第一章 1201Word文件下载.docx
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反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.
答案 C
3.“x＞1”是“log
（x＋2）＜0”的（ ）
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析 由x＞1⇒x＋2＞3⇒log
（x＋2）＜0，log
（x＋2）＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，
类型二 充要条件的证明（互动探究）
【例2】求证：
方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<
－2.
[思路探究]
探究点一 证明充分性时，条件和结论分别是什么？
条件：
k<
－2；
结论：
方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两根均大于1.
探究点二 在Δ≥0的条件下，
能否推出
？
若不能，该怎样推证？
⇒
证明 充分性：
当k<
－2时，
Δ＝（2k－1）2－4k2＝1－4k>
0.
设方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝k2＋2k－1＋1＝k（k＋2）>
又（x1－1）＋（x2－1）＝（x1＋x2）－2＝－（2k－1）－2＝－2k－1>
0，
∴x1－1>
0，x2－1>
∴x1>
1，x2>
1.
必要性：
若方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
解得k<
综上可知，方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；
证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
【训练2】求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.
解
（1）当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<
0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足
⇒0<
a≤
.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤
反之，若a≤
，则方程至少有一个负的实根.
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤
[课堂小结]
1.充要条件的判断有三种方法：
定义法、等价命题法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别；
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.
（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；
如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ ）
解析 当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
答案 A
2.函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（ ）
A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝1
解析 当m＝－2时，f（x）＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
3.已知直线l1：
x＋ay＋6＝0和l2：
（a－2）x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________，
解析 由1×
3－a×
（a－2）＝0得a＝3或－1，
而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.
答案 －1
4.证明：
a，b，c成等差数列的充要条件是a＋c＝2b.
a＋c＝2b⇒b－a＝c－b⇒a，b，c成等差数列；
a，b，c成等差数列⇒b－a＝c－b⇒a＋c＝2b.
基础过关
1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的（ ）
解析 当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；
但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数.
2.设{an}是等比数列，则“a1<
a2<
a3”是“数列{an}是递增数列”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 {an}为等比数列，an＝a1·
qn－1，由a1<
a3，得a1<
a1q<
a1q2，即a1>
0，q>
1或a1<
0，0<
q<
1，则数列{an}为递增数列.反之也成立.
3.设x∈R，则“x＞
”是“2x2＋x－1＞0”的（ ）
解析 因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞
，或x＜－1}，所以{x|x＞
}
{x|2x2＋x－1＞0}，故选A.
4.设a,b为向量，则“|a·
b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件.
解析 由数量积的定义可得cosθ＝±
1，所以a∥b.
答案 充分必要
5.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；
而当n＝3时，方程有整数根1，3；
当n＝4时，方程有整数根是2.
答案 3或4
6.求不等式ax2＋2x＋1>
0恒成立的充要条件.
解 当a＝0时，2x＋1>
0不恒成立.
当a≠0时，ax2＋2x＋1>
0恒成立⇔
⇔a>
所以不等式ax2＋2x＋1>
0恒成立的充要条件是a>
7.已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件.
解 设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2，由题意知
⇔
⇔m≥6.
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.
8.已知x，y都是非零实数，且x>
y，求证：
<
的充要条件是xy>
证明
（1）必要性：
由
，得
－
0，即
又由x>
y，得y－x<
0，所以xy>
（2）充分性：
由xy>
0及x>
y，
得
>
，即
综上所述，
能力提升
9.在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“
·
0”的（ ）
解析 当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有
但当
0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形.
答案 B
10.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·
n<
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·
n＝λn·
n＝λ|n|2<
0，因而是充分条件，反之m·
0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.
11.下列不等式：
①x<
1；
②0<
x<
③－1<
④－1<
其中，可以为x2<
1的一个充分条件的所有序号为________.
解析 由于x2<
1，即－1<
1，①显然不能使－1<
1一定成立，②③④满足题意.
答案 ②③④
12.关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|2x－3|＞a恒成立，∵|2x－3|≥0，
∴a<
答案 a<
13.求证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<
（由ac<
0推证方程有一正根和一负根）
∵ac<
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>
0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，
则x1x2＝
0，∴方程的两根异号.
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
（由方程有一正根和一负根推证ac<
0）
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝
0，即ac<
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<
探究创新
14.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
如果xy≥0，则有xy＝0和xy>
0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.
当xy>
0，即x>
0，y>
0或x<
0，y<
0时.
又当x>
0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.
当x<
0时，|x＋y|＝－（x＋y），
|x|＋|y|＝－x－y＝－（x＋y），∴等式成立.
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.
若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝（|x|＋|y|）2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·
|y|，
∴|xy|＝xy，
∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.
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