北师大版九年级数学上名校课堂小专题二含答案Word格式文档下载.docx

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2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.

四边形BEDF是菱形；

（2）若∠DAB＝60°

，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.

（1）连接AF，CE，求证：

四边形AFCE为菱形；

（2）求菱形AFCE的边长．

4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：

（1）四边形CFEG是矩形；

（2）AE＝FG.

5．（牡丹江中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

CE＝AD；

（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？

说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？

请说明你的理由．

参考答案

【例】．

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°

，AB＝CD.

由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，

∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°

.

∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°

∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.

∴△EDM≌△FBN（ASA）．

∴ED＝BF.

又∵DE∥BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

（2）∵四边形BFDE是菱形，

∴∠EBD＝∠FBD.

∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°

，

∴∠ABE＝×

90°

＝30°

∴AE＝BE.

由勾股定理得AB＝AE.

在Rt△ABE中，AB＝2，

∴AE＝，BE＝.

∴ED＝.

∴AD＝2.

∴S△ABE＝AB·

AE＝，S矩形ABCD＝AB·

AD＝4.

∴S菱形BFDE＝4－2×

＝.

针对训练

1.∵AE∥BC，DE∥AC，

∴四边形AEDC是平行四边形．∴AE＝CD.

在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，

∴∠ADB＝90°

，BD＝CD.

∴BD＝AE.

∴四边形AEBD是矩形．

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°

，AC＝5，CD＝BC＝3，

∴AD＝＝4.

∴四边形AEBD的面积为BD·

AD＝CD·

AD＝3×

4＝12.　

2.

（1）证明：

连接BD，交AC于O.

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.

∵AE＝CF，

∴OE＝OF.

∴四边形BEDF是平行四边形．

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形．

（2）∵∠DAB＝60°

∴∠DAE＝30°

，∠ADB＝60°

∵AD＝6，

∴OD＝AD＝3.

∵AE＝DE，

∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°

在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE＝2，

∴菱形BEDF的周长为4DE＝8.　

3.

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.

∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC.

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE是平行四边形．

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形．

（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝FC.

设AF＝xcm，则CF＝xcm，BF＝（8－x）cm，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5，即AF＝5cm.　

4.证明：

（1）连接EC.∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，

∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°

.∴四边形EFCG为矩形．

（2）∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.

又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE.

在△ABE和△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE＝EC.

∴AE＝FG.　

5.

（1）证明：

∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠DFB.

∴AC∥DE.

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形．

∴CE＝AD.

（2）四边形BECD是菱形，

理由：

∵D为AB中点，∴AD＝BD.

∵CE＝AD，∴BD＝CE.

∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．

，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．

（3）当∠A＝45°

时，四边形CDBE是正方形，

，∠A＝45°

，∴∠ABC＝∠A＝45°

.∴AC＝BC.

∵D为AB中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°

∵四边形CDBE是菱形，

∴四边形CDBE是正方形，

即当∠A＝45°

时，四边形CDBE是正方形．