届高考数学二轮 空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用.docx
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届高考数学二轮空间中的平行与垂直关系2专题卷全国通用
专题限时集训（九）
空间几何体表面积或体积的求解
[建议A、B组各用时：
45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．（2017·唐山一模）一个几何体的三视图如图9 13所示，则其体积为（ ）
图9 13
A．π＋2 B．2π＋4
C．π＋4D．2π＋2
A [该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆柱，其体积V＝×2×1×2＋π×12×2＝2＋π.故选A.]
2．已知三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的体积之比为（ ）
A．1∶∶B．1∶2∶3
C．1∶2∶3D．1∶8∶27
C [设正方体的棱长为a，则其内切球半径R1＝；棱切球直径为正方体各面上的对角线长，则半径R2＝a；外接球直径为正方体的体对角线长，所以半径R3＝a，所以这三个球的体积之比为13∶（）3∶（）3＝1∶2∶3.故选C.]
3．（2016·郑州一模）一个几何体的三视图如图9 14所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
【导学号：
04024089】
图9 14
A. B．
C．2 D．
B [由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE，∴体积V＝××＝，故选B.]
4．（2017·郑州二模）刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：
“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：
把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2∶1，这个比率是不变的．如图9 15是一个阳马的三视图，则其表面积为（ ）
图9 15
A．2B．2＋
C．3＋D．3＋
B [由三视图可得该四棱锥的底面是边长为1的正方形，有一条长度为1的侧棱垂直于底面，四个侧面三角形都是直角三角形，侧面积为2××1×1＋2×××1＝1＋，底面积是1，所以其表面积为2＋，故选B.]
5．（2016·湖北七市模拟）已知某几何体的三视图如图9 16所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）
图9 16
A.B．2
C.3D．4
B [分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V＝×22×3－××2×＝2，故选B.]
二、填空题
6．（2017·济南一模）已知某几何体的三视图及相关数据如图9 17所示，则该几何体的体积为________．
图9 17
[由三视图得该几何体是底面半径为1，高为2的圆锥体的一半和一个底面半径为1，高为2的圆柱体的一半的组合体，所以其体积为××π×12×2＋×π×12×2＝.]
7．（2017·呼和浩特一模）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积为________.
【导学号：
04024090】
5π [因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面体SABC的外接球半径等于以长、宽、高分别为SA，AB，BC三边长的长方体的外接球半径，因为SA＝AB＝1，BC＝，所以2R＝＝，则R＝，故球O的表面积为S＝4πR2＝5π.]
8．已知三棱锥PABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．
3＋2 [依题意，边长是的等边△ABC的外接圆半径r＝·＝1.∵球O的表面积为36π＝4πR2，
∴球O的半径R＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝＝2，∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋2.]
三、解答题
9．（2016·合肥二模）如图9 18，P为正方形ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E为PD的中点．
图9 18
（1）求证：
PA⊥CE；
（2）求四棱锥PABCD的表面积．
[解]
（1）证明：
取PA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面．
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.3分
∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B，
∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE．6分
（2）设四棱锥PABCD的表面积为S，
∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B，
∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，8分
由
（1）知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，
故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形．
S▱ABCD＝2×2＝4，
S△PBC＝S△PAB＝×2×2＝2，
S△PCD＝S△PDA＝×2×＝2，10分
∴S表＝S▱ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD
＝8＋4．12分
10．如图9 19，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.
图9 19
（1）求证：
平面DEFG∥平面ABB1A1；
（2）当底面ABC水平放置时，求液面的高．
【导学号：
04024091】
[解]
（1）证明：
因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1．6分
（2）当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由
（1）可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，△ABC的面积为S，则由已知条件可知，△CDE∽△ABC，且S△CDE＝S，所以S四边形ABED＝S.9分
由于两种状态下液体体积相等，所以V液体＝Sh＝S四边形ABEDl＝Sl，即h＝l.
因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l．12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．（2017·重庆二模）某几何体的三视图如图9 20所示，则该几何体的体积为（ ）
图9 20
A. B．
C.D.
B [根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形（直角边长分别为1,2，高为1）；该三棱锥的底面是一个直角三角形（腰长分别为1,2，高为1），因此该几何体的体积为×2×1×1＋××2×1×1＝，选B.]
2．（2016·唐山二模）某几何体的三视图如图9 21所示，则该几何体的体积为（ ）
图9 21
A．6π＋4B．π＋4
C.D．2π
D [由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为π×12×1＋π×12×2＝2π，故选D.]
3．（2017·深圳二模）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图9 22所示，则该几何体的体积为（ ）
【导学号：
04024092】
图9 22
A．24B．48
C．72D．96
B [由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C，G均为长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V＝×6×4×4＝48，故选B.
]
4．（2017·银川二模）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2πB．4π
C．8πD．16π
D [因为S△ABC＝×（）2＝3为定值，要使四面体ABCD的体积最大，只需点D到平面ABC的距离h最大．由题意得S△ABCh≤3，解得h≤3，所以h的最大值为3.当h最大时，设AC的中点为E，因为AB＝BC，AB⊥BC，所以AC＝2，DE⊥平面ABC，且球心在DE上．设球的半径为r，则r2＝（3－r）2＋（）2，解得r＝2，所以这个球的表面积为4πr2＝4π×22＝16π，故选D.]
二、填空题
5．（2016·广州二模）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为________.
【导学号：
04024093】
[由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1,其高h＝1，∴球半径为R＝＝＝，∴该球的体积V＝πR3＝×3π＝.]
6．如图9 23，在三棱锥ABCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．
图9 23
π [取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF＝BF＝2，EF＝＝，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，
所以OE＋OF＝.
设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有R2＝AE2＋OE2，R2＝CF2＋OF2，所以AE2＋OE2＝CF2＋OF2，（）2＋OE2＝22＋OF2，
所以OF2－OE2＝2，
又OE＋OF＝，则OF2＝，R2＝，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝π.]
三、解答题
7．如图9 24，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF.
图9 24
（1）若M为EA中点，求证：
AC∥平面MDF；
（2）若AB＝2，求四棱锥EABCD的体积．
[解]
（1）证明：
设EC与DF交于点N，连接MN，
在矩形CDEF中，点N为EC中点，
因为M为EA中点，所以MN∥AC．2分
又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，
所以AC∥平面MDF．6分
（2）取CD中点为G，连接BG，EG，
平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，
AD⊂平面ABCD，AD⊥CD，
所以AD⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD，7分
所以ED的长即为四棱锥EABCD的高．8分
在梯形ABCD中，AB＝CD＝DG，AB∥DG，
所以四边形ABGD是平行四边形，BG∥AD，所以BG⊥平面CDEF.
又DF⊂平面CDEF，所以BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG＝B，
所以DF⊥平面BEG，DF⊥EG．10分
注意到Rt△DEG∽Rt△EFD，所以DE2＝DG·EF＝8，DE＝2，
所以VEABCD＝S梯形ABCD·ED＝4．12分
8．如图9 25，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM.
图9 25
（1）求证：
OM∥平面ABD；
（2）若AB＝BC＝2，求三棱锥ABDM的体积．
[解]
（1）证明：
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，点O为CD的中点，
∴OM⊥CD．1分
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD＝CD，OM⊂平面CMD，
∴OM⊥平面BCD．2分
∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB.3分
∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，∴OM∥平面ABD．4分
（2）法一：
由
（1）知OM∥平面ABD，
∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离.5分
过点O作OH⊥BD，垂足为点H.
∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面B
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