离散数学证明题.docx

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离散数学证明题

编号

题目

答案

题型

分值

大纲

难度

区分度

1

用先求主范式的方法证明（P→Q）（P→R）（P→（）

答：

先求出左右两个公式的主合取范式

（P→Q）（P→R）（）（）

（（）））（P（）R）

（）（）（）（）

（）（）（）

（P→（））（P（））

（）（）

（（））（P（）R）

（）（）（）（）

（）（）（）

它们有一样的主合取范式，所以它们等价。

证明题

10

2.3；2.4

3

3

2

给定连通简单平面图<>，且6,12,则对于任意,d（f）=3。

答：

因为63，且〈〉是一个连通简单无向平面图，

所以对任一，（f）3。

由欧拉公式2可得8。

再由公式（f）=2，（f）=24。

因为对任一，（f）3，故要使上述等式成立，对任一，（f）=3。

证明题

10

6.4

3

3

3

证明对于连通无向简单平面图，当边数e＜30时，必存在度数≤4的顶点。

答：

若结点个数小于等于3时，结论显然成立。

当结点多于3个时，用反证法证明。

记。

假设图中所有结点的度数都大于等于5。

由欧拉握手定理得（v）=2得5n2m。

又因为〈〉是一个连通简单无向平面图，

所以对每个面（f）3。

由公式（f）=2可得，2m3k。

再由欧拉公式2可得2m

从而30m,这与已知矛盾。

证明题

10

6.4

3

3

4

在一个连通简单无向平面图〈V，E，F〉中若3，则3－6。

答：

3，且〈V，E，F〉是一个连通简单无向平面图，

d（f）3，。

由公式（f）=2可得，23。

再由欧拉公式2可得2。

3－6。

证明题

10

6.4

3

3

5

设<>是连通的简单平面图，3，面数为k,则k24。

答：

记。

因为<>是连通的简单平面图，故每个面的度数都不小于3。

从而由公式（f）=2可得3k2m

再由欧拉公式2有

2

及2

故k24。

证明题

10

6.4

3

3

6

在半群中，若对，方程a*和y*都有惟一解，则是一个群。

答：

任意取定，记方程a*的惟一解为。

即a*。

下证为关于运算*的右单位元。

对，记方程y*的惟一解为y。

是半群，运算*满足结合律。

b*（y*a）**（a*）*。

类似地，记方程y*的唯一解为。

即*。

下证为关于运算*的左单位元。

对，记方程a*的惟一解为x。

是半群，运算*满足结合律。

**（a*x）=（*a）**。

从而在半群中,关于运算*存在单位元，记为e。

现证G中每个元素关于运算*存在逆元。

对，记c为方程b*的惟一解。

下证c为b关于运算的逆元。

记*b。

则b*（b*c）**。

b*,且方程b*有惟一解，。

b**。

从而c为b关于运算的逆元。

综上所述，是一个群。

证明题

10

8.3

4

4

7

设是一个群，H、K是其子群。

定义G上的关系R：

对任意∈G，⇔存在h∈∈K,使得*a*k，则R是G上的等价关系。

答：

a∈G，因为H、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。

令,则*a**e*k,从而。

即R是自反的。

∈G，若，则存在h∈H，k∈K,使得*a*k。

因为H、K是G的子群，所以1∈H且1∈K。

故1*a*1,从而。

即R是对称的。

∈G，若,则存在∈H，∈K,使得*a*k，*b*l。

所以*b**（h*a*k）*（g*h）*a*（k*l）。

因为H、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。

从而。

即R是传递的。

综上所述，R是G上的等价关系。

证明题

10

4.4

3

3

8

设h是从群到的群同态，G和G2的单位元分别为e1和e2，则

（1）h（e1）2；

（2）1，h

（1）（a）-1；

（3）若1，则h（H）G2；

（4）若h为单一同态，则1，（a）。

答：

（1）因为h（e1）h（e1）（e1e1）=h（e1）=e2h（e1）,所以h（e1）2。

（2）a∈G1，h（a）h

（1）

（1）=h（e1）=e2,

h

（1）h（a）（-1）=h（e1）=e2,故h

（1）（a）-1。

（3）∈h（H）∈H，使得（a）（b）。

故（a）h（b）（）。

因为，所以∈H，故∈h（H）。

又1=（h（a））-1

（1）且1∈H，故1∈h（H）。

由定理5.3.2知h（H）G2。

（4）若,则1。

故（h（a））（）（e1）2。

从而h（a）的阶也有限，且（a）。

设（a）,则h（）=（h（a））h（e1）2。

因为h是单一同态，所以1。

即。

故（a）。

若a的阶是无限的，则类似于上述证明过程可以得出，h（a）的阶也是无限的。

故结论成立。

证明题

10

8.2；8.3

5

5

9

设*是集合A上可结合的二元运算，且,若a**a，则。

试证明：

（1）*，即a是等幂元；

（2）*b*;

（3）*b**c。

答：

（1）,记*a。

因为*是可结合的，故有b*（a*a）**（a*a）*b。

由已知条件可得*a。

（2）,因为由

（1），a*（a*b*a）=（a*a）*（b*a）*（b*a）,

（a*b*a）*（a*b）*（a*a）=（a*b）**（b*a）。

故a*（a*b*a）=（a*b*a）*a，从而a*b*。

（3）,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*（a*（b*c）*a）*c

且（a*c）*（a*b*c）*（c*（a*b*c））*（c*（a*b）*c））。

由

（2）可知a*（b*c）*且c*（a*b）*，

故（a*b*c）*（a*c）=（a*（b*c）*a）**c

且（a*c）*（a*b*c）=a*（c*（a*b）*c））=a*c，

即（a*b*c）*（a*c）=（a*c）*（a*b*c）。

从而由已知条件知，a*b**c。

证明题

10

8.1

2

2

10

I上的二元运算*定义为：

，a*2。

试证：

为群。

答：

（1），（a*b）*（a*b）2=

（2）24,a*（b*c）

（b*c）-2

（2）-24。

故（a*b）*a*（b*c），从而*满足结合律。

（2）记2。

对，a*22-222=2*a.。

故2是I关于运算*的单位元。

（3）对，因为a*（4）42=242=（4）*a。

故4是a关于运算*的逆元。

综上所述，为群。

证明题

10

8.3

4

4

11

R是集合X上的一个自反关系，求证：

R是对称和传递的，当且仅当和在R中有<,c>在R中。

答：

“”若由R对称性知，由R传递性得

“”若，有任意，因若所以R是对称的。

若，则即R是传递的。

证明题

10

4.3

2

2

12

f和g都是群到的同态映射，证明是的一个子群。

其中

1、答：

证，有，又

★★

★是的子群。

证明题

10

8.2；8.3

4

4

13

设R是A上一个二元关系，

试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。

答：

（1）S自反的

，由R自反，，

（2）S对称的

S传递的

由

（1）、

（2）、（3）得；S是等价关系。

证明题

10

4.4

3

3

14

1）用反证法证明。

2）用规则证明

答：

1证明：

⑴P（附加前提）

⑵T⑴E

⑶P

⑷T⑶E

⑸P

⑹T⑷⑸E

⑺T⑹E

⑻T⑺I

⑼T⑵⑻I

⑽P

⑾T⑽E

⑿T⑾E

⒀T⑼⑿I

2、证明

①P（附加前提）

②P

③T①②I

④P

⑤T③④I

⑥T⑤E

⑦

证明题

10

2.4

5

5

15

设，是半群，e是左幺元且，使得，则是群。

答：

（1）

（2）e是之幺元。

事实上：

由于e是左幺元，现证e是右幺元。

（3）

由

（2），（3）知：

为群。

证明题

10

8.1；8.3

4

4

16

设，在上定义关系当且仅当，证明是上的等价关系，并求出

答：

证明：

1）：

即R自反。

2）：

即，即R对称。

3）：

从而，

即R传递。

综上得出，R是等价关系。

且

证明题

10

4.4

3

3

17

试证明若是群，，且任意的，对每一个，有，则是的子群。

答：

证明：

（1）设群的幺元为，则有，∴即H非空。

（2），则有，

从而

故是的子群。

证明题

10

8.1；8.3

5

5

18

证明:

1）P→Q，，R，>S

2）A→（B→C），C→（），

F→（）>B→F

答：

证明1）：

（1）R前提

（2）前提

（3）Q

（1），

（2）

（4）P→Q前提

（5）P（3），（4）

（6）前提

（7）S（5），（6）

证明2）：

（1）A前提

（2）A→（B→C）前提

（3）B→C

（1），

（2）

（4）B附加前提

（5）C（3），（4）

（6）C→（）前提

（7）（5），（6）

（8）F→（）前提

（9）F（7），（8）

B→F

证明题

10

2.4

4

4

19

证明:

1）、，P→R,Q→S=>

2）、（P→Q）（R→S），（Q→W）（S→X），（），P→R=>P

答:

证明1）：

（1）R附加前提

（2）P→R前提

（3）P

（1），

（2）

（4）前提

（5）Q（3），（4）

（6）Q→S前提

（7）S（5），（6）

（8），

（1），（8）

证明2）：

（1）P假设前提

（2）P→R前提

（3）R

（1），

（2）

（4）（P→Q）（R→S）前提

（5）P→Q（4）

（6）R→S（5）

（7）Q

（1），（5）

（8）S（3），（6）

（9）（Q→W）（S→X）前提

（10）Q→W（9）

（11）S→X（10）

（12）W（7），（10）

（13）X（8），（11）

（14）（12），（13）

（15）（）前提

（16）（）（）（14），（15）

证明题

10

2.4

5

5

20

证明:

1）、（）→（）,,P→（），=>M

2）、，（E→F）→D，>B

答：

证明1）：

（1）附加前提

（2）P→（）前提

（3）P

（1），

（2）

（4）前提

（5）U（3），（4）

（6）（5）

（7）（）→（）前提

（8）（6）,（7）

（9）M（8）

证明2）：

（1）B附加前提

（2）前提

（3）D

（1），

（2）

（4）（E→F）→D前提

（5）（E→F）（3），（4）

（6）（5）

（7）E（6）

（8）E前提

（9）（7），（8）

证明题

10

2.4

3

3