历年备战中考数学易错题汇编二次函数练习题含答案.docx

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历年备战中考数学易错题汇编二次函数练习题含答案

2020-2021历年备战中考数学易错题汇编-二次函数练习题含答案

一、二次函数

1．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

【答案】

（1）点B的坐标为（1，0）.

（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②线段QD长度的最大值为.

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标．

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,-q-3），从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为（q,q2+2q-3），从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.

【详解】

解：

（1）∵A、B两点关于对称轴对称，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.

设点P的坐标为（p,p2+2p-3），则.

∵，∴，解得.

当时；当时，，

∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：

，解得：

.

∴直线AC的解析式为.

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为（q,-q-3）.

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为（q,q2+2q-3）.

∴.

∵，

∴线段QD长度的最大值为.

2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？

如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？

如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】

（1）y=﹣+x+3；

（2）有最大值,;（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．

【解析】

试题分析:

（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：

y=﹣x+3，表示PD=﹣，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：

，代入得：

L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；

（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：

CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：

CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣+n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．

试题解析:

（1）由OC=3OA，有C（0，3），

将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

，

故抛物线的解析式为：

y=﹣+x+3；

（2）如图2，设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，

∵直线BC经过B（4，0），C（0，3），

设直线BC的解析式为：

y=kx+b，

则

解得：

∴直线BC的解析式为：

y=﹣x+3，

则D（m，﹣），PD=﹣，

∵PE⊥x轴，PE∥OC，

∴∠BDE=∠BCO，

∵∠BDE=∠PDF，

∴∠PDF=∠BCO，

∵∠PFD=∠BOC=90°，

∴△PFD∽△BOC，

∴，

由

（1）得：

OC=3，OB=4，BC=5，

故△BOC的周长=12，

∴，

即L=﹣（m﹣2）2+，

∴当m=2时，L最大=；

（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，

当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，

理由是：

由轴对称的性质知：

CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，

当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，

∴∠PCQ=∠CPD，

∴∠PCD=∠CPD，

∴CD=PD，

∴CD=DP=PQ=QC，

∴四边形CDPQ是菱形，

过D作DG⊥y轴于点G，

设P（n，﹣+n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣），

在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=，

而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|，

∵PD=CD，

∴﹣①，

﹣，

解方程①得：

n=或0（不符合条件，舍去），

解方程②得：

n=或0（不符合条件，舍去），

当n=时，P（，），如图3，

当n=时，P（，﹣），如图4，

综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．

点睛:

本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．

3．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：

（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？

若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．

【答案】

（1）A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．S△PBC最大值为

（3）或时，△BDM为直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：

①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．

【详解】

解：

（1）令y=0，则，

∵m＜0，∴，解得：

，．

∴A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C1的表达式为（），

把C（0，）代入可得，．

∴Ｃ1的表达式为：

，即．

设P（p，），

∴S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=．

∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．

（3）由C2可知：

B（3，0），D（0，），M（1，），

∴BD2=，BM2=，DM2=．

∵∠MBD<90°,∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM2+DM2=BD2，即＋=，

解得：

（舍去）．

当∠BDM=90°时，BD2+DM2=BM2，即＋=，

解得：

，（舍去）．

综上所述，或时，△BDM为直角三角形．

4．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】

（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；

（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜时，y1＞y2，②当b＝时，y1＝y2，③当＜b＜时，y1＜y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：

图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．

【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；

（3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

联立EF，AB得方程组，

解得，

∴点E（，），F（0，1）．

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜，

∴0＜b＜．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣＝﹣b，∴b＝，

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：

①当0＜b＜时，y1＞y2，

②当b＝时，y1＝y2，

③当＜b＜时，y1＜y2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解

（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解

（2）的关键是利用函数图不等式的关系：

图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：

a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

5．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：

每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价元,每星期的销售量为件.

（1）降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

（2）当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】

（1）这一星期中每件童装降价20元；

（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：

（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，

解得：

x＝40，

60﹣40＝20元，

答：

这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000

＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：

每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛