届江苏高考数学文总复习讲义平面向量的数量积及其应用.docx
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届江苏高考数学文总复习讲义平面向量的数量积及其应用
第三节平面向量的数量积及其应用
1.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ=0°或θ=180°⇔a∥b,θ=90°⇔a⊥b
2.平面向量的数量积
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b.
3.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cosθ=
cosθ=
a⊥b的充要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
[小题体验]
1.已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6,则a与b的夹角θ为________.
答案:
2.已知向量a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|b|=________.
解析:
因为a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-2t).因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-1)×(-3)+3(3-2t)=0,即t=2,所以b=(1,2),所以|b|==.
答案:
3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
解析:
由b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,得b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e.因为e1,e2为单位向量,〈e1,e2〉=,所以b1·b2=3-2×-8=-6.
答案:
-6
1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边不能约去一个向量.
2.两个向量的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立.
3.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
4.在用|a|=求向量的模时,一定要把求出的a2再进行开方.
[小题纠偏]
1.给出下列说法:
①向量b在向量a方向上的投影是向量;
②若a·b>0,则a和b的夹角为锐角,若a·b<0,则a和b的夹角为钝角;
③(a·b)c=a(b·c);
④若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确的说法有________个.
答案:
0
2.已知向量=,=,则∠ABC=________.
解析:
因为=,=,所以·=+=.所以cos∠ABC==,又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.
答案:
30°
3.已知平面向量a与b的夹角为,a=(1,),|a-2b|=2,则|b|=________.
解析:
因为a=(1,),所以|a|=2,又|a-2b|=2,即|a|2-4a·b+4|b|2=12,故22-4×2×|b|×cos+4|b|2=12,化简得|b|2-|b|-2=0,所以|b|=2.
答案:
2
[题组练透]
1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=________.
解析:
因为a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),
所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-3.
答案:
-3
2.(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°,=λ.若·=-,则实数λ=________.
解析:
因为=-,=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,·=2×3×cos120°=-3.所以·=(λ-1)2+λ2+(1-2λ)·=19λ-12=-,所以λ=.
答案:
3.已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=________.
解析:
因为a=(-2,-6),
所以|a|==2,
又|b|=,向量a与b的夹角为60°,
所以a·b=|a|·|b|·cos60°=2××=10.
答案:
10
4.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=2,D为BC的中点,则·=________.
解析:
法一:
由题意知,AC=BC=2,AB=2,所以·=·(+)=·+·=||·||cos45°+||·||cos45°=2×2×+2×1×=6.
法二:
建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意得A(0,2),B(-2,0),D(-1,0),所以=(-2,0)-(0,2)=(-2,-2),=(-1,0)-(0,2)=(-1,-2),所以·=-2×(-1)+(-2)×(-2)=6.
答案:
6
[谨记通法]
向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|cosθ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
[锁定考向]
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为填空题.
常见的命题角度有:
(1)平面向量的模;
(2)平面向量的夹角;
(3)平面向量的垂直.
[题点全练]
角度一:
平面向量的模
1.(2018·苏州高三暑假测试)已知平面向量a=(2,1),a·b=10,若|a+b|=5,则|b|=________.
解析:
因为a=(2,1),所以|a|=,又|a+b|=5,所以a2+2a·b+b2=50,所以b2=25,所以|b|=5.
答案:
5
角度二:
平面向量的夹角
2.(2018·太湖高级中学检测)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为________.
解析:
因为a⊥(a-b),
所以a·(a-b)=a2-a·b=1-cosa,b=0,
所以cosa,b=,
所以a,b=.
答案:
3.(2019·启东中学检测)已知平面向量α,β满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则α的模的取值范围是________.
解析:
如图,在△ABC中,设=β,=α,
则=-=β-α.
因为α与β-α的夹角为120°,所以A=60°.
由正弦定理得=,则BA=sinC.又0<sinC≤1,
所以0<BA≤,故α的模的取值范围是.
答案:
角度三:
平面向量的垂直
4.在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求x与y之间的关系式;
(2)若⊥,求四边形ABCD的面积.
解:
(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y).
因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,
即x+2y=0.
(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3).
因为⊥,所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,
即x2+y2+4x-2y-15=0,
联立
解得或
当时,=(8,0),=(0,-4),
S四边形ABCD=AC·BD=16;
当时,=(0,4),=(-8,0),
S四边形ABCD=AC·BD=16.
所以四边形ABCD的面积为16.
[通法在握]
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:
cosθ=,要注意θ∈[0,π].
(2)求向量的模:
利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
(3)两向量垂直的应用:
两非零向量垂直的充要条件是:
a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
[演练冲关]
1.(2019·海安模拟)已知平面向量a与b的夹角等于,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=________.
解析:
由题意可得a·b=|a|·|b|cos=3,
所以|2a-3b|====.
答案:
2.已知向量a,b满足a=(4,-3),|b|=1,|a-b|=,则向量a,b的夹角为________.
解析:
易知|b|=1,|a|=5,
对|a-b|=两边平方,整理得2a·b=5,
即2|a||b|cosθ=5,解得cosθ=,
则向量a,b的夹角为.
答案:
3.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
解析:
=-,由于⊥,
所以·=0,
即(λ+)·(-)
=-λ2+2+(λ-1)·
=-9λ+4+(λ-1)×3×2×
=0,解得λ=.
答案:
[典例引领]
(2018·启东高三期中)已知向量a=(sinx,2),b=(cosx,1),函数f(x)=a·b.
(1)若a∥b,求tan的值;
(2)求函数y=f,x∈的最小值和最大值.
解:
(1)由a∥b,得sinx=2cosx.所以tanx=2.
所以tan==-3.
(2)因为f(x)=a·b=sinx·cosx+2=sin2x+2,
所以y=f=sin+2.
因为x∈,所以2x-∈,
从而-≤sin≤1.
于是,当2x-=-,即x=0时,函数y=f有最小值,
当2x-=,即x=时,函数y=f有最大值.
[由题悟法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求值域等.
[即时应用]
已知向量m=(cosx,-1),n=(sinx,cos2x).
(1)当x=时,求m·n的值;
(2)若x∈,且m·n=-,求cos2x的值.
解:
(1)当x=时,m=,n=,
所以m·n=-=.
(2)m·n=cosxsinx-cos2x
=sin2x-cos2x-=sin-.
若m·n=-,则sin-=-,
即sin=.
因为x∈,所以-≤2x-≤,
所以cos=,
则cos2x=cos=coscos-sinsin=×-×=.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2019·海门模拟)向量a=(3,4)在向量b=(1,-1)方向上的投影为________.
解析:
∵向量a=(3,4),b=(1,-1),
∴向量a在向量b方向上的投影为
|a|cosθ===-.
答案:
-
2.(2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|=________.
解析:
因为a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,
即|a|2-|a||b|cosa,b=8,
所以4+2|b|×=8,解得|b|=4.
答案:
4
3.(2018·苏州期末)已知a=(m,2),b=(1,n),m>0,n>0,且|a|=4,|b|=2,则向量a与b的夹角是________.
解析:
设向量a与b的夹角是θ,θ∈[0,π],
∵a=(m,2),b=(1,n),m>0,n>0,且|a|=4,|b|=2,
∴m2+4=16,1+n2=4,解得m=2,n=.