函数的性质知识点总结Word下载.docx
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f（x）=0或f（x）/f（-x）=±
1来判定;
（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）凑配法
2）待定系数法
3）换元法
4）消参法
10.函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
2利用图象求函数的最大（小）值
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）;
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数，若，则=
5.求下列函数的值域：
（3）（4）
6.已知函数，求函数，的解析式
7.已知函数满足，则=。
8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴⑵⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证：
.
函数的性质知识点总结第2篇
1.函数的奇偶性
（1）若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（-x）;
（2）若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）=0（可用于求参数）;
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f（x）±
f（-x）=0或（f（x）≠0）;
（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;
偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出即可;
若已知f[g（x）]的定义域为[a,b],求f（x）的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g（x）的值域（即f（x）的定义域）;
研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上;
（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然;
（3）曲线C1：
f（x,y）=0,关于y=x+a（y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f（y-a,x+a）=0（或f（-y+a,-x+a）=0）;
（4）曲线C1:
f（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：
f（2a-x,2b-y）=0;
（5）若函数y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（a-x）恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称;
（6）函数y=f（x-a）与y=f（b-x）的图像关于直线x=对称;
4.函数的周期性
（1）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=f（x-a）或f（x-2a）=f（x）（a>
0）恒成立,则y=f（x）是周期为2a的周期函数;
（2）若y=f（x）是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为2︱a︱的周期函数;
（3）若y=f（x）奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为4︱a︱的周期函数;
（4）若y=f（x）关于点（a,0）,（b,0）对称，则f（x）是周期为2的周期函数;
（5）y=f（x）的图象关于直线x=a,x=b（a≠b）对称，则函数y=f（x）是周期为2的周期函数;
（6）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=-f（x）（或f（x+a）=，则y=f（x）是周期为2的周期函数;
5.方程
（1）方程k=f（x）有解k∈D（D为f（x）的值域）;
（2）a≥f（x）恒成立a≥[f（x）]max,;
a≤f（x）恒成立a≤[f（x）]min;
（3）（a>
0,a≠1,b>
0,n∈R+）;
logaN=（a>
0,b≠1）;
（4）logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
alogaN=N（a>
0,a≠1,N>
0）;
6.映射
判断对应是否为映射时，抓住两点：
（1）A中元素必须都有象且唯一;
（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
7.函数单调性
（1）能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性;
（2）依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
8.反函数
对于反函数，应掌握以下一些结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数;
（2）奇函数的反函数也是奇函数;
（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
（4）周期函数不存在反函数;
（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
（5）y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A，值域为B，则有f[f--1（x）]=x（x∈B）,f--1[f（x）]=x（x∈A）.
9.数形结合
处理二次函数的问题勿忘数形结合;
二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向;
二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
10.恒成立问题
恒成立问题的处理方法：
（1）分离参数法;
（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解;
函数的性质知识点总结第3篇
高中数学函数知识点归纳总结
一、一次函数定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：
y=kx（k为常数，k≠0）
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：
通过如下3个步骤
（1）列表;
（2）描点;
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2.性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：
y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k>
0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<
0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>
0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b<
0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>
0时，直线只通过一、三象限;
0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）;
B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
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高中数学知识点总结
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函数图像的k值：
（y1-y2）/（x1-x2）
2.求与x轴平行线段的中点：
|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：
|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：
√（x1-x2）’2+（y1-y2）’2（注：
根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax’2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>
0时，开口方向向上，a<
0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：
y=ax’2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：
y=a（x-h）’2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：
y=a（x-x?
）（x-x?
）[仅限于与x轴有交点A（x?
，0）和B（x?
，0）的抛物线]
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2ak=（4ac-b’2）/4ax?
x?
=（-b±
√b’2-4ac）/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P（-b/2a，（4ac-b’2）/4a）
当-b/2a=0时，P在y轴上;
当Δ=b’2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>
0时，抛物线向上开口;
当a<
0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>
0），对称轴在y轴左;
当a与b异号时（即ab<
0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b’2-4ac>
0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b’2-4ac<
0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±
√b’2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax’2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax’2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax’2，y=a（x-h）’2，y=a（x-h）’2+k，y=ax’2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax’2
（0，0）
x=0
y=a（x-h）’2
（h，0）
x=h
y=a（x-h）’2+k
（h，k）
（-b/2a，[4ac-b’2]/4a）
x=-b/2a
当h>
0时，y=a（x-h）’2的图象可由抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位得到，
当h<
0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
0,k>
0时，将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）’2+k的图象;
0,k<
0时，将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）’2+k的图象;
0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）’2+k的图象;
0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）’2+k的图象;
因此，研究抛物线y=ax’2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）’2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax’2+bx+c（a≠0）的图象：
0时，开口向上，当a<
0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b’2]/4a）.
3.抛物线y=ax’2+bx+c（a≠0），若a>
0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;
当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<
0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;
当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax’2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）;
（2）当△=b’2-4ac>
0，图象与x轴交于两点A（x?
，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax’2+bx+c=0
（a≠0）的两根.这两点间的距离AB=|x?
-x?
|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<
0.图象与x轴没有交点.当a>
0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>
0;
0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<
0.
5.抛物线y=ax’2+bx+c的最值：
如果a>
0（a<
0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b’2）/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax’2+bx+c（a≠0）.
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：
y=a（x-h）’2+k（a≠0）.
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
）（a≠0）.
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
反比例函数
形如y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f（-x）=-f（x）,图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
当K>
0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K<
0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（x±
m）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
对数函数
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;
a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数
指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增;
a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性
注图：
（1）为奇函数
（2）为偶函数
1.定义
一般地，对于函数f（x）
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x）同时成立，那么函数f（x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f（-x）=-f（x）与f（-x）=f（x）都不能成立，那么函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：
①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：
判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f（x）比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征：
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f（x）为奇函数《==》f（x）的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
（1）.两个偶函数相加所得的和为偶函数.
（2）.两个奇函数相加所得的和为奇函数.
（3）.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
（4）.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
（5）.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
（6）.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
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