泰勒公式及其应用典型例题文档格式.docx
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一、【求解问题一】
问题一的求解就是确定多项式的系数口D，口1，…*%。
次有■J+仃1S-工u）斗占L）'
+…+&
方-%）日
•■勾=入（勺）
P；
（K）=及"
*（应・^0）+3^0-立淀4…+^aK（x-z0）M'
}
二^1=P；
（x0）
PZfx）=2L%+32%3一利）+43/（上一沔沪+…+为伽一1）冬•知广’
二2・y=p；
（Q
或@）=321%+432龟&
-毛）+543%Q-母）'
+…+叩（n-1）（n-T）（r-Jt^T-3
二3,2，1，知=尸怜。
）
上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:
一般地，有
用（上―1）0—•%=p渲（气）=
从而，得到系数计算公式：
%=
广3。
1（
广5）
ZI
尸（冲）
1：
-.!
⑵
二、【解决问题二】
泰勒（Tayler）中值定理
若函数「3）在含有*的某个开区间（白力）内具有直到"
1阶导数,
这里"
是工。
与耸之间的某个值。
先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:
这表明：
只要对函数&
（r）=尸⑥-成）及g。
）=。
一标）"
'
在笠与知
之间反复使用n+1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。
【证明］-11\
以工口与艺为端点的区间Ixo］或［马工d］记为T,1仁（门或）。
函数M）=N）-W在I上具有直至”+1阶的导数，
且■..L\〔、［——_尺"
厂.〕_U
函数典）=（」*）"
在I上有直至"
十1阶的非零导数，
q（"
l）（t）=（刘+功
于是，对函数尺（*）及典）在I上反复使用E次柯西中值
定理，有
W］在险与x之间
土在心与ft之间
A在冲与土之间
勺（肩=RZ）-_&
（言i）qE，«
鸟）
_%«
鸟）-&
：
（2_砒W『）
矿显）->
（0-时（品）
=%”（%）・R：
E）_肾仔）
时QQ-"
3Q一才）（窑
g"
」g）
产”7（土心）
（>
+1）1
记4=M在气与工之间
冥）e、.尸）（4）三、几个概念
1、
，⑴=了（为）+苴马羿,（sW'
芸卑。
-均广k\（打+1）!
此式称为函数丁3）按（工-工口）的籍次展开到近阶的泰勒公式;
或者称之为函数了仁）在点叱处的灯阶泰勒展开式。
当门5时，泰勒公式变为
/（UH）'
公
，（工）二，（为）+、:
*（x-r0）a+1=/（为）+广（最（s标）
（0+1）!
这正是拉格朗日中值定理的形式。
因此，我们也称泰勒公式中的余项。
户+1）陌
耳（武）=-（x-x0）n+l
O+1）!
为拉格朗日余项。
c<
Ma<
x<
b
2、对固定的凡，若V'
'
看…一；
小"
此式可用作误差界的估计
-<
——X一兀口1一0（工T工0）
J寸（E）L011°
故』「厂:
-1（•：
，门（'
L）
表明：
误差虬（X）是当I冲时较3一为『高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。
3、若xo=0，则菱在。
与¥
之间，它表示成形
式,：
..一•"
，
泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式
近似公式
73K川）+2^22"
2^22产”。
）.必（0<
<
1）
1121用
误差估计式
n+l
麦瓦芳林展开式是一种特殊形式的奉勒展升式.容易札因此.求函数/■⑴在任意点X=为处的泰勒屐开式时.可通过变量昔换x-xc=tfl；
归到这一情况，
令X-X0=t
则/（x）=y（t^x0）=F（O
对函数F（：
）作麦在黄抹展开.
【例1】求JO）二/的麦克劳林公式。
解：
•「I—LLI巳-•..，••」
川）二尸（。
）=广（o）二…二"
）（。
）=/=i,"
十°
（&
・对二打
『yM妇
]=1+立+七4…——注H（0<
^<
1）
于是u-•:
（・E
rrx3r"
S'
财1+—++,■■+
有近似公式1：
2!
■!
|"
世斗.|笆件
其误差的界为「1）!
我们有函数/二的一些近似表达式。
.y+
（1）、'
初1*工
（2）、2（3）、
11213
+XXHX
/26
在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函
数。
尸泊（x）=sinfx十—）
一-
了（0）=0,no）=i,r（o）=o,产）（。
）=-1了网（0）=°
，…
其中:
作出它们的图象。
a=o=2
®
:
|在0=0,（珀x）h=Q=l,（怎1广|村口=0>
（①c）“
232
客二x+—r+于是：
一％
利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武
器”，使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。
.-sinr
…一…一lim———
133
sinx-r--x+c?
（r）
【例4】利用泰勒展开式再求极限in/。
1f
愆JC二JC+-X+o（x）
3,
tgx-sinx=[x+-x34o（xJ）]-[x-—x3+o（w'
）]
36
=（x-X）+（-X3+—X3）4-（口（工'
）一0（/））
lim稣_：
nx=iim项*+：
版+-
I。
x->
0注x-^0AT。
JC>
2
【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处
因为怂"
伞血工（x-0），从而
tgx-^nrr-X「门n
lim———=lim―y-=limO=0
1j3
c3cirnv_nf^r-sinx^-r+o（x）
当x—>
0时，访f0,应为2
【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。
186=18-
M。
1。
『3sin[Px+-^1
5!
血=顶+（—川.疽
.刀JT1.jT.3皿a.（）
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