南通市泰州市届数学一模含参考答案Word下载.docx

南通市泰州市届数学一模含参考答案Word下载.docx

《南通市泰州市届数学一模含参考答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南通市泰州市届数学一模含参考答案Word下载.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．

（1）求cosβ的值；

（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：

（1）直线PA∥平面BDE；

（2）平面BDE⊥平面PCD．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．

18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．

（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

19．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．

（1）当时，求函数f（x）的最小值；

（2）若﹣1≤a≤0，证明：

函数f（x）有且只有一个零点；

（3）若函数f（x）有两个零点，数a的取值围．

20．已知等差数列{an}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜kn＜…）成等比数列，公比为q．

（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；

（2）当为何值时，数列{kn}为等比数列；

（3）若数列{kn}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值围．

市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：

几何证明选讲]

21．已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．

[选修4-2：

矩阵与变换]

22．已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'

（3，3），求矩阵A．

[选修4-4：

坐标系与参数方程]

23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．

[选修4-5：

不等式选讲]

24．求函数的最大值．

[必做题]共2小题，满分20分）

25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．

（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；

（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°

，数λ的值．

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

参考答案与试题解析

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．

【解答】解：

函数的最小正周期为，

故答案为：

．

2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B=　{1，3，5}　．

【考点】并集及其运算．

【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．

集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，

可得a+2=3，解得a=1，

即B={3，5}，

则A∪B={1，3，5}．

{1，3，5}．

3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为　﹣3　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．

∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，

∴z的实部为﹣3．

﹣3．

4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为　0.17　．

【考点】概率的基本性质．

【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．

∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，

∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．

故答案为0.17．

5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为　5　．

【考点】程序框图．

【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．

当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；

满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；

满足进行循环的条件，退出循环

故输出n值为5

5．

6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为　7　．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

作出不等式组对应的平面区域如图：

（阴影部分）．

由z=3x+2y得y=﹣x+z

平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得A（1，2），

代入目标函数z=3x+2y得z=3×

1+2×

2=7．

即目标函数z=3x+2y的最大值为7．

7．

则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为　20　．

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；

即可得答案．

根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；

对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；

比较可得：

S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；

20．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．

∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，

∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：

==

=

==（cm3）．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．

直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，

可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，

可得=．

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．

设最上面一节的容积为a1，

由题设知，

解得．

【考点】平面向量数量积的运算；

正弦定理．

【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．

在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，

由•+2•=•，

得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，

由余弦定理得：

（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），

化简得=2，

∴=，

由正弦定理得==．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：

斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．

由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，

即有tanx==，a＞0，

设交点P（m，n），

f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，

g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，

由两曲线在点P处的切线互相垂直，

可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，

且tanm=，

则=1，

分子分母同除以cos2m，

即有=1，

即为a2=1+，

解得a=．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．

令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，

x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：

x≥4；

≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：

x＞或x＜﹣，

故＜x＜4；

0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；

﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；

x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：

x＞1或x＜﹣2，

故x＜﹣2，

14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值围为　[，]　．

【考点】直线和圆的方程的应用．

【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值围．

在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），

由，可得C（1，）或（1，﹣）

解得BCmin==，

BCmax==．

[，]．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】

（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．

（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．

（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，

所以，=，

即．

（2）因为，，∴．

因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，

因为α为锐角，所以．

所以

，

即点．

【考点】平面与平面垂直的判定；

直线与平面平行的判定．

（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．

（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．

【解答】证明：

（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．

又因为E为PC的中点，

所以OE∥PA．…4分

又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

所以直线PA∥平面BDE．…6分

（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD．…8分

因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．…10分

又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，

所以OE⊥平面PCD．…12分

又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．

【考点】直线与椭圆的位置关系；

椭圆的标准方程．

（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．

（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；

当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．

（1）由题意得，，，…2分

解得，c=1，b=1．

所以椭圆的方程为．…4分

（2）由题意知OP的斜率存在．

当OP的斜率为0时，，，所以．…6分

当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．

由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，

所以．…9分

因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．

由得，所以OQ2=2k2+2．…12分

所以．

综上，可知．…14分．

【考点】函数模型的选择与应用．

（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．

（2）解法一：

设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．

解法二：

设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．

（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．

所以∠FPE=．所以FN⊥BC，

四边形MNPE为矩形．…3分

所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分

设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．

所以，，．…8分

由得

所以四边形MNPE面积为====…12分

当且仅当，即时取“=”．…14分

此时，（*）成立．

答：

当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，

最大值为m2．…16分

设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．

因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．

所以，．…8分

所以四边形MNPE面积为==…12分

=．

当且仅当，即时取“=”．…14分

当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，

最大值为m2．…16分．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；

根的存在性及根的个数判断；

利用导数研究函数的极值．

（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．

（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f

（1）=a﹣1＜0，，推出结果．

（3）由

（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；

在（x0，+∞）上单调递增．

要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：

lnx≤x﹣1．

设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．

（1）当时，．

所以，（x＞0）．…2分

令f'

（x）=0，得x=2，

当x∈（0，2）时，f'

（x）＜0；

当x∈（2，+∞）时，f'

（x）＞0，

所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．

所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分

（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．

所以当a≤0时，，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．…6分

因为当﹣1≤a≤0时，f

（1）=a﹣1＜0，，

所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．

综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分

（3）由

（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．

因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分

由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．

因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，

所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．

当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'

当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'

（x）＞0．

所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；

要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，

只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．

又因为，所以2lnx0+x0﹣1＞0，

又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h

（1）=0，

所以x0＞1，得．

又由，得，

所以0＜a＜1．…13分

以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．

当0＜a＜1时，，

因为，且f（x0）＜0．

所以函数f（x）在上有一个零点．

又因为（因为lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．

所以当0＜a＜1时，函数f（x）在有两个零点．

综上，实数a的取值围为（0，1）．…16分

下面证明：

设t（x）=x﹣1﹣lnx，所以，（x＞0）．

令t'

（x）=0，得x=1．

当x∈（0，1）时，t'

当x∈（1，+∞）时，t'

所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

所以当x=1时，t（x）有最小值t

（1）=0．

所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立．

【考点】数列与不等式的综合；

等比数列的性质．

（1）由已知得：

a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．

（2）设数列{kn}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{kn}为等比数列．

（3）由数列{kn}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．

要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值围．

（1）由已知可得：

a1，a3，a8成等比数列，

所以，…2分

整理可得：

4d2=3a1d．

因为d≠0，所以．…4分

（2）设数列{kn}为等比数列，则．

又因为，，成等比数列，

整理，得

因为，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．

因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分

当时，an=a1+（n﹣1）d=nd，所以．

又因为，所以．

所以，数列{kn}为等比数列．

综上，当时，数列{kn}为等比数列．…8分

（3）因