）=Q,则y=f（x）有垂直渐近线X=x0
X
11、
洛必达法则
遇到“0”、“二”，就分子分母分别求导，直至求出极限。
O
如果遇到幕指函数，需用f（X）=enf（X）把函数变成“0
第二讲导数与微分
1、导数的定义
（1）、f,（xo}=iim^y=iimf（χ0+^χ）—f（χ0^=o
（2）、
f（Xo）=Ihm
f（X。
h）-f（X。
）
h
（3）、
）叽
f（X）-f（Xo）
X一X。
使用时务必保证χ0后面和分母保持一致，不一致就拼凑。
2、导数几何意义：
f（X。
）在X=X。
处切线斜率
法线表示垂直于切线，法线斜率与f（X。
）乘积为一1
3、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
4、求导方法总结
（1）、导数的四则运算法则
F
UV=UV
（U■V）二U*VV∙U
Z∖FF
U_UV—VU
2
IV丿V
（2）、复合函数求导：
y=MLX虹由y=f（u）与U=二（X）复合而成，则
dydy,dUdχdUdχ
（3）、隐函数求导
对于F（X,y）=O,遇到y,把y当成中间变量U然后利用复合函数求导方法。
（4）、参数方程求导
dy
'
x=9（t）Jy=屮
确定
（t）
可导函数y=f（X）,则dy
dx
__dt
二（t）
dt
d2y
dx2
d（dy、
d（）
d（dy）
（5）、对数求导法先对等号两边取对数,
（6）、幕指函数求导
再对等号两边分别求导
幕指函数目=U（X）V（X）,利用公式^eIna
y=elnu（X）V（X）
V（X）lnU（x）
e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：
优选选择第二种方法。
5、高阶导数
对函数f（x）多次求导，直至求出。
6、微分
dy=ydx
微分公式本质上就是求导公式，后面加
7、可微、可导、连续之间的关系
可微=可导
可导=连续，但连续不一定可导
8可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图
dx,不需要单独记忆。
y=x在χ=0既连续又可导。
所以可导比连续的要求更高。
y=X在χ=0只连续但不可导。
第四讲不定积分
、原函数与不定积分
1、原函数：
若F（X）=f（x）,则F（X）为f（x）的一个原函数；
2、不定积分：
f（x）的所有原函数F（x）+C叫做f（x）的不定积分，记作.f（x）dx=F（x）∙C
二、不定积分公式
求导公式反着记就是不定积分公式
三、不定积分的重要性质
1、〔f（x）dχl=f（x）或df（x）dx=f（x）dx
2、f（x）dx=f（x）C
求导与求不定积分互为逆运算。
四、积分方法
1、基本积分公式
2、第一换元积分法（凑微分法）
把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。
3、第二换元积分法
、axb,令i=axb
一a-x2令X=asint
三角代换*∙√x2—a2令X=asect
r'
χ2+a2令x=atant
三角代换主要使用两个三角公式：
Sin2t■cos21=1,1tan2t=SeCt
4、分部积分法UdV=UV-VdU
第五讲定积分
1、定积分定义
bn
af（x）dx"
imJf（J%
如果f（x）在la,b上连续，则f（x）在la,b】上一定可积。
理解：
既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。
2、定积分的几何意义
（1）如果f（x）在fe,b】上连续，且f（x）>
O,则[f（x）dx表示由f（x）,x=a,x=b,χ轴所围成的
b
曲边梯形的面积。
S=af（x）dx。
（2）如果f（x）在a,b上连续，且f（x）：
O，S=-Rt3f（x）dx。
3、定积分的性质：
bb
（1）akf（x）dx=k[f（x）dx
bbb
（2）αf（X）-g（x）dx=αf（x）dx-.αg（x）dx
bCb
（3）af（x）dx=αf（x）dxcg（x）dx
baab
（4）{1dx=b-aLaf（x）dx=0{f（x）dx=-Jaf（x）dx
（5）如果f（X）Eg（x）,则f（x）dxJg（x）dx
Ia“a
（6）设m,M分别是f（x）在la,b1的min,max,则
m（b一a）岂f（x）dx乞M（b一a）
a
M
I►
记忆：
小长方形面积乞曲边梯形面积乞大长方形面积
（7）积分中值定理
如果f（x）在⅛,b】上连续，则至少存在一点EE【a,b】，使得Jaf（X）dx=f（：
）（b—a）
总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。
称」f（x）dx为f（X）在a,b1上的平均值。
^aa
4、积分的计算
（1）、变上限的定积分
（af（t）dt）=f（x）
由此可看出来S（X）=Laf（t）dt是f（X）的一个原函数。
而且变上限的定积分的自变量只有一个是X而不是t
（2）、牛顿一莱布尼兹公式
设f（x）在a,b】上连续，F（X）是f（x）的一个原函数，则ff（χ）dx=F（x）；
=F（b）—F（a）由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，
只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。
基本积分公式
第一换元积分法（凑微分法）
第二换元积分法
[分部积分法
5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分
（1）、若f（x）在[—a,a】上为奇函数，则[f（x）=O
（2）、若f（x）在[—a,a】上为偶函数，则Jf（X）=2j0f（x）dx
此方法只适用于对称区间上的定积分。
C
f（x）dx二Iimaf（x）dx
f（x）dx=l∣m⅛f（x）dx
C÷
f（x）dX=L（X）dxcf（x）dx
上函数减去下函数在边界
la,b1上的定积分。
面积S=f〔f（X）—g（x）dx,记忆：
面积等于
面积S=CdH（y）—（y）dy
把头向右旋转90°
就是第一副图。
8、旋转体体积
abX
曲线
（2）、
（1）y↑∕∖f^）
阴影部分绕绕X轴旋转一周所得旋转体体积：
VX=兀f〔f2（X）-g2（x）dx
X-τ（y）绕y轴旋转一周所得旋转体体积
=Q
G
（y）
阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积：
Vy=兀『b2（y）—L2（y）dy
）、直线与平面的相关考试内容
、二元函数的极限
定义：
设函数Z=f（X,y）在点（xo,y°
）某邻域有定义（但（Xo,yo）点可以除外），如果当点（x,y）无论沿着任何途径趋向于（χ0,y0）时，Z=f（x,y）都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点（x,y）趋向于（x0,y0）时，z=f（x,y）以A为极限，记为
（x,y）r（xo,y°
二、二元函数的连续性
若Iimf（x,y）=f（xny°
）,则称Z=f（x,y）在点（χ°
y°
）连续。
（x,y）―（xo,yo）
z=f（x,y）的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲
线。
三、二元函数的偏导数
四、偏导数求法
由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。
五、全微分：
dzdxdy
.l~-l.l~∙.
XV
六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系
二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。
若偏导存在且连续，则一定可微。
函数Z=f（x,y）的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。
七、二元复合函数求偏导
设Z=f（u,v）,u=（x,y）,v-：
（x,y），
L、.∙-∙1.∙-∙1.∙-∙l.∙-∙1
ZZUZV贝y
L、L、L、
XUXVX
有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。
八、隐函数求偏导
方程F（x,y,z）=O确定的隐函数为z=f（x,y）,则对等号两边同时对X求导，遇到Z的函数，把Z当成中间变量。
第八讲多元函数积分学知识点
1、
f（x,y）dxdy=
D
几何意义：
代表由
f（x,y），D围成的曲顶柱体体积。
重积分的概念、性质
2、性质：
（1）!
]kf（x,y）dxdy=kf（x,y）dxdy
DD
（2）〔f（x,y）g（x,y）dxdy「f（x,y）dxdy+g（x,y）dxdy
DDD
（3）、JJay=D
（4）D=DlD2，f（x,y）dxdy=f（x,y）dxdy+f（x,y）dxdy
DD1D2
（5）若f（X,y）乞g（x,y）,则f（x,y）dxd^g（x,y）dxdy
（6）若m空f（x,y）乞M,则mD-f（x,y）dxdy-MD
⑺设f（x,y）在区域D上连续，则至少存在一点「，）D,使..f（x,y）dxd^f（,）D
、计算
（1）D：
a乞X岂b"
1（x）乞y乞∖（x）
b⅛（x）
f（x,y）dxdy=,%、心）f（x,y）dy
（2）D:
d,1（y）zχ∖（y），
dQ（X）
f（x,y）dxdy=cdy心）f（x,y）dy
D1
技巧：
“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围
（3）极坐标下：
X=rcosτ1,y=rsin^,dxdy=rdrd-
∣∙,r（τl）
f（x,y）dxdy=d「0f（rcos二，rsin二）rdr
三、曲线积分
D一
1第一型曲线积分的计算
（1）若积分路径为L:
y=（x）,a-x-b,贝U
Lf（X,y）ds=：
f（x,（x））（一（x））2dx
（2）若积分路径为L:
X=（y）,c^y^d,贝U
Lf（x,y）ds=：
f（「（y）,y）J^F（y））2dy
‘X=e（t）α
（3）若积分路为L:
」，α≤t≤B,则
A=%）
Lf（x,y）ds^j（（t）,（t））..（—（t））2—L（t））2dt
2、第二型曲线积分的计算
y="
x）,起点X=a,终点y=b,贝y
LP（x,y）dx+Q（x,y）dy={IP（x,d（χ））+Q（xf（X））A（X）dx
（2）若积分路径为L:
X=（y），起点y=c,终点y=d,贝U
LP（χ,y）dχQ（x,y）d厂CdIPC:
（y）,y）^:
（y）QC（y）,y）dy
X=（I）（t）P
（3）若积分路为L:
」，起点t=α,终点t=P,贝U
L（t）
LP（X,y）dxQ（x,y）dy=JP（（t）,（t））（t）Q（（t）,「（t））「（t）Idt
第九讲常微分方程
-、基本概念
（1）微分方程：
包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。
其中未知函数是一元函数的叫常微分
方程。
（2）微分方程的阶：
微分方程中未知函数导数的最高阶数。
（3）微分方程的解：
满足微分方程y=f（x）或f（x,y）=O。
前者为显示解，后者称为隐式解
（4）微分方程的通解：
含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解
（5）初始条件：
用来确定通解中任意常数的附加条件。
（6）微分方程的特解：
通解中的任意常数确定之后的解。
二、一阶微分方程
1、可分离变量的微分方程
（1）形如dy=f（x）g（y）的微分方程。
解法：
变形为
dy二g（y）
f（x）dx,
两边作不定积分求出通解。
（2）形如
令--
U,则y=UX,两边对X求导，然后代入原方程，则变量分离
2、一阶线性微分方程
一阶线性齐次微分方程
形如dy■P（X）y=0。
变量分离dx
一阶线性非齐次微分方程
形如-yP（X）^Q（X）解法：
常数变易法或公式法dx
一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:
在通常使用中建议选择常数变易法
-P（x）dxP（X）dx
y=eQ（x）edxC
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