学年七年级数学下册尖子生同步培优题典 专题1文档格式.docx

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C．﹣1.52×

105米D．1.52×

10﹣4米

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解析】0.0000152＝1.52×

10﹣5．

4．（2020秋•西宁期末）已知a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c

【分析】先得到a＝（25）11＝3211，b＝（34）11＝8111，c＝（43）11＝6411，从而可得出a、b、c的大小关系．

【解析】∵a＝（25）11＝3211，b＝（34）11＝8111，c＝（43）11＝6411，

∴b＞c＞a．

C．

5．（2018秋•莒县期末）若3x＝4，3y＝6，则3x﹣2y的值是（　　）

A．

B．9C．

D．3

【分析】利用同底数幂的除法运算法则得出3x﹣2y＝3x÷

（3y）2，进而代入已知求出即可．

【解析】3x﹣2y＝3x÷

（3y）2＝4÷

62

．

6．（2020秋•盐池县期末）计算（

）2018×

（1.5）2019的结果是（　　）

B．

C．

D．

【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．

【解析】

（

（1.5）2019

＝（

（1.5）2018×

1.5

7．（2020秋•河西区期末）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（　　）

A．9B．6C．3D．﹣3

【分析】由已知得a＝b+3，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．

【解析】∵a﹣b＝3，

∴a＝b+3，

∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．

8．（2020秋•江宁区月考）下列代数式中能用平方差公式计算的是（　　）

A．（x+y）（x+y）B．（2x﹣y）（y+2x）

D．（﹣x+y）（y﹣x）

【分析】平方差公式为：

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即一个数与另一个数的和乘以这个数与另一个数的差，等于相同数字的平方减去相反数字的平方．据此分析即可．

【解析】A、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；

B、两个括号内的相同数字是2x，相反数字是（﹣y）与y，故可用平方差公式计算，该选项符合题意；

C、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；

D、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．

9．（2020秋•海淀区校级期中）如果a，b，c满足a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9＝0，则abc等于（　　）

A．9B．27C．54D．81

【分析】把a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9通过拆分重新组合成完全平方式的和的形式，写成非负数之和等于0的形式，即可求解．

【解析】a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9，

＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣6c+9），

＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣3）2＝0，

∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣3）2＝0，

∴a＝b，b＝c，c＝3，即a＝b＝c＝3．

∴abc＝27．

10．（2020秋•宛城区校级期中）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】根据每个图所反映的拼接方法，用不同的方法表示阴影部分的面积后再进行判断即可．

【解析】图①中，拼接前阴影部分的面积为a2﹣b2，拼接后是一个长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），

所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此可以验证平方差公式；

图②中，拼接前阴影部分的面积为a2﹣b2，拼接后是一个底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），

图③中，拼接前阴影部分的面积为a2﹣b2，拼接后是一个长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），

图④中，拼接前阴影部分的面积为a2﹣b2，拼接后是一个底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•南关区校级期末）若（x+a）（x+3）的结果中不含关于字母x的一次项，则a＝　﹣3　．

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出a的值即可．

【解析】原式＝x2+3x+ax+3a＝x2+（a+3）x+3a，

由结果不含x的一次项，得到a+3＝0，

解得：

a＝﹣3．

故答案为：

﹣3．

12．（2019秋•西青区期末）计算：

﹣12x3y3z÷

3x4y＝　

　．

【分析】按单项式除以单项式法则运算即可．

【解析】原式＝（﹣12÷

3）•x3﹣4y3﹣1z

＝﹣4x﹣1y2z

13．（﹣ab2）5•（﹣ab2）2＝　﹣a7b14　，（﹣x﹣y）（x﹣y）＝　y2﹣x2　，（﹣3x2+2y2）（　﹣3x2﹣2y2　）＝9x4﹣4y4．

【分析】原式利用同底数幂的乘法法则，以及幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值；

原式利用平方差公式计算即可求出值；

原式利用平方差公式判断即可．

【解析】原式＝（﹣ab2）7＝﹣a7b14；

原式＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2；

（﹣3x2+2y2）（﹣3x2﹣2y2）＝9x4﹣4y4．

﹣a7b14；

y2﹣x2；

﹣3x2﹣2y2．

14．（2020秋•盐城期末）已知代数式x﹣2y的值是1，则代数式3﹣2x+4y的值是　1　．

【分析】首先把然后把x﹣2y＝1代入，求出算式的值是多少即可．

【解析】当x﹣2y＝1时，

3﹣2x+4y

＝3﹣2（x﹣2y）

＝3﹣2×

1

＝1

1．

15．（2018•松桃县模拟）请看杨辉三角

（1），并观察下列等式

（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　．

【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．

（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

故本题答案为：

a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

16．（2020春•鼓楼区期中）（1

）（

）﹣（1

）＝　

【分析】根据乘法分配律变形，再抵消后进行计算即可求解．

（1

）

）﹣（

）+（

17．（2019秋•芜湖期末）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为　2m+4　．

【分析】设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．

【解析】设另一边长为x，

根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2，

解得x＝2m+4．

则另一边长为2m+4，

2m+4．

18．（2020春•莘县期末）观察下列各式

（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1

…

你能否由此归纳出一般性规律：

（x﹣1）（x2019+x2018+…+x+1）＝　x2020﹣1　．

【分析】根据已知算式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可．

【解析】∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1＝x1+1﹣1，

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1＝x2+1﹣1，

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1＝x3+1﹣1，

∴（x﹣1）（x2019+x2018+…+x+1）＝x2019+1﹣1＝x2020﹣1，

x2020﹣1．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020春•金水区校级月考）计算或化简

（1）（﹣ab2）3•（﹣9a3bc）÷

（﹣3a3b5）

（2）﹣22+（

）﹣2﹣（π﹣5）0﹣|﹣3|

（3）（2x+3y﹣z）（2x﹣3y+z）（用乘法公式计算）

（4）20192﹣2018×

2020．（用乘法公式简便计算）

【分析】

（1）先算积的乘方，再算单项式乘法，后计算单项式除法即可；

（2）首先计算乘方、负整数指数幂、零次幂、绝对值，然后再计算加减即可；

（3）首先添括号，然后再利用平方差进行计算，再利用完全平方计算即可；

（4）首先把2018化为2019﹣1，把2020化为2019+1，再利用平方差计算，然后再算加减即可．

（1）原式＝﹣a3b6•（﹣9a3bc）÷

（﹣3a3b5），

＝9a6b7c÷

＝﹣3a3b2c；

（2）原式＝﹣4+4﹣1﹣3，

＝﹣4；

（3）原式＝[2x+（3y﹣z）][2x﹣（3y﹣z）]，

＝4x2﹣（3y﹣z）2，

＝4x2﹣（9y2﹣6yz+z2），

＝4x2﹣9y2+6yz﹣z2；

（4）原式＝20192﹣（2019﹣1）×

（2019+1），

＝20192﹣（20192﹣1），

＝20192﹣20192+1，

＝1．

20．（2020秋•淅川县期末）已知（x2+mx+n）（x﹣1）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．

【分析】把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为0，可求出m和n的值．

（x2+mx+n）（x﹣1）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n．

∵结果中不含x2的项和x项，

∴m﹣1＝0且n﹣m＝0，

m＝1，n＝1．

21．（2020秋•湖里区校级期中）先化简再求值：

（1）3x（x﹣1）﹣x（2x+5），其中x＝﹣1；

（2）2xy（x3y+3x）+xy（x3y﹣x），其中x2y＝3．

（1）先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可；

（2）先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．

（1）3x（x﹣1）﹣x（2x+5）

＝3x2﹣3x﹣2x2﹣5x

＝x2﹣8x，

当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣8×

（﹣1）＝9；

（2）2xy（x3y+3x）+xy（x3y﹣x）

＝2x4y2+6x2y+x4y2﹣x2y

＝3x4y2+5x2y，

当x2y＝3时，原式＝3×

32+5×

3＝42．

22．（2020秋•乾安县期末）

（1）填空：

（a﹣b）（a+b）＝　a2﹣b2　，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　a4﹣b4　．

（2）猜想：

（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　an﹣bn　．（其中，n为正整数，且n≥2）

（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；

（2）根据

（1）的规律可得结果．

（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；

（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；

a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；

（2）由

（1）的规律可得：

（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．

an﹣bn．

23．如图1，长方形的两边分别是m+8，m+4．如图2的长方形的两边为m+13，m+3（其中m为正整数）．

（1）求出两个长方形的面积S1、S2，并比较S1、S2的大小；

（2）现有一个正方形，它的周长与图1的长方形的周长相等，试证明该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数，并求出这个常数．

（1）利用长方形的面积＝长×

宽易得S1，S2的大小，并用作差的方法进行比较；

（2）利用正方形的周长与图1中的长方形的周长相等易得正方形的边长，从而得正方形的面积，再作差去解决问题．

（1）∵S1＝（m+8）（m+4）＝m2+12m+32，S2＝（m+13）（m+3）＝m2+16m+39，m为正整数，

∴S1﹣S2＝m2+12m+32﹣（m2+16m+39）＝﹣4m﹣7＜0，

∴S1＜S2；

（2）∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，

∴正方形的边长为2（m+8+m+4）÷

4＝m+6，正方形的面积为（m+6）2＝m2+12m+36，

∴m2+12m+36﹣（m2+12m+32）＝m2+12m+36﹣m2﹣12m﹣32＝4，

∴该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数4．

24．（2020秋•武侯区校级期中）观察下列各式的计算结果：

；

（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：

　×

　；

（2）用你发现的规律计算：

）×

…×

）．

（1）利用平方差公式得到1

）（1

），1

），这样把原式转化为两个分数的乘积的形式；

（2）利用

（1）的方法得到原式

，然后约分即可．

（1）1

故答案为

，

（2）原式

25．（2020春•海陵区校级期中）

（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？

（用含有x、y的等式表示）　4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2　．

（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；

（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．

（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；

（2）将（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，代入

（1）中的等式可求解；

（3）将2x+y＝5，xy＝2，代入

（1）中的等式可求解；

（1）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；

（2）∵（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝24xy＝9﹣5，

∴xy

（3）∵（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝8xy，

∴25﹣16＝（2x﹣y）2，

∴2x﹣y＝±

3．

26．（2019春•盐湖区期中）

【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积　a2﹣b2；

（a+b）（a﹣b）　

（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：

　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用字母表示）

【应用】请应用这个公式完成下列各题

①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　3　

②计算：

（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）

【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为　6　

1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12

（1）由面积公式可得答案；

（2）公式由

（1）直接可得；

①用平方差公式分解4m2﹣n2，将已知值代入可求解；

②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；

拓展①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；

②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．

（1）图①按照正方形面积公式可得：

a2﹣b2；

图②按照长方形面积公式可得：

（a+b）（a﹣b）．

（2）令

（1）中两式相等可得：

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）

∴（2m﹣n）＝12÷

4＝3

②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）

＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]

＝4a2﹣（b﹣c）2

＝4a2﹣b2+2bc﹣c2

【拓展】①

原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1

＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1

＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1

＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1

＝（216﹣1）…（232+1）+1

＝264﹣1+1

＝264

∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷

4＝16

6．

②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）

＝100+99+98+97+…+4+3+2+1

＝5050