113静电场的高斯定理.docx

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113静电场的高斯定理

§11-3静电场的高斯定理

一、电场线

电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。

1、用电场线描述

规定：

方向：

电力线切线方向

大小：

的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=

即

（即：

某点场强大小=过该点并垂直于的面元上的电力线密度。

）

2、静电场中电场线性质

⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。

⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。

二、电通量

定义：

通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用表示。

下面分几种情况讨论。

1、匀强电场

⑴平面S与垂直。

如图所示，由的

大小描述可知：

⑵平面S与夹角为，如图所示，由

的大小描述知：

式中为的单位法线向量。

2、在任意电场中通过任意曲面S的电通量

如图所示，在S上取面元，可看成平面，上

可视为均匀，设为单位法向向量，与该处夹角为，则通过电场强度通量为：

通过曲面S的电场强度通量为：

在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量

注意：

通常取面元外法向为正。

三、高斯定理

高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量

的定理，现在从一简单例子讲起。

1、如图所示，为正点电荷，为以为中心以任

意为半径的球面，上任一点处为：

2、通过闭合曲面的电场强度通量为：

（、同向）

结论：

与无关，仅与有关

2、点电荷电场中任意闭合曲面S的电场强度通量

⑴在S内情形

如图所示，在S内做一个以为中心，

任意半径的闭合球面S1，由1知，通过S1

的电场强度通量为。

∵通过S1的电力线

必通过S，即此时，∴通过S的

电场强度通量为

⑵在S外情形。

此时，进入S面内的电力线必穿出S面，即

穿入与穿出S面的电力线数相等，

∴

结论：

S外电荷对无贡献

在S内

0在S外

3、点电荷系情况

在点电荷电场中，任一点场强为

通过某一闭合曲面电场强度通量为：

即

上式表示：

在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的一切电荷的代数和除以。

这就是真空中的高斯定理。

上式为高斯定理数学表达式，高斯定理中闭合曲面称为高斯面。

说明：

⑴以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释，不是高斯定理的证明

⑵高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者适用范围比后者更广泛。

后者只适用于真空中的静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场，高斯定理是电磁理论的基本方程之一。

⑶高斯定理表明，通过闭合曲面的电通量只与闭合面内的自由电荷代数和有关，而与闭合曲面外的电荷无关。

>0时，不能说S内只有正电荷

当<0时，不能说S内只有负电荷

=0时，不能说S内无电荷

注意：

这些都是S内电荷代数和的结果和表现。

⑷高斯定理说明与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不是说只与S内电荷有关而与S外电荷无关。

实际上，是由S内、外所有电荷产生的结果。

⑸高斯面可由我们任选。

四、应用高斯定理求场强

下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。

可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。

1.一均匀带电球面，半径为，电荷为，求：

球面内外任一点场强。

解：

由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O为球心任意球面上的各点值相等。

⑴球面内任一点的场强

以O为圆心，通过P1点做半径为的球面为高斯面，高斯定理为：

∵与同向，且上值不变

∴

∴

即均匀带电球面内任一点P1场强为零。

注意：

1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。

2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。

（在个别点有可能为零）

⑵球面外任一点的场强

以O为圆心，通过P2点以半径做一球面作为高斯面，由高斯定理有：

方向：

沿方向（若，则沿方向）

结论：

均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。

0

2．有均匀带电的球体，半径为，电量为，求球内外场强（8-13）。

解：

由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的相同。

（1）球内任一点P的

以O为球心，过P点做半径为的高斯球面S1，高斯定理为：

∵与同向，且S1上各点值相等，

∴

∴

沿方向。

（若，则沿方向）

结论：

注意：

不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在P1点产生的场强的叠加为0。

（2）球外任一点P2的

以O为球心，过P2点做半径为的球形高斯面S2，高斯定理为：

由此有：

沿方向

结论：

均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷

全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。

曲线如左图。

3．无限长均匀带电圆柱面，半径为，电荷面密度为，求柱面内外任一点场强。

解：

由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点值相等。

1）带电圆柱面内任一点P1的

以OO’为轴，过P1点做以为半径高为的圆柱高斯面，上底为S1，下底为S2，侧面为S3。

高斯定理为：

在此，有：

∵在S1、S2上各面元，∴上式前二项积分=0，

又在S3上与同向，且=常数，

∴

∴

结论：

无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0

2）带电柱面外任一点场强

以为轴，过P2点做半径为高为的圆柱形高斯面，上底为S1’，下底为S2’，侧面为S3’。

由高斯定理有：

∵=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=

∴，由轴线指向P2。

时，沿P2指向轴线

结论：

无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。

4.无限大均匀带电平面，电荷面密度为，求平面外任一点场强。

解：

由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面，距平面相同的任意二点处的值相等。

设P为考察点，过P点做一底面平行于平面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S1，左端面为S2，侧面为S3，高斯定理为：

在此，有：

∵在S3上的各面元，∴第三项积分=0

又∵在S1、S2上各面元与同向，且在S1、S2上=常数，

∴有：

即：

（均匀电场）

垂直平面指向考察点（若，则由考察点指向平面）。

5.有二平行无限大均匀带电平板A、B，电荷面密度分别为1）；2）。

求：

板内、外场强。

解：

设P3为二板内任一点，

即

设P4为B右侧任一点（也可取在A左侧）

即：

上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出，用高斯定理求场强是比较简单的。

但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍成立的，但是任何带电体产生的场强不是都能由它计算出，因为这样的计算是有条件的，它要求电场分布具有一定的对称性，在具有某种对称性时，才能适选高斯面，从而很方便的计算出值。

应用高斯定理时，要注意下面环节：

1）分析对称性；2）适选高斯面；3）计算4）由高斯定理求出。