高二暑期第6讲 曲线与方程.docx
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高二暑期第6讲曲线与方程
第6讲
曲线与方程
解析几何6级
直线方程
六大考点
解析几何4级
直线与圆锥曲线的位置关系初步
解析几何5级
曲线与方程
当前形势
曲线与方程在近五年北京卷（理）考查5～10分
高考
要求
内容
要求层次
具体要求
A
B
C
曲线与方程的
对应关系
√
掌握求轨迹方程的一般方法，理解曲线与方程的对应关系
北京
高考
解读
2008年
2009年
2010年（新课标）
2011年（新课标）
第4题5分
第19题⑴问5分
第19题⑴问5分
第19题⑴问5分
第14题5分
1．坐标法：
在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的方法称为坐标法．
2．轨迹方程：
一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
3．在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系：
⑴曲线上点的坐标都是方程的解；
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，曲线叫做方程的曲线，方程叫做曲线的方程．
即：
．
曲线用集合的特征描述为．
<教师备案>曲线的方程和方程的曲线比较抽象，尽可能举例说明，从学过的直线、圆、圆锥曲线中挑都可以．此外，还可以举反例加深理解．比如过点且平行于轴的直线和方程之间的关系，只具备⑴，不满足⑵，因此不是直线的方程，也不是方程所表示的曲线，只是其一部分．又比如满足到两个坐标轴距离之积为（）的点所成的曲线与之间的关系．
考点1：
曲线与方程的概念
【铺垫】⑴若曲线上的点的坐标都是方程的解，则下面判断正确的是（）
A．曲线的方程是
B．以方程的解为坐标的点都在曲线上
C．方程表示的曲线是
D．方程表示的曲线不一定是
⑵如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题
是（）
A．曲线上的点的坐标都满足方程．
B．坐标满足方程的点有些在上，有些不在上．
C．坐标满足方程的点都不在曲线上．
D．一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程．
【解析】⑴D
⑵D
【例1】⑴下列哪组方程表示相同的曲线（）
A．与B．与
C．与D．与
⑵设曲线的方程为，直线的方程为，点的坐标为
，那么（）
A．点在曲线C上，但不在直线上B．点不在曲线C上，但在直线上
C．点既在曲线C上，又在直线上D．点既不在曲线C上，又不在直线上
⑶方程表示的曲线是（）
A．一条直线和一双曲线B．两条直线C．两个点D．以上答案都不对
⑷下列命题正确的是（）
A．到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是
B．已知三点，，，的边上的中线方程是
C．到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是
D．到轴的距离等于2的点的轨迹方程是
【解析】⑴C
⑵B
⑶C
⑷C
提高班学案1
【拓1】已知方程，
⑴判断、是否在此方程表示的曲线上；
⑵若点在此方程表示的曲线上，求．
【解析】⑴在方程表示的曲线上，不在此方程表示的曲线上．
⑵或．
目标班学案1
【拓3】⑴指出方程所表示的曲线，若点，在
曲线上，则________，______________．
⑵方程所表示的曲线为（ ）
A．圆B．直线 C．椭圆 D．抛物线
【解析】⑴，或．
⑵D；
1．已知两条曲线和的方程分别为和，则和的交点坐标对应方程组的实数解．
2．利用方程研究曲线的性质：
①曲线的组成和范围；
②曲线与坐标轴的交点；
③曲线的对称性质；
④曲线的变化情况；
⑤画出方程的曲线．
考点2：
曲线的交点和性质
【例2】⑴曲线与曲线的交点的个数是_________．
⑵两曲线与交于两点，此两点间的距离是（）
A．小于B．等于C．等于D．大于
【解析】⑴；
⑵B．
尖子班学案1
【拓2】设，曲线和有四个交点，求的范围．
【解析】．
【例3】方程所表示的曲线（）
A．关于轴对称B．关于对称C．关于原点对称D．关于对称
【解析】C；
提高班学案2
【拓1】已知是直线：
上的一点，是直线外一点，则方程表示的直线与直线的位置关系是（）
A．平行B．重合C．垂直D．斜交
【解析】A；
尖子班学案2
【拓2】已知圆的方程，点在圆外，点在圆上，
则表示的曲线是（）
A．就是圆
B．过点且与圆相交的圆
C．可能不是圆
D．过点且与圆同心的圆
【解析】D；
目标班学案2
【拓3】（2011北京高考14）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线过坐标原点；
②曲线关于坐标原点对称；
③若点在曲线上，则的面积不大于．
其中，所有正确结论的序号是_________．
【解析】②③；
1．求曲线方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；
②写出适合条件的点的集合；
③用坐标表示条件，列出方程；
④化方程为最简形式；
⑤证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
求曲线方程时，一般②、⑤可以省略．但要注意化简前后方程的解集的统一性．
2．求曲线轨迹方程的常见方法有：
直接法、相关点法、参数法．
①直接法：
指通过解读题目的条件，明确轨迹所满足的代数关系与几何性质之后，根据题目条件或曲线的定义直接写出轨迹方程，再进行化简计算的方法．
②相关点法：
有时欲求的轨迹上的动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可以先把、表示为、的式子，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程，这种方法叫做相关点法（或代入法或转移法）．其实质是在设条件以后，得到方程式的关键在于“代入”．
③参数法：
动点坐标、之间的关系很隐蔽时，引入恰当的参数，利用参数求得、与参数之间的关系，然后消去参数，得、之间的直接关系．运用此法的关键在于恰当的选取参数，一般的原则是：
①参数的变化必须直接影响动点的变化；②便于消去参数；③常用的参数有几何参数（角度、直线的斜率和截距、点的坐标、线段的长度、有向线段的数量和定比等等）和物理参数（时间、速度、位移等等）．
<教师备案>1、求曲线的方程要注意的问题：
⑴适当建立坐标系．
坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁杂与难度．在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性．如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等．
坐标系建立得好与坏与计算的繁简以及方程的形式有关，而与轨迹无关．
⑵根据条件列出方程．
根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环．应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式．
⑶证明．
还应证明上面所求得的方程就是曲线的方程．课本上说“一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤⑤（即证明完备性）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明”．不能由此得“不需要证明”的印象，而仅仅是在同解变形的前提下，不要求证明．若化简过程不是方程的同解变形，就必须注意在变形过程中是产生了增根还是减根，并在所得的方程中加以删除或补充，此时也可不必写出证明过程．
2、在求解曲线的方程时经常会出现的是产生多解或漏解的错误，在实际求解过程中要注意：
⑴注意动点所满足的某些隐含条件；
⑵注意方程变形的同解性；
⑶注意图形可能的不同位置或字母系数可能取不同值时的讨论等．
3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．
<教师备案>直接法对应例5，两问分别是代数法和几何法，相关点法对应例6，参数法对应例7．
考点3：
求轨迹方程
【例4】⑴已知的边在轴上，，，
①若，求点的轨迹方程．
②若直线与的斜率之积为，求点的轨迹方程．
③若，求点的轨迹方程．
⑵已知椭圆左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与
轴垂直，交与点．则线段垂直平分线与的交点的轨迹是（）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
【解析】⑴①所求轨迹方程为（），轨迹为去掉一点的直线；
②所求轨迹方程为（），故所求轨迹为去除两点的椭圆；
③所求轨迹方程为（），故所求轨迹为去除两点的圆．
⑵D；
<教师备案>求动点的轨迹方程，如果动点坐标、之间的关系比较明显，那么可以用直接法．
提高班学案3
【拓1】⑴已知的边在轴上，，，若直线与的斜率之积为
（），求点的轨迹．
⑵等腰三角形底边上两个顶点为，，则顶点的轨迹方程是_______．
【解析】⑴所求轨迹方程为（）．
①当时，点的轨迹为去除两点的双曲线；
②当，且时，点的轨迹为去除两点的椭圆，
且当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上；
③当时，点的轨迹为去除两点的单位圆．
⑵
【例5】⑴已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为___．
⑵已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，
则点的轨迹方程是___________．
【解析】⑴；
⑵．
<教师备案>相关点法也可以认为是参数法的一种特殊情况．
相关点法的一般步骤：
1、建立坐标系，设动点坐标及其相关的点的坐标；
2、写出应满足的关系式……①；
3、写出与之间应满足的关系式，
并解出，……②；
4、将②代入①，得动点满足的轨迹方程，并化简．
尖子班学案3
【拓2】点是曲线上的动点，直线是线段的中垂线，则点的轨迹方程是_____________．
【解析】．
【例6】⑴过点作两条互相垂直的直线，，若交轴于点，交轴于点，求线
段的中点的轨迹方程．
⑵直线与圆相交于两个不同点，当取不同实数值时，
则中点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【解析】⑴的轨迹方程为．
⑵B；
<教师备案>参数法的一般步骤：
1、建立坐标系，设动点坐标；
2、引入若干个参数，列出比参数个数多个的独立方程；
3、消去参数得到轨迹方程，并化简．
需要注意的是：
消参后，需要注意保持由参数引起的、的取值范围的一致性．
<教师备案>轨迹问题的一个难点是轨迹的范围问题，因为等价转化很困难，所以最后的范围不好限制．
高中对轨迹的范围限制的要求很不明确，一般来说，只要有范围限制的意识，对形式没有太多要求．很多问题很难求出或的范围，可以直接用文字说明，是某某曲线在某某曲线之间的部分，也可以用一些不等式直接表示出来．
目标班学案3
【拓3】已知点，分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．求线段中点的轨迹的方程．
【解析】点的轨迹方程为，为双曲线的一支．
<教师备案>交轨法：
（选讲）
当动点为某两条动曲线的交点，但不易直接找到动点坐标、之间的关系时，则可选取和两动曲线均相关的某个参变量作媒介，分别求出两动直线的含参变量的方程，然后联立消去参数即得所求轨迹方程，此法为参数法的特殊情形，使用的前提是“动点为某两条动曲线的交点”，关键是选好同时影响两条动曲线变化的参变量．
交轨法的一般步骤：
1、建系，设动点坐标；
2、选取影响两动曲变化的参变量，并求两动曲线的含参变量的方程；
3、联立两动曲线的方程，消
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