届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学理试题Word版含答案.docx

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届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学理试题Word版含答案

2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟

数学（理）试题

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）

1．设集合，，则

A．B．C．D．

2．设复数满足，则

A．B．C．D．

3．“”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．在中，，，，则等于

A．B．C．D．2

5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．2B．1C．D．

6．若椭圆经过点，则椭圆的离心率=

A．B．C．D．

7．设数列满足，则

A．B．C．D．

8．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种

A．48B．72C．78D．84

9．如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则

A．2028B．2038C．4046D．4056

10．已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，，则满足的实数的取值范围是

A．B．C．D．

11．一个圆锥的高和底面直径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为

A．B．C．D．

12．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则

A．0B．6C．12D．18

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．双曲线的渐近线方程为_____________

14．的二项展开式中，含的一次项的系数为__________．（用数字作答）

15．设，，则的最小值为______.

16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；

④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．

其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.（本大题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若cos（B＋）＝，求cosC的值．

18．某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．

（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中、、的值．

（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记为身高在的学生人数，求的分布列和数学期望；

（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．

19．（12分）如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面

（1）的中点为，求证∥面

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，是其左右顶点，点是椭圆上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点，证明：

直线于的交点在一条定直线上.

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）若斜率为k的直线与曲线交于，两点，其中，求证：

．

（二）选考题：

共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于点A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；

（2）若，求．

23．（10分）已知函数，

（1）当时，解不等式；

（2）若存在满足，求实数的取值范围．

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数学（理）试题

1．A2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．A9．B10．C11．C12．D

13．14．-515．16．①③④

17．

（1）由正弦定理可得：

.

所以，整理得：

又.解得：

所以或（舍去）所以

（2），

18．：

（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15．

记为学生的身高，结合图1可得：

，

，

，

又由于组距为0.1，所以，，．

（2）以样本的频率估计总体的概率，

可知从这批学生中随机选取1名，身高在的概率为

，

因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验，

所以随机变量服从二项分布，

分布列为：

，

0

1

2

3

0.027

0.189

0.441

0.343

（或）

（3）由，取，，

由

（2）可知，，

又结合

（1），可得：

，

，

所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．

19.解：

（Ⅰ）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：

取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，FP=AC，

取AC的中点M，连接EM、EC，

∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．

∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=AC．

又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，

∴四边形EFPD是平行四边形，∴DP∥EF，

∵EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，

∴DP∥平面EAB；

（Ⅱ）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，

∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．

∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，

又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，

∴∠DGC是所求二面角的平面角．

设AB=AC=AE=2a，则CD=a，GC=2a，

∴GD==a，

∴cosθ=cos∠DGC==.

20．解：

（1）由题意得

椭圆的方程为；

（2）由

（1）得，，，设直线的方程为，

，，由，得，

，，，

直线的方程为，直线的方程为，

，，

，直线与的交点在直线上.

21．

（1）解：

的定义域是，且．

由得，

当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增．

综上，的减区间为，的增区间为．

（2）证明：

，

要证明，即证，等价于，令（由，知），

则只需证，由知，

故等价于．（*）

①，则当时，，

所以在内是增函数，

当时，，所以；

②设，则当时，，

所以在内是增函数，

所以当时，，即．

由①②知（*）成立，所以．

22．解：

曲线C的参数方程是为参数，

转换为直角坐标方程为：

．

整理得：

，转换为极坐标方程为：

．

直线l的参数方程是为参数，．

转换为极坐标方程为：

，极径为：

和，故：

，

转换为：

，所以：

，，

所以：

，则：

，

解得：

，由于：

所以：

．

23．

（1）当时，

当时，，解得：

；

当时，，解得：

；

当时，，解得：

的解集为：

（2）若存在满足等价于有解

，解得：

实数的取值范围为：