江西省上饶市横峰中学统招班学年高二上学期开学考试数学理试题.docx
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江西省上饶市横峰中学统招班学年高二上学期开学考试数学理试题
江西省上饶市横峰中学（统招班）【最新】高二上学期开学考试数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知向量，则下列能使成立的一组向量、是（）．
A．，B．，
C．，D．，
2．单位圆中，的圆心角所对的弧长为（）．
A．B．C．D．
3．已知点，，向量，则向量（）．
A．B．C．D．
4．已知角终边上一点，则（）
A．B．C．3D．
5．下列结论一定正确的是（）．
A．若，则B．若；则的最大值为2
C．若，则D．若，则的最小值为2
6．设、、分别为三边、、的中点，则
A．B．C．D．
7．圆与圆的公切线的条数为（）．
A．1B．2C．3D．4
8．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（）．
A．B．C．D．
9．设为锐角，若，则的值为（）．
A．B．C．D．
10．设、为单位向量，且、夹角为，若，，则向量在方向上的投影为（）．
A．B．C．D．
11．已知函数的最小正周期为，将的图像沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数，则的值可以为（）．
A．B．C．D．
12．已知圆，是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值为（）．
A．B．0C．D．3
二、填空题
13．已知向量，，若向量与垂直，则______．
14．已知直线与圆相切，则实数a的值为______．
15．在数列中，，，则______．
16．已知正实数，满足，则的最小值为______．
三、解答题
17．已知向量，．
（1）当时，求的值；
（2）设，求的单调递减区间．
18．已知向量，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求和向量与夹角的余弦值．
19．已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值．
20．已知函数（其中、、）的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像上一个最低点为．
（1）求的解析式及对称轴方程；
（2）当时，求的值域．
21．已知正项等比数列满足，，数列满足．
（1）求和；
（2）求数列的前项和；
（3）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．
22．解关于的不等式．
参考答案
1．D
【分析】
作为基底不共线即可，判断四组向量是否共线即可得到答案．
【详解】
作为基底不共线即可，
因为零向量与任何非零向量共线，所以共线；
，、共线；
不共线；
，、共线，
综上，能使成立的一组向量是
故选：
．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了向量共线的定义，属于基础题．
2．A
【分析】
将转化为弧度，即可得出答案.
【详解】
，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.
故选：
A.
【点睛】
本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.
3．B
【分析】
设，根据，求出，即得的坐标.
【详解】
设，因为，所以，可得，
解得，可得.
所以.
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．B
【分析】
求出，利用诱导公式以及商的关系化简原式，代入即可得答案
【详解】
角终边上一点，
，
则
，
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义、诱导公式，同角三角函数关系的应用，考查齐次式的计算，属于基础题.
5．B
【分析】
利用特例法判断AC；换元后利用导数判断D；利用换元法判断B.
【详解】
对于A,若,，则不成立，A不正确；
对于B,，设，，则，所以B正确；
对于C,时，则不成立，C不正确；
对于，当时，令，即有的导数为，
在，递减，无最小值，不正确；
故选：
B
【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查换元法求最值，考查了导数的应用，属于综合题.
6．D
【分析】
根据条件及向量加法的平行四边形法即可求出．
【详解】
解：
因为、、分别为的三边、、的中点，
所以
，
故选：
．
【点睛】
本题考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，以及向量的数乘运算，属于基础题．
7．D
【分析】
计算圆心距，根据圆心距与关系判断圆与圆的位置关系，得到公切线条数.
【详解】
圆心距
，两圆外离，公切线有4条.
故选：
D
【点睛】
本题考查了圆与圆的位置关系，公切线的条数这个知识点：
外离时公切线4条；外切时公切线3条；相交时公切线2条；内切时公切线1条；内含时公切线0条.
8．B
【分析】
根据条件求得首项与公差，进而得数列的通项公式.结合裂项求和法即得数列的前2020项和.
【详解】
设等差数列的公差为，
，，
，解得，
由等差数列通项公式可得，
则.
所以
.
故选：
B.
【点睛】
本题考查了等差数列前n项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.
9．D
【分析】
根据为锐角，且，得到，然后利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解.
【详解】
因为为锐角，且，
所以，
所以，
，
故选：
D
【点睛】
本题主要考查三角函数诱导公式，二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．C
【分析】
根据条件求出和，再利用求出投影即可.
【详解】
，，
，，
则向量在方向上的投影为.
故选：
C.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，属于基础题.
11．B
【分析】
先化简函数，利用图象的平移得出平移后的函数的解析式，代入选项，由三角函数的奇偶性得出选项.
【详解】
因为的最小正周期为，所以，所以，所以，
将的图像沿轴向右平移个单位后函数的解析式设为，则，
对于A选项：
时，不是偶函数，故A不正确；
对于B选项：
时，是偶函数，故B正确；
对于C选项：
时，不是偶函数，故C不正确；
对于D选项：
时，不是偶函数，故D不正确；
故选：
B.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，函数图象的平移，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.
12．D
【分析】
由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．
【详解】
圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，
如图可得：
＝＝+—＝，
点是直线上，所以＝＝，
∴的最小值是＝.
故选：
D．
【点睛】
本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．
13．
【分析】
利用向量垂直的性质直接求解．
【详解】
解：
向量，，
，
向量与垂直，
，
解得．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14．-12或8
【解析】
试题分析：
解：
圆的标准方程为,
所以圆心坐标为，半径为2
由直线与圆相切得
所以
得或
考点：
1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.
15．
【分析】
由已知得：
当时，，与原式相减得，即，递推可得答案.
【详解】
由题意得：
当时，，所以，即，
也即是，所以，
所以，
故答案为：
.
【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的通项，属于中档题.
16．
【分析】
变形为，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】
正实数，，即，；
，
则，
那么：
当且仅当时，即取等号．
的最小值为：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了构造不等式的思想，“乘1法”的应用与利用基本不等式求最值，属于中档题．
17．
（1）；
（2），.
【分析】
（1）由向量共线和同角三角函数的关系可得的值，可得，代值计算可得；
（2）由向量数量积运算以及辅助角公式，利用整体代入法解不等式可求的单调递减区间
【详解】
（1），，
当时，，
解得，
则．
（2）由题可知：
，
由，
得，
所以的单调递减区间为，．
【点睛】
本题主要三角同角函数的关系，二倍角公式、辅助角公式，涉及向量的数量积运算和向量平行关系，同时考查了正弦函数的单调性，属于中档题.
18．
（1）；
（2）．
【分析】
（1）由可得，即可求出夹角；
（2）根据可求出，再利用可求向量与夹角的余弦值.
【详解】
（1），
，
，则，得，
所以向量与的夹角．
（2），
又，
所以，
所以与的余弦值为．
【点睛】
本题考查向量模的求法，考查向量夹角的求法，属于基础题.
19．
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据条件可设圆方程为，利用几何法可建立弦长关系，求出；
（2）可知点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】
（1）圆心在射线上，则可设圆心为，其中，
圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，
则，
由弦长的几何关系得，
即，解得，
则圆的方程为；
（2）圆心到直线的距离为，
则直线与圆相离，点到直线的距离的最小值为.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，考查圆上的点到直线的距离的最值，属于基础题.
20．
（1）；；
（2）.
【分析】
（1）利用图象与轴相邻两个交点的距离为可得周期为，即可求出，根据最低点为可得出，代入点即可求出，根据正弦函数的对称轴性质可求出对称轴；
（2）根据得出，根据正弦函数的性质可求出的值域.
【详解】
（1）图象与轴相邻两个交点的距离为，
，即，则，，
图象上一个最低点为，则，
将点代入，，解得，
，
令，解得，
则对称轴方程为：
．
（2），，
所以，
所以的值域为．
【点睛】
本题考查三角函数解析式的求法，考查给定区间的三角函数最值的求法，属于基础题.
21．
（1），；
（2），；（3）.
【分析】
（1）设等比数列的公比为q，q>0，运用通项公式可得q，可得所求通项公式；再由对数的运算性质可得bn；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和；
（3）运用数列的单调性可得最值，可得，运用参数分离和基本不等式可得所求范围．
【详解】
（1）正项等比数列的公比设为q，q>0，
，可得，解得q=2（−1舍去），
可得；
；
（2），
前n项和，
，
两式相减可得
，
化简可得；
（3）若，且对所有的正整数n都有成立，
即为，设，
由，
可得，可得时,取得最大值，
，即为，
可得，
当且仅当时，取得最大值，
则.
【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式基本量运算，考查了错位相减法的应用，同时考查了利用数列的单调性求最大项，考查了计算能力，属于综合题.
22．答案见解析.
【分析】
原不等式化为，通过对与0的大小关系，与1的大小关系分类讨论即可得出．
【详解】
原不等式化为，
①时，，所以原不等式的解为；
②时，原不等式化为，所以原不等式的解为；
③时，，所以原不等式的解为；
④时，原不等式化为，所以原不等式的解为；
⑤时，，所以原不等式的解为.
综上可得：
原不等式的解为：
①时，原不等式的解为；
②时，原不等式的解为；
③时，原不等式的解为；
④时，原不等式的解为；
⑤时，原不等式的解为.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论等基础知识与基本技能方法，注意分类的标准和不重复、不遗漏的原则，属于中档题．
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