天一专升本高数知识点docxWord文档格式.docx

1、Iim f （X）=Iim f （X） = AX_ .X） X）IX）注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8连续、间断连续的定义：Iim 诃=IimDl f （x0 ：x） - f （xo - 0或 Iim f （） = f （x0）XrX）间断：使得连续定义Iim f （x） = f （x0）无法成立的三种情况f （Xo）不存在，f （Xo）无意义 Iim f （x）不存在xrxoI Iim f （X）式 f（Xo）L xsxo9、间断点类型（1 ）、第二类间断点:（2）、第一类间断点:Iim f （x）、Iim f（x）至少有一个不存在X）X） X=X）Iim f（x）、Iim

2、 f（x）都存在X JX X JXo可去间断点:Iim f（x） = lim f（x）X X0 一 X JXO跳跃间断点：Iim f（x）= Iim f （x）L x IXo在应用时，先判断是不是“第二类间断点” ，左右只要有一个不存在，就是第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”io、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果 f（x）在la,b 1上连续，则f（x）在la,b上必有最大值最小值。（2） 零点定理：如果 f（x）在la,b 1上连续，且f（a） f （b） ： o ,贝y f （x）在a,b 内至少存在一点第三讲 中值定理及导数的应用1、

3、罗尔定理如果函数 目=f（X）满足：（1）在闭区间la, b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3） f（a） = f（b）,则在（a,b）内至少存在一点 ，使得f （ ） = O2、拉格朗日定理 如果 f（X） 满足（1）在闭区间la,b上连续f （b） - f （a）则在（a,b）内至少存在一点 ，使得f （）=b a（*）推论1 :如果函数 f（X） 在闭区间 ,b】上连续，在开区间（a,b）内可导，且 f （X） 0， 那么在（a, b）内f （x）=c恒为常数。只有常量函数在每一点的切线斜率都为 Oo （*）推论2 :如果f（x）,g（x）在la,b】上连续，在开区间（a,b）

4、内可导，且f（x）=g（x）, （a,b）,3、驻点满足f （x） = 0的点，称为函数f （x）的驻点。几何意义：切线斜率为 O的点，过此点切线为水平线设f （X）在点Xo的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f （x）的极大值，Xo称为极大值点。X,有 f（x） ： f （Xo）,则称 f （Xo）为函数4、极值的概念X,有f（x） f （X0）,则称f （X0）为函数设f （X）在点X0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f （ X）的极小值，X0称为极小值点。在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲

5、线的拐点。6、设f （x）在（a,b）内可导，如果f （x） 0 ,则f （x）在（a,b）内单调增加;如果f （x） ： 0,则f （x）在（a, b）内单调减少。在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加， f （X） 0 ；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少， f（X）O ,则f（x）dx表示由f（x）, x=a,x=b,轴所围成的b曲边梯形的面积。S= a f （x）dx。（2） 如果 f （x）在 a, b 上连续，且 f（x）：O， S=-Rt3 f（x）dx。3、 定积分的性质：b b（1）a kf （x）dx = k f （x）dxb b b（2） f （X） -

6、g（x）dx= f（x）dx - .g（x）dxb Cb（3）a f （x）dx = f （x）dx c g（x）dxb a a b（4） 1dx = b - a La f （x）dx = 0 f （x）dx = - Ja f （x）dx（5）如果 f （X） E g（x）,则 f （x）dx J g（x）dxIa “a（6）设m,M分别是 f（x） 在 la,b 1 的 min, max,则m（b 一 a）岂 f （x）dx 乞 M （b 一 a）aMI 记忆：小长方形面积乞曲边梯形面积乞大长方形面积（7）积分中值定理如果f （x）在,b】上连续，则至少存在一点 EE【a,b】，使得Jaf（

7、X）dx= f（：）（ba）总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变 成一个长方形。称 f （x）dx为f（X）在a, b 1上的平均值。 aa4、积分的计算（1）、变上限的定积分（a f（t）dt） = f（x）由此可看出来S （X） = La f （t）dt是f （X）的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有 一个是X而不是t（2）、牛顿一莱布尼兹公式设 f（x） 在 a,b 】上连续，F（X）是 f （x）的一个原函数，则 f f （）dx = F （x） ； = F （b） F （a） 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分

8、，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 基本积分公式第一换元积分法（凑微 分法） 第二换元积分法 分部积分法5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1）、若f （x）在a,a】上为奇函数，则 f（x） = O（2）、若 f （x）在a,a 】上为偶函数，则 Jf（X） = 2j0 f （x）dx此方法只适用于对称区间上的定积分。Cf （x）dx 二 Iim a f （x）dxf （x）dx = lm f （x）dxC f（x）dX=L（X）dx c f（x）dx上函数减去下函数在边界la,b 1上的定积分。面积S= ff （X） g（x） dx ,记忆：面积等于面积S=

9、Cd H（y） （y）dy把头向右旋转 90就是第一副图。8、旋转体体积a b X曲线（2 ）、（1） y f）阴影部分绕绕 X轴旋转一周所得旋转体体积： VX =兀f f2 （X） - g2（x） dxX - （y）绕y轴旋转一周所得旋转体体积=QG（y）阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积：Vy=兀b 2（y） L 2（y）dy）、直线与平面的相关考试内容、二元函数的极限定义：设函数Z= f （X, y）在点（xo,y）某邻域有定义（但（Xo,yo）点可以除外），如果当点（x, y）无论沿着 任何途径趋向于（0, y0）时，Z= f （x, y）都无限接近于唯一确定的常数 A，则称当点（

10、x, y）趋向于（x0, y0） 时，z = f （x, y）以A为极限，记为（x,y）r（xo,y二、 二元函数的连续性若 Iim f （x, y） = f （xn y）,则称 Z= f （x, y）在点（, y）连续。（x,y）（ xo ,yo ）z=f（x, y）的不连续点叫函数的间断点， 二元函数的间断点可能是一些离散点， 也可能是一条或多条曲线。三、 二元函数的偏导数四、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。五、全微分：dz dx dy.l-l .l.X V六、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可

11、偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数Z= f （x, y）的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、 二元复合函数求偏导设 Z= f （u,v）,u = （x, y）,v -：（x,y），L、 .-1 .-1 .-l .-1Z Z U Z V 贝yL、 L、 L、X U X V X有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏导方程F（x, y,z） =O确定的隐函数为 z= f （x, y）,则对等号两边同时对 X求导，遇到Z的函数，把Z当成 中间变量。第八讲多元函数积分学知识点1、f （x,y）dxdy =D,几何意义：代表由f （x, y），D围成

12、的曲顶柱体体积。重积分的概念、性质2、性质：（1）!kf（x,y）dxdy = k f（x,y）dxdyD D（2） f（x,y） g（x, y） dxdyf（x,y）dxdy+ g（x,y）dxdyD D D（3）、JJay = D（4）D=DlD2，f （x,y）dxdy= f （x,y）dxdy+ f （x, y）dxdyD D1 D2（5）若 f（X, y）乞 g（x,y）,则 f （x,y）dxd g（x,y）dxdy（6）若 m 空 f （x, y）乞 M ,则 mD - f （x,y）dxdy - MD设f （x, y）在区域D上连续，则至少存在一点 ，） D ,使.f （x,y

13、）dxd f （ , ）D、计算（1）D： a 乞 X 岂 b1（x）乞 y 乞 （x）b （x）f （x,y）dxdy = ,%、心）f （x,y）dy（2）D: d, 1（y） z （y），d Q（X）f （x, y）dxdy = c dy 心）f （x, y）dyD 1技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下： X = rcos1,y = rsin ,dxdy = rdrd -, r（l）f （x, y）dxdy = d0 f （r cos 二，r sin 二）rdr三、曲线积分D 一1第一型曲线积分的计算（1）

14、若积分路径为L: y = （x）,a - x - b ,贝ULf（X,y）ds= ：f（x, （x）（一（x）2dx（2）若积分路径为L: X= （y）,cyd ,贝ULf（x,y）ds= ：f（y）, y） JF（y）2dyX = e（t） （3）若积分路为L : ， tB ,则A=%）Lf（x, y）dsj（ （t）,（t）.（t）2L（t）2dt2、第二型曲线积分的计算 y=x）,起点X = a,终点y = b,贝yL P（x, y）dx + Q（x, y）dy = IP（x,d（） + Q（xf（X）A（X） dx（2）若积分路径为L : X= （y）， 起点y = c ,终点y =

15、d ,贝ULP（,y）d Q（x,y）d厂 CdIPC:（y）, y）: （y） QC （y）,y）dyX = （I）（t） P（3）若积分路为L: ，起点t = ,终点t= P ,贝UL（t）LP（X,y）dx Q（x,y）dy = J P（ （t）, （t） （t） Q（ （t）,（t）（t） Idt第九讲常微分方程-、基本概念（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。（3）微分方程的解：满足微分方程 y = f （x）或f （x,y） =O。前者为显示解，后者称为隐式解（

16、4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程（1）形如dy = f（x）g（y）的微分方程。解法：变形为dy 二 g（y）f （x）dx,两边作不定积分求出通解。（2）形如令-U ,则y = UX ,两边对X求导，然后代入原方程，则变量分离2、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程形如dy P（X） y = 0。变量分离 dx一阶线性非齐次微分方程形如-y P（X） Q（X） 解法：常数变易法或公式法 dx一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:在通常使用中建议选择常数变易法-P（x）dx P（X） dxy = e Q（x）e dx C