人教B版高中数学选修44教学案第二章直线的参数方程 Word.docx

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人教B版高中数学选修44教学案第二章直线的参数方程Word

2．2.1　直线的参数方程

[读教材·填要点]

1．直线的参数方程：

经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．

参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．

2．过点M0（x0，y0）且与平面向量a＝（l，m）平行的直线l的参数方程为t∈R

当M0M―→与a同向时，t取正数；当M0M―→与a反向时，t取负数．

[小问题·大思维]

1．经过点M（1,5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？

提示：

根据直线参数方程的定义，易得

即

2．已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为何值？

提示：

直线l的参数方程可化为故直线的斜率为tan＝－1.

直线参数方程的求法

[例1]　已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1,1）在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M（5,4）和点N（－2,6）的距离．

[思路点拨]　本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后写出直线l的参数方程．

[精解详析]　由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为.设直线的倾斜角为α，

则tanα＝，sinα＝，cosα＝.

又点P（1,1）在直线l上，

所以直线l的参数方程为

因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．

由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.

因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式，

可得|PN|＝＝.

直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k（x－x0）．

其中k＝tanα，α为直线的倾斜角，代入上式，得

y－y0＝·（x－x0），α≠，即＝.

记上式的比值为t，整理后得

1．一直线过P0（3,4），倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．

解：

设直线的参数方程为

将它代入3x＋2y－6＝0得

3＋2＝6，

解得t＝－，

∴|MP0|＝|t|＝.

直线的参数方程的应用（直线与圆）

[例2]　已知直线的参数方程为它与曲线（y－2）2－x2＝1交于A，B两点．

（1）求|AB|的长；

（2）求点P（－1,2）到线段AB中点C的距离．

[思路点拨]　本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．

[精解详析]　

（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0.

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－，t1t2＝－.

所以，线段|AB|的长为

|t1－t2|＝5＝.

（2）根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为＝－.

所以，由t的几何意义可得点P（－1,2）到线段AB中点C的距离为·＝.

不用求出A，B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB及点P到AB中点C的距离．

2．已知直线l经过点P（1,1），倾斜角α＝.

（1）写出直线l的参数方程．

（2）设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

解：

（1）直线的参数方程为

即

（2）把代入x2＋y2＝4，

得（1＋t）2＋（1＋t）2＝4，t2＋（＋1）t－2＝0，

t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.

直线的参数方程的应用（直线与圆锥曲线）

[例3]　过点P（，0）作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．

[思路点拨]　本题考查直线与椭圆的位置关系．解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解．

[精解详析]　设直线的参数方程为

t为参数，

代入曲线方程并整理得

（1＋sin2α）t2＋（cosα）t＋＝0，

则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝，

所以当sin2α＝1时，即α＝时，|PM|·|PN|的最小值为，此时α＝.

直线的参数方程中，参数t具有明显的几何意义，搞清参数t的几何意义是解决此类问题的关键．

3．已知椭圆的参数方程（0≤θ≤2π），求椭圆上一点P到直线的最短距离．

解：

由题意，得P（3cosθ，2sinθ），直线：

2x＋3y－10＝0.

d＝＝，

而6sin－10∈[－6－10,6－10]，

∴∈.

∴dmin＝.

一、选择题

1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（　　）

A.　　　　　　　　　　B．－

C.D．－

解析：

选D　k＝＝－＝－.

2．直线l的参数方程为l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P（a，b）之间的距离为（　　）

A．|t1|B．2|t1|

C.|t1|D.|t1|

解析：

选C　点P1对应的点的坐标为（a＋t1，b＋t1），

∴|PP1|＝＝＝|t1|.

3．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.

4．过点（0,2）且与直线互相垂直的直线的参数方程为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为（t为参数）．

二、填空题

5．直线l过点M0（1,5），倾斜角是，且与直线x－y－2＝0交于M，则|MM0|的长为________．

解析：

直线l的方程为

代入x－y－2＝0，得（1－）t＝8＋4.

解得|MM0|＝|t|＝10＋6.

答案：

10＋6

6．直线上与点A（－2,3）的距离等于的点的坐标是________．

解析：

设P（－2－t,3＋t）是直线上满足条件的点，则（－t）2＋（t）2＝（）2，t2＝，t＝±，则P（－3,4）或（－1,2）．

答案：

（－3,4）或（－1,2）

7．设直线的参数方程为点P在直线上，且与点M0（－4,0）的距离为，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中点P对应的t值为________．

解析：

由|PM0|＝知，t＝±，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为（－3,1）或（－5，－1），再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1.

答案：

±1

8．直线过定点________．

解析：

消去t得＝，即－（y＋1）a＋4x－12＝0，则x＝3，且y＝－1时，对于任何a都成立．

答案：

（3，－1）

三、解答题

9．直线l1过点M（1,2），且与向量α＝（3，－1）共线．

（1）写出该直线的参数方程；

（2）直线l2的方程为2x＋y－1＝0，且l1交l2于N，求|MN|.

解：

（1）直线l1的参数方程为

（2）把l1的参数方程代入l2的方程中，得

2（1＋3t）＋2－t－1＝0.

解得t＝－，N的坐标为.

∴|MN|2＝2＋2＝，

|MN|＝.

10．已知直线l1的参数方程为l2的参数方程为试判断l1与l2的位置关系．

解：

法一：

将直线l1的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1；将l2的参数方程化为普通方程，得y＝－x－2.

因为k1·k2＝2×＝－1，所以两直线垂直．

法二：

由参数方程知l1与向量a1＝（2,4）平行，l2与向量a2＝（2，－1）平行．

又2×2＋4×（－1）＝0，∴l1⊥l2，

即两条直线垂直．

11．设直线l过点P（－3,3），且倾斜角为.

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设此直线与曲线C：

（0≤θ≤2π）交于A，B两点，求|PA|·|PB|；

（3）设A，B中点为M，求|PM|.

解：

（1）直线l的参数方程是

（2）消去曲线C中的参数，得4x2＋y2－16＝0，

把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，

得42＋2＝16，

化简为13t2＋12（1＋4）t＋116＝0.

由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，

∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.

（3）由t的几何意义知，中点M对应的参数为，

∴|PM|＝＝.