全国通用届高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第26练 概率与统计练习Word下载.docx
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该车主购买甲种保险；
B表示事件：
该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：
该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：
该车主甲、乙两种保险都不购买.
（1）由题意得P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，又C＝A∪B，
所以P（C）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.5＋0.3＝0.8.
（2）因为D与C是对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.8＝0.2.
考点二 古典概型与几何概型
（1）古典概型的两个特征：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个基本事件发生的可能性相等.
（2）几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.
3.一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.
（1）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；
（2）若第一次抽取一张卡片，放回搅匀后再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片的概率.
解
（1）设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于7”，
抽取三张卡片，三张卡片上的数字的所有可能的结果是{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，其中数字之和大于7的是{1，3，4}，{2，3，4}，所以事件A的概率P（A）＝
＝
.
（2）设B表示事件“两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片”，第一次抽一张，放回后再抽取一张卡片的所有可能的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.
事件B包含的基本事件有（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），共7个.
所以事件B的概率P（B）＝
4.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球.
（1）用有序数对（i，j）表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；
（2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：
若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；
反之，则乙胜.你认为此规则是否公平？
请说明理由.
解
（1）甲、乙两人抽到的小球的所有情况有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种不同的情况.
（2）甲抽到的小球的标号比乙大，有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），共6种情况，故甲胜的概率P1＝
，乙获胜的概率为P2＝1－
因为
≠
，所以此游戏不公平.
5.（2017·
山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解
（1）由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，
则所求事件的概率为P＝
（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
6.已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）.
（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于
的概率.
解
（1）集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因为圆x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝
（2）由题意得
≤
，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，阴影部分面积S2＝4，
所以所求概率为P＝
7.花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑小花猫的大小，求在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率.
解 如图所示，分别以三角形ABC的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC的三边分别交于点D，E，M，N，Q，P.
由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5m，底边长为6m的等腰三角形.
底边AB上的高为h＝
＝4（m），故△ABC的面积S＝
×
6×
4＝12（m2）.
而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC除去三个以顶点为圆心，2为半径的扇形部分.
因为∠A＋∠B＋∠C＝π，所以三个扇形的面积之和为
π×
22＝2π.
故阴影部分的面积S′＝S－2π＝（12－2π）（m2）.
所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m”的概率为P1＝
＝1－
8.已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.
（1）若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
解 设事件A为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；
事件B为“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实数根”.
（1）由题意知，基本事件共9个，即（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.
由Δ＝36a2－36（－b2＋4）＝36a2＋36b2－36×
4＞0，得a2＋b2＞4.
事件A要求a，b满足条件a2＋b2＞4，包含6个基本事件，
即（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），则事件A发生的概率为P（A）＝
（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2.
构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a2＋b2≥4}（如图中阴影部分），
则所求的概率为P（B）＝
考点三 统计与概率的综合问题
方法技巧
对于将抽样方法、频率分布等统计知识与古典概型相结合的题目，要明确频率和概率的关系，把握基本事件的构成.
9.（2017·
全国Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×
450－4×
450＝900；
若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×
300＋2（450－300）－4×
450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×
200＋2（450－200）－4×
450＝－100，
所以Y的所有可能值为900，300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，
由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
10.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x（单位：
元）
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
50
40
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：
A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；
B类是其他市民.现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查，则前两位均为B类市民的概率是多少？
解
（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，
则P（A）＝
所以当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低
（2）由题可知，A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2，设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查”为事件M，
则事件M中首先抽出A1的事件有（A1，A2，B1，B2），（A1，A2，B2，B1），（A1，B1，A2，B2），（A1，B1，B2，A2），（A1，B2，A2，B1），（A1，B2，B1，A2），共6种.
同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，
故事件M共有4×
6＝24（种）.
设“抽取的4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有（B1，B2，A1，A2），（B1，B2，A2，A1），（B2，B1，A1，A2），（B2，B1，A2，A1），共4种，所以P（N）＝
所以抽取的4人中前两位均为B类市民的概率是
11.（2017·
北京）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：
[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解
（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×
10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×
10＝0.9，
分数在区间[40，50）内的人数为100－100×
0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×
＝20.
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为（0.02＋0.04）×
10×
100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×
＝30，
所以样本中的男生人数为30×
2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
12.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了n名学生的成绩（满分100分）作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a，b的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；
（2）规定大赛成绩在[80，90）的学生为厨霸，在[90，100]的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取2人中至少有1人是厨神的概率.
解
（1）由题意可知，样本容量n＝
＝40，
所以a＝
＝0.0075.
所以10b＝1－（0.125＋0.150＋0.450＋0.075）＝0.200，
所以b＝0.0200，
平均成绩为0.125×
55＋0.2×
65＋0.45×
75＋0.15×
85＋0.075×
95＝73.5.
（2）由题意可知，厨霸有0.0150×
40＝6（人），分别记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，厨神有0.0075×
40＝3（人），分别记为b1，b2，b3，共9人，
从中任意抽取2人共有36种情况：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，a6），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，a6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，a4），（a3，a5），（a3，a6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a4，a5），（a4，a6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a5，a6），（a5，b1），（a5，b2），（a5，b3），（a6，b1），（a6，b2），（a6，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），
其中至少有1人是厨神的情况有21种，
所以至少有1人是厨神的概率为
例 （12分）广场舞在全国各地都非常地流行，但是人们对广场舞也有不同的看法，有些人认为广场舞“很好”，能促进人们锻炼身体，有些人认为广场舞“不好”，影响其他人的休息，实践课上老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：
组数
分组
频数
频率
“很好”占本组比例
1
0.05
30%
100
0.10
3
150
0.15
40%
[40，45）
200
0.20
50%
[45，50）
a
b
65%
6
[50，55]
60%
（1）求a，b的值，并估计本社区[25，55]岁的人群中“很好”所占的比例；
（2）从年龄段在[35，45）的“很好”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35，40）与[40，45）两个年龄段的概率.
审题路线图
（1）
―→
（2）
规范解答·
评分标准
解
（1）n＝
＝1000.……………………………………………………………………1分
b＝1－（0.20＋0.20＋0.15＋0.10＋0.05）＝0.30.…………………………………………2分
所以a＝1000×
0.30＝300.3分
因为样本中的“很好”人数为50×
0.30＋100×
0.30＋150×
0.40＋200×
0.50＋300×
0.65＋200×
0.60＝520，…………………………………………………………………………5分
所以样本中的“很好”所占的比例为
＝52%.
………………………………………………………………………………………………6分
（2）年龄段在[35，40）的“很好”的人数为150×
0.40＝60，
年龄段在[40，45）的“很好”的人数为200×
0.50＝100，
采用分层抽样方法抽取8人，年龄段在[35，40）的“很好”有3人，在[40，45）的有5人，记[35，40）中的3人为A1，A2，A3，[40，45）的5人记为B1，B2，B3，B4，B5，则选取2人做领队有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A1，B5），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A2，B5），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A3，B5），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，B5），（B2，B3），（B2，B4），（B2，B5），（B3，B4），（B3，B5），（B4，B5），共28种.…………………………………………………………………10分
其中分别来自[35，40）与[40，45）两个年龄段的有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A1，B5），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A2，B5），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A3，B5），共15种.…………………………………………………………………11分
所以分别来自[35，40）与[40，45）两个年龄段的概率P＝
.…………………………12分
构建答题模板
[第一步] 定模型：
根据统计知识确定元素（总体、个体）以及要解决的概率模型.
[第二步] 列事件：
将所有基本事件列举出来（可用树状图）.
[第三步] 算概率：
计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P（A）＝
[第四步] 规范答：
要回到所求问题，规范作答.
1.某市举行职工技能大比武活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工.
（1）若从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；
（2）若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的2名职工来自同一工厂的概率.
解 记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，1名女职工为a；
乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.
（1）从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，不同的结果有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{a，B1}，{a，B2}，{a，b1}，{a，b2}，共12种不同的选法.
其中选出的2名职工性别相同的选法有{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{a，b1}，{a，b2}，共6种不同的选法.
故选出的2名职工性别相同的概率为P1＝
（2）若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，不同的结果有{A1，A2}，{A1，a}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{a，B1}，{a，B2}，{a，b1}，{a，b2}，{B1，B2}，{B1，b1}，{B1，b2}，{B2，b1}，{B2，b2}，{b1，b2}，共21种不同的选法.
其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有{A1，A2}，{A1，a}，{A2，a}，{B1，B2}，{B1，b1}，{B1，b2}，{B2，b1}，{B2，b2}，{b1，b2}，共9种不同的选法.
所以选出的2名职工来自同一工厂的概率为P2＝
2.已知向量a＝（－2，1），b＝（x，y）.
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·
b＝－1的概率；
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a·
b<
0的概率.
解
（1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×
6＝36.
由a·
b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·
b＝－1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个.
故满足a·
b＝－1的概率为
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，
满足a·
0的基本事件的结果为A＝{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<
0}.
画出平面区域如图，
矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－
2×
4＝21，
0的概率为
3.某厂商调
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