泰勒公式及其应用典型例题文档格式.docx

1、一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数 口D，口1，*%。次有 J +仃1S -工u ）斗占L ） + &方-%）日勾=入（勺）P；（K）=及*（应 0 ） + 30-立淀 4 + aK（x - z0 ）M二 1 = P；（x0）PZfx） = 2 L% + 3 2% 3一利）+ 4 3 / （上一沔沪 + +为伽一1）冬知广二 2y = p；（Q或）=3 2 1 %+432 龟&-毛）+5 4 3 % Q-母）+ +叩（n-1） （n-T） （r-JtT-3二3,2，1，知=尸怜。）上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:一般地，有用（上1）0 % = p 渲（气）=从而，得到

2、系数计算公式：% =广3。1（广5）Z I尸（冲）1： -.! 二、【解决问题二】泰勒（Tayler）中值定理若函数3）在含有*的某个开区间（白力）内具有直到1阶导数,这里是工。与耸之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:这表明：只要对函数& （r）=尸-成）及g。）=。一标）在笠与知之间反复使用n + 1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明 -1 1 以工口与艺为端点的区间Ixo 或马工d 记为T, 1仁（门或）。函数 M） = N）-W 在I上具有直至 ”+1 阶的导数，且 .L 、_ 尺厂._ U函数 典）=（*）在I上有直至十1阶的非零导数，q（l）（t）

3、=（刘+功于是，对函数 尺（*）及 典）在I上反复使用 E 次柯西中值定理，有W在险与x之间土在心与ft之间A在冲与土之间勺（肩=RZ）- _ & （言i） qE ，鸟）_ %鸟）-&：（2_ 砒W）矿显）-（0 -时（品）=%”（%） R：E） _ 肾仔）时QQ-3Q 一 才）（窑gg）产”7（土心）（ + 1）1记4 = M在气与工之间冥）e、.尸）（4） 三、几个概念1、，=了（为）+苴马羿,（sW芸卑。-均广 k （打 + 1）!此式称为函数丁3）按（工-工口）的籍次展开到 近阶的泰勒公式; 或者称之为函数了仁）在点叱处的灯阶泰勒展开式。当门5 时，泰勒公式变为/（UH）公，（工）二，

4、（为）+、:* （x-r0）a+1 =/（为）+ 广（最（s 标）（0 + 1）!这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。户+1）陌耳（武）= -（x-x0）n+lO+1）! 为拉格朗日余项。c M a xb2、对固定的凡，若 V 看一；小此式可用作误差界的估计- X 一兀口1一 0 （工 T 工0 ）J 寸（E）L 01 1 故 厂:,-1（ ：，门（L）表明：误差虬（X）是当 I 冲时较 3一为 高阶无穷小，这一 余项表达式称之为皮亚诺余项。3、若xo =0，则菱在。 与 之间，它表示成形式,：.一 ，泰勒公式有较简单的形式麦克劳林公式近似公式73K 川）+222

5、222 产”。）.必（0 1）11 21 用误差估计式n+l麦瓦芳林展开式是一种特殊形式的奉勒展升式.容 易札因此.求函数/在任意点X =为处的泰 勒屐开式时.可通过变量昔换x - xc = t fl；归到这 一情况，令 X-X0 = t则 /（x） = y（tx0）=F（O对函数F（：）作麦在黄抹展开.【例1】求JO）二/的麦克劳林公式。解： I LLI 巳- .，川）二尸（。）=广（o）二二）（。）=/ = i,十（&对二打 yM 妇=1 +立+七4注 H （0 （c）“2 3 2客二 x + r + 于是： 一 利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的 “终极武器”，使用这一方

6、法可求许多其它方法难以处理的极限。,.- sin r 一一 lim 1 3 3sinx - r-x +c?（r ）【例4】利用泰勒展开式再求极限 in / 。1 f愆JC 二 JC + - X + o（x ） 3 ,tgx- sinx = x + -x34 o（xJ）-x- x3 +o（w）3 6=（x - X）+ （-X3 + X3）4- （口（工）一0（/）lim 稣 _：nx = iim 项* +：版 + -I。 x-0 注 x-0 AT。JC 2【注解】 现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为怂伞血工（x-0），从而tgx-nr r-X 门 nlim = limy- = limO = 01 j 3c 3 cirn v _ n fr-sinx-r +o（x ）当x0时，访f 0 ,应为 2【例5】利用三阶泰勒公式求 的近似值， 并估计误差。186 =18- M。 1。3 sinPx+ -15!血=顶+（川 .疽.刀 JT 1 . jT .3 皿 a .（）