届高三理科数学一轮复习学案 77立体几何中的向量方法.docx

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届高三理科数学一轮复习学案77立体几何中的向量方法

第七节立体几何中的向量方法

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cos〈a，n〉|＝.

3．二面角

（1）若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角（或其补角）的大小就是向量与的夹角，如图

（1）．

平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角αlβ为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝，如图

（2）（3）．

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．（　　）

（2）已知a＝（－2，－3,1），b＝（2,0,4），c＝（－4，－6,2），则a∥c，a⊥b.（　　）

（3）已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为120°.（　　）

（4）已知两平面的法向量分别为m＝（0,1,0），n＝（0,1,1），则两平面所成的二面角的大小为45°.（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为________．

解析：

以两对角线AC与BD的交点O作为原点，以OA，OB，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则有O（0，0,0），A（，0,0），B（0，，0），S（0，0，），D（0，－，0），E，＝，＝（0，－，－），|cos〈，〉|＝＝＝，故AE，SD所成角的余弦值为.

答案：

3．（教材习题改编）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________，二面角BA1C1D1的余弦值为________．

解析：

如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1（0,0,1），C1（0,2,1），A1（1,0,1），B（1,2,0），

∴＝（0,2,0），＝（－1,2,0），＝（0,2，－1），

设平面A1BC1的一个法向量为n＝（x，y，z），

由即

令y＝1，得n＝（2,1,2），

设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.

易知平面A1C1D1的法向量m＝（0,0,1），

∴cos〈m，n〉＝＝＝.

由图可知，二面角BA1C1D1为钝角，

故二面角BA1C1D1的余弦值为－.

答案：

　－

异面直线所成的角是每年高考的重点，题型既有选择题或填空题，也有解答题，难度较小，属于基础题.

[典题领悟]

（2015·全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F

是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，

BE＝2DF，AE⊥EC.

（1）证明：

平面AEC⊥平面AFC；

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

[学审题]

①想到连接BD，利用菱形的性质解题；

②想到线面垂直的性质；

③要证面面垂直，转化为证明线面垂直或证明两平面的法向量垂直；

④想到建系，转化为求与的夹角的余弦值．

解：

（1）证明：

连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.

由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.

又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.

在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.

在Rt△FDG中，可得FG＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，

可得EF＝.

从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.

因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

（2）以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.

由

（1）可得A（0，－，0），E（1,0，），F，C（0，，0），

所以＝（1，，），＝.

故cos〈，〉＝＝－.

所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.

[解题师说]

1．解题“3步骤”

（1）选好基底或建立空间直角坐标系；

（2）求出两直线的方向向量v1，v2；

（3）代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．

2．解题“1注意”

注意向量的夹角与异面直线所成角的区别，两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．（如典题领悟第

（2）问）

[冲关演练]

在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝，AC＝4，点M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为______．

解析：

由题意，以C为原点，以AC边所在直线为x轴，BC边所在直线为y轴，CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设棱柱的高为a，由∠BAC＝，AC＝4，得BC＝4，所以A（4,0,0），B（0,4，0），C（0,0,0），A1（4,0，a），M，P，Q.所以＝（1,2，0），＝（4,0,0）．设异面直线QP与CA所成的角为θ，所以|cosθ|＝＝＝.由sin2θ＋cos2θ＝1得，sin2θ＝，所以sinθ＝±，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以sinθ＝.

答案：

直线与平面所成的角是每年高考的热点，主要考查利用向量求直线与平面所成的角（或其三角函数值），题型为解答题，难度适中，属于中档题.

[典题领悟]

如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（1）求证：

MN∥平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

解：

（1）证明：

由已知得AM＝AD＝2.

取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB.

（2）取BC的中点E，连接AE.

由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，

且AE＝＝＝.

以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

由题意知P（0,0,4），M（0,2,0），C（，2,0），N，

＝（0,2，－4），＝，＝.

设n＝（x，y，z）为平面PMN的法向量，

则即

可取n＝（0,2,1）．于是|cos〈n，〉|＝＝.

所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.

[解题师说]

1．掌握解题方法

解答直线与平面所成角的问题，通常建立空间直角坐标系，然后转化为向量运算求解，具体方法为：

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.

2．谨防2种失误

（1）空间直角坐标的建法不当或错误．

（2）不会正确迁移应用，误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．一定要牢记公式sinφ＝|cosθ|（其中φ为直线与平面所成的角，θ为直线的方向向量与平面的法向量的夹角）．

[冲关演练]

（2018·郑州第二次质量预测）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（1）求证：

EF∥平面A1CD；

（2）若三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

解：

（1）证明：

连接ED，在△ABC中，

因为D，E分别为棱AB，BC的中点，

所以DE∥AC，DE＝AC.

又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，

又因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以A1F∥DE，A1F＝DE，

因此四边形A1FED为平行四边形，

所以EF∥A1D，

又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，

所以EF∥平面A1CD.

（2）设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，

所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.

又△A1B1C1为等边三角形，

所以OC1⊥A1B1.

以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

设三棱柱的棱长为a，

则B，C，A1，D（0，a,0）．

所以＝，＝，

＝.

设平面A1CD的法向量为n＝（x，y，z），

则即

令x＝2，解得n＝（2,1,0）．

设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，

则sinθ＝cos〈n，〉＝＝＝.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

利用空间向量求二面角（或其余弦值）是每年高考的热点，且出现在解答题的第

（2）问，难度适中，属于中档题.

[典题领悟]

（2017·全国卷Ⅰ）如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC

❷　　　　❸　　　　❷　　　　　　❹

的余弦值．

[学审题]

①看到AB∥CD，∠BAP＝∠CDP＝90°想到AB⊥AP，CD⊥PD，AB⊥PD进而想到AB⊥平面PAD，从而可证平面PAB⊥平面PAD；

②看到PA＝PD，∠APD＝90°想到△APD为等腰直角三角形；

③看到AB＝CD，AB∥CD，AB⊥平面PAD想到四边形ABCD为矩形；

④看到求二面角APBC的余弦值想到建系，求平面PAB与PCB的法向量．

解：

（1）证明：

由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，

得AB⊥AP，CD⊥PD.

因为AB∥CD，所以AB⊥PD.

又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.

由

（1）可知，AB⊥平面PAD，

故AB⊥PF，又AD∩AB＝A，

可得PF⊥平面ABCD.

以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

由

（1）及已知可得A，P，B，

C.

所以＝，＝（，0,0），

＝，＝（0,1,0）．

设n＝（x1，y1，z1）是平面PCB的法向量，

则即

所以可取n＝（0，－1，－）．

设m＝（x2，y2，z2）是平面PAB的法向量，

则即

所以可取m＝（1,0,1）．

则cos〈n，m〉＝＝＝－.

由图知二面角APBC为钝角，

所以二面角APBC的余弦值为－.

[解题师说]

利用向量法解二面角问题2策略

找法向量法　

分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小

找与棱垂直的方向向量法　

分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小

[注意]　两平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系为相等或互补，所以，当求得两法