山东省潍坊市届高三数学下学期第四次单元过关测试试题理.docx
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山东省潍坊市届高三数学下学期第四次单元过关测试试题理
山东省潍坊市2017届高三数学下学期第四次单元过关测试试题理
一、选择题：
本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
2.设
，其中
是实数，
为虚数单位，则
A．
B．
C．
D．
3.已知
向量
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如
用算筹表示就是，则
用算筹可表示为
A．B．
C．D．
5.已知实数
，执行如右图所示的程序框图，
则输出的
不大于
的概率为
A．
B．
C．
D．
6.若
满足
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
8.在
中，角
所对的边分别为
，
，则
A．
B．
C．
D．
9.已知
，
，且
，
，
成等比数列，则
有
A．最小值
B．最小值
C．最大值
D．最大值
10.已知双曲线
圆
若双曲线
的一条渐近线与圆
有两个不同的交点，则双曲线
的离心率的范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
4
11.设随机变量
且
，则
；12.已知变量
具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若
关于
的线性回归方程为
，则
；
13.已知函数
则
；
14.已知
，则
展开式中常数项为；
15.已知函数
，
，设函数
，
且函数
的零点均在区间
（
）内，则
的最小值为．
三、解
答题：
本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知函数
.
（Ⅰ）求函数
图象的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求
在
上的值域.
17．（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
且
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
，
，记数列
的前
项和为
，若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的菱形，
，
平面
，
，
是棱
上的一个动点，
为
的中点．
（Ⅰ）若
，求证：
平面
；
（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
19（本小题满分12分）某科技博览会展出的智能机器人有
四种型号，每种型号至少有
台.要求每位购买者只能购买
台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的.现在有
个人要购买机器人.
（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了
四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求
型与
型相邻且
型与
型不相邻的概率；
（Ⅱ）设这
个人购买的机器人的型号种数为
，求
的分布列和数学期望.
20．（本小题满分13分）已知函数
，
，
且
，
，
为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数
在
上极值点的个数；
（Ⅱ）令函数
，若
，函数
在
区间
上均为增函数，求证：
．
21．（本小题满分14分）已知椭圆
的左焦点
为
，右顶点为
，上顶点为
，过
、
、
三点的圆
的圆心坐标为
．
（Ⅰ）求
椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线
（
为常数，
）与椭圆
交于不同的两点
和
．
（ⅰ）当直线
过
，且
时，求直线
的方程；
（ⅱ）当坐标原点
到直线
的距离为
时，求
面积的最大值．
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共10小题．每小题5分，共50分．
BDABDB
ACBA
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.
；12.
；13.
；14．
；15．
.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）
，
，……………………………………………4分
由
可得:
，
∴函数
图象的对称轴方程为
.………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，…………………………………………10分
∵
，∴
∴当
，即
时，
当
，即
时，
∴函数
的值域为
………………………………………………………12分
命题意图:
本题考查三角变换,三角函数的对称轴的性质,图象平移,最值问题。
17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）当
时，
，
两式相减得：
…………………………………………………………………………………3分
，
，即
是以
为首项，以
为公比的等比数列
从而
……………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，
∴
………………………………10分
由于
随着
的增大而增大，所以
最小值为
所求
的取值范围为：
…………………………………………………………12分
命题意图:
本题考查
的关系,等比数列的通项公式,裂项相消求和及恒成立问题。
18．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）证明：
过
作
交
于
连接
连接
交
于
连接
.
∵
面
面
，
∴
面
，……………………………2分
底面
是菱形，
是
的中点，
为
的中点，
为
的中点，
，
，
为
的中点，
面
面
，
∴
面
，…………………………………………………………………………4分
又
，
面
，
∴面
面
，
又
面
，∴
面
……………………………………………………5分
（Ⅱ）
底面
是边长为
的菱形，
以
为原点，
所在的直线为
轴，建立坐标系如图所示，
底面
是边长为
的菱形，
，
，
又
，
面
，
，
，
，
，
，…………………………………………………………7分
设平面
的法向量为
，
由
令
，则
，取
……………………………………………………9分
设平面
的法
向量为
，
由
令
，则
，取
……………………………………11分
设平面
与平面
所成锐二面角的平面角为
，则
………………………………12分
命题意图:
本题考查线面平行的判定定理,面面平行的性质定理,用向量求二面角。
19．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）
台机器人排成一排的情况有
种，
型与
型相邻且
型与
型不相邻的
情况有
故所求的概率为
……
………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意：
所以
的分布列为：
……………………………………………………10分
所以
……………………………………12分
命题意图:
本题考查排列组合的邻与不邻、分组问题,随机变量的分布列及期望问题。
20．（本小题满分13分）
解:
（Ⅰ）
则
………………………1分
令
，得
因为
所以
令
，则
所以
的两个根
…………………………3分
因为
所以当
，即
时，
，
在
上
，
，
在
单调递减，不存在极值点……………………………………………………4分
当
，即
时，
，在
上
，
，
在
上单调递减，在
上
，
，
在
上单调递增，所以
有一个极小值点
………………………………………………………………………………6分
综上可知，当
时，
的极值点个数为
；
当
时，
的极值点个数为
……………………………………………………7分
（Ⅱ）由题意
则
所以
在
上恒成立………………………………………9分
化简得
即
在
上恒成立
所以
即
………………………………………………11分
令
，则
因为
，所以
，
在
上单调递增
所以
，所以
……………………………………………13分
命题意图:
本题考查函数的极
值,二次函数图象,恒成立,分类讨论问题。
21．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）
，
，
的中点为
，
的斜率为
∴
的垂直平分线方程为
……………………………………………2分
∵圆
过点
、
、
三点，∴圆心
在
的垂直平分线上.
，解得
或
（舍）
椭圆的方程为：
………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设
，
由
可得：
，
……③…………
…………………………………6分
（ⅰ）
直线
过
，
……④
，
从而
……⑤
由③④⑤可得：
，或
直线
的方程为
或
…………………………………………………9分
（ⅱ）
坐标原点
到直线
的距离为
，
……⑥
结合③：
……⑦
由⑥⑦得：
……………………………………11分
令
则
当
，即
，亦即
时，
面积的最大值为
…………14分
命题意图:
本题考查圆与椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,三角形面积及最值问题。
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